가보르 변환

데니스 가보르의 이름을 딴 가보르 변환은 단시간 푸리에 변환의 특별한 경우다. 시간이 지남에 따라 신호의 국소 부분의 사인파 주파수 및 위상 함량을 결정하는 데 사용된다. 변환할 함수는 우선 창 함수로 볼 수 있는 가우스 함수에 곱한 다음 결과 함수를 푸리에 변환으로 변환하여 시간 빈도 분석을 도출한다.^[1] 윈도우 기능은 분석되는 시간에 가까운 신호가 더 높은 가중치를 갖는다는 것을 의미한다. 신호 x(t)의 Gabor 변환은 다음 공식으로 정의된다.

G[f](a,b)={\frac {1}{\pi ^{1/4}\int_{-\infit }^{+}^{+\f(t)e^{-iat}e^{-(t-b)^{2/2}}dt

가우스 함수의 크기.

가우스 함수는 범위가 무한대여서 구현에 비실용적이다. 그러나 가우스 함수의 분포에 대한 유의 수준(예: 0.00001)을 선택할 수 있다.

{\case}e^{-{\pi }a^{2}}\geq 0.00001;&\\왼쪽 a\req 1.9143\\e^{-\pi }{{{\pi ^{2}}<0.00001;&\오른쪽 >1.9143\case}}}}}}}}}

이러한 통합의 한계( $\left|a\right|>1.9143$ > 1 $\left|a\right|>1.9143$ ${\displaystyle \left a\right$ > $1.9143$ 를 벗어나면 가우스 함수는 무시될 정도로 작다. 따라서 가보르 변환은 다음과 같이 만족스럽게 근사할 수 있다.

G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-1.9143+\tau }^{1.9143+\tau }}x(t)e^{-\pi(t-\tau )^{2}}e^{-j\j\omega t}\,dt

이러한 단순화는 가보르 변혁을 실용적이고 실현 가능하게 만든다.

The window function width can also be varied to optimize the time-frequency resolution tradeoff for a particular application by replacing the ${-{\pi }(t-\tau )^{2}}$ with ${-{\pi }\alpha (t-\tau )^{2}}$ for some chosen $\alpha$ .

역가보르 변환

가보르 변환은 되돌릴 수 없으며, 다음 방정식으로 원래 신호를 복구할 수 있다.

x(t)=\int _{-\infit }^{}G_{x}(\tau,\omega )e^{j\omega t+\pi(t-\tau )^{2}}\,d\omega /(2\pi )

가보르 변환의 특성

가보르 변환은 푸리에 변환과 같은 많은 특성을 가지고 있다. 이러한 속성은 다음 표에 나열되어 있다.

	신호	가보르 변환	언급
	$F(t)\,}$	$G[f](a,b)={\frac {1}{\pi ^{1/4}\int_{-\infit }^{++\f(t)e^{-iat}e^{-iat}e^{-(t-b)^{2}/2}}dt\,$	변형
	$[\displaystyle h(a,b)=G[f](a,b)\,}$	$G^{-1}[h](t)={\frac {1}{2\pi ^{5/4}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }h(a,b)e^{iat}e^{-(t-b)^{2}/2}dadb.\,$	역변환
1	$\displaystyle \cdot f(t)+\cdot g(t)\,}$	$\displaystyle \alpha \cdot G[f](a,b)+\beta \cdot G[g](a,b)\,}$	선형성 속성
2	$f(t-b_{0}}\,$	$G[f](a,b-b_{0}e^{-iab_{0}\,$	이동 특성
3	$f(t)e^{ia_{0}t}\,$	$G[f](a-a_{0}b)\,$	변조 속성

		언급
1	$\int _{-\infty }^{\infty }\left G[f](a,b)\right ^{2}\,da=\int _{-\infty }^{\infty }\left f(t)\right ^{2}e^{-2\pi (t-b)^{2}}dt\approx \int _{b-1.9143}^{b+1.9143}\left f(t)\right ^{2}e^{-2\pi (t-b)^{2}}dt$	전력 통합 속성
2	$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }G[f](a,b)G[g]^{}(a,b)\,da\,db=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)g^{}(t)\,dt$	에너지 총량 속성
3	$G[f](a,b)^{2}da< _{-\infty}^{+\infty}{\displaystyle{\begin{경우}\displaystyle \int, e^{-2\pi(b-b_{0})^{2}}\int _{-\infty}^{+\infty}G[f](a,b_{0})da,&,{\text{만약}}f(b)=0{\text{에}}b>, b_{0}\\\displaystyle \int _{-\infty}^{+\infty}G[f](a,b)^{2}db<, e^{-(a-a_{0})^{2}}_{-\infty}^{+\infty}G[f](a_{0}일 경우 ,b)^{2}db,& \int,{\text{. 만약}}FT[f](를)=0{)텍스트{{}a}a_{0}\end{case}}}}$	전력 붕괴 특성
4	$\int_{-\infit _{-\^{+\}G[f](a,b)e^{iat}da=f(0)^{-\pi b^{2}$	복구 속성

적용 및 예

시간/주파수 분포.

