파투의 정리

수학에서, 특히 복잡한 분석에서, 피에르 파투의 이름을 딴 파투의 정리는 단위 디스크의 홀로모르픽 기능과 디스크의 경계까지의 점증설에 관한 진술이다.

동기부여와 정리명세서

만일 오픈 유닛 D= { : < $}$ {\$displaystyle$ \$datab{D$} $=\z: z$ <$1\}}$에 정의된$$ 홀모픽 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\displaystyle$ $\}$이(가) 있다면, 어떤 조건에서 이 기능을 유닛 디스크의 경계까지 확장할 수 있는지 물어보는 것이 합리적이다이를 위해 디스크 내부의 각 원은 각각 일부 $반지름{\displaystyle }$ r ${\displaystyle r}$을(를) 가진 0으로 중심화되어 있으며, 각 원은 어떤 기능을 하고 있는지 살펴볼 수 있다$.$이것은 새로운 기능을 정의한다.

${\displaystyle {\displaysty}f_{r:S^{1}\to \mathb {C} \\f_{r}(e^{i\theta }})=f(re^{i\theta }}}\case}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle S^{1}:=\{e^{i\theta }:\theta \in [0,2\pi ]\}=\z\in \mathb {C} : z =1\}}}$

유닛 서클이다.그러면 원에 $대한$ f ${\displaystyle f}$의 확장 값이 이러한 함수의 한계여야 하며, ${\displaystyle {따라서}_{}}$ f ${\$가 언제$$ 수렴되는지, 그리고 어떤 $의미$에서는${\displaystyle }$r → ${\displaystyle 1}${\$displaysty r\to 1$로, 그리고 이 한계는 얼마나 잘 정의되어 있는지를 결정하는 것으로 문제가 줄어들 것이다.특히 이러한 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$$displaystyle L^{p}}$의 L ${\displaystyle p^{}}$ ${\$$displaystyle f_{r}}$규범들이 잘 행동하고$$ 있다면, 우리는 다음과 같은 답을 가지고 있다.

정리.$let{\displaystyle f\mathbb{}}$: D → ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$ f$:\mathb$ {$D}$ \$to \mathb {C} \$to \mathb {C} \to \mathb {C}}은(는) 다음과 같은 홀모픽 함수가 되도록$$ 한다.

${\displaystyle \sup _{0<r}\f_{r}\{L^{p}(S^{1}})}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 f ${\$는 위와 같이 정의된다$$.그런 다음 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$은(는) 어떤 함수 f ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}^{}}$ L ${\displaystyle p^{}}$ ($S 1$ L$^{p}{p}$에서 대부분의 지점과 L ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ L$^{p}}$norm로$$ 수렴한다$$.그것은

${\displaystyle {\begin{aligned}\left f_{r}(e^{i\theta })-f_{1}(e^{i\theta })\right &\to 0&&{\text{for almost every }}\theta \in [0,2\pi ]\\\ f_{r}-f_{1}\ _{L^{p}(S^{1})}&\to 0\end{aligned}}}$

자, 이 점괘 한계가 방사상 한계라는 것을 주목하라.즉, 취해지는 한계는 원반 중심에서 원의 경계까지 직선을 따라 이루어지며, 따라서 위의 문장은 다음과 같이 말하고 있다.

${\displaystyle f(re^{i\theta })\to f_{1}(e^{i\theta })\qquad{\text{\text{ 거의 모든 }}}$

자연문제는, 이 경계함수가 정의되어 있는 상태