가보르 변환의 주요 적용은 시간 빈도 분석에 사용된다. 다음 방정식을 예로 들어보자. 입력 신호는 t ≤ 0일 때 1Hz 주파수 성분을 가지며 t > 0일 때 2Hz 주파수 성분을 가진다.

x(t)={\displaystyle x(t)={\case}\cos(2\pi t)&{\text{}}{\text{}}}}}}}}}}}{\text{t}0.\end{case}}

그러나 사용 가능한 총 대역폭이 5Hz일 경우 x(t)를 제외한 다른 주파수 대역은 낭비된다. 가보르 변환을 적용하여 시간-주파수 분석을 통해 가용 대역폭을 알 수 있으며, 그 주파수 대역은 다른 어플리케이션에 사용할 수 있고 대역폭을 절약할 수 있다. 오른쪽 측면 사진은 입력 신호 x(t)와 가보르 변환의 출력을 보여준다. 우리의 예상대로 주파수 분포는 두 부분으로 나눌 수 있다. 하나는 t ≤ 0이고 다른 하나는 t > 0이다. 흰색 부분은 x(t)가 점유한 주파수 대역으로 검은색 부분은 사용되지 않는다. 각 시점에는 음(흰색 상단) 및 양(흰색 하단) 주파수 성분이 모두 있다는 점에 유의하십시오.

이산 가보르 변환

가보르 표현의 이산형 버전

y(t)=\sum _{m=-\nft }^{n=-\sum _{nm}\cdot g_{nm}(t)

$g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ ( $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ ) $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ = $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ ( $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ - $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ ) $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ e $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ ${\$ e $^{j\Oomega nt}}$ 을(으)로 한다.

이러한 방정식에서 가보르-바시스 함수의 분리를 통해 쉽게 도출할 수 있다. 여기서 연속 파라미터 t는 이산 시간 k로 대체된다. 또한 가보르 표현에서 현재 유한한 합계 한도를 고려해야 한다. 이 방법으로 샘플링된 신호 y(k)를 길이 N의 M 시간 프레임으로 분할한다. $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{\tau _{0}}}$ $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{\tau _{0}}}$ 2 $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{\tau _{0}}}$ $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{\tau _{0}}}$ 0 $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{\tau _{0}}}$ {\ $displaystyle \Oomega \leq$ {\ $tfrac {2\pi }{\tau_{0$ 에 따르면 임계 샘플링에 대한 인자 $\Omega ={\tfrac {2\pi }{N}}$ 은 $\Omega ={\tfrac {2\pi }{N}}$ = 2 ${$ N {\ $displaystystyle \Oomega$ ={\ $tfrac {2\pi$

DFT(분해 푸리에 변환)와 유사하게, N 이산 파티션으로 분할된 주파수 영역을 구한다. 이러한 N 스펙트럼 파티션을 역변환하면 시간 창에 대한 N 값 y(k)가 나타나며, 이 값은 N 샘플 값으로 구성된다. 샘플 값이 N개인 전체 M 시간 창의 경우 각 신호 y(k)에는 K = N = $displaystyle$ \ $cdot }$ 샘플 값: (이산 가보르 표현)

y(k)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}C_{nm}\cdot g_{nm}(k)

$g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$ $g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$ ( k $g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$ ) $g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$ = s ( $g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$ - m $g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$ ) $g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$ $g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$ $g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$ $g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$ k ${\$ 을(를) 포함.

위의 방정식에 따르면 N $\cdot$ $\cdot$ 계수 $C_{nm}$ n $C_{nm}$ ${\$ 은 $C_{nm}$ 신호의 샘플 값 K의 수에 해당한다.

For over-sampling $\Omega$ is set to $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{N}}={\tfrac {2\pi }{N^{\prime }}}$ with N′ > N, which results in N′ > N summation coefficients in the second sum of the discrete Gabor representation. 이 경우, Gabor-coefficients는 M $\cdot$ m {\ $displaystyle \cdot }$ ′ > K가 된다. 따라서 표본 값보다 많은 계수를 사용할 수 있으므로 중복 표현을 달성할 수 있다.

스케일 가보르 변환

짧은 시간 푸리에 변환에서와 같이, 다른 윈도우 기능 폭을 선택하여 시간 및 주파수 영역의 분해능을 조정할 수 있다. Gabor 변환 사례에서 분산 $\sigma$ $\sigma$ 을(를 $\sigma$ 다음과 같은 방정식으로 추가하여:

스케일 조정(정상화된) 가우스 창은 다음과 같이 표시된다.

W_{\text{gaussian}(t)=e^{-\sigma \pi t^{2}}

그래서 스케일링 가보르 변환은 다음과 같이 쓸 수 있다.

G_{x}(t,f)={\sqrt[{4}]{\sigma }}\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\sigma \pi (\tau -t)^{2}}e^{-j2\pi f\tau }x(\tau )d\tau \qquad

큰 $\sigma$ $\sigma$ 을 $\sigma$ 를) 사용하면 창 기능이 좁아져 시간 영역에서는 해상도가 높아지지만 주파수 영역에서는 해상도가 낮아진다. 마찬가지로, 작은 $\sigma$ $\sigma$ 은(는) 넓은 창으로 연결되며 $\sigma$ , 주파수 영역에서는 해상도가 높지만 시간 영역에서는 해상도가 낮다.

참고 항목

참조

^ E. Sejdich, I. Djurovich, J. Jiang "에너지 농도를 사용한 시간 주파수 특성 표현: 최근 진전의 개요," 디지털 신호 처리 19권, 1, 페이지 153-183, 2009년 1월.

D. 가보르, 커뮤니케이션 이론, 제1부, J. 인스트 오브 엘렉트. 제3부, 무선통신, 제93권, 페이지 429 1946 (http://genesis.eecg.toronto.edu/gabor1946.pdf)
Jian-Jiun Ding, 시간 주파수 분석 및 웨이브릿 변환 클래스 노트, 국립 대만 대학교 전기 공학부, 타이페이, 2007.

[1] E. Sejdich, I. Djurovich, J. Jiang "에너지 농도를 사용한 시간 주파수 특성 표현: 최근 진전의 개요," 디지털 신호 처리 19권, 1, 페이지 153-183, 2009년 1월.

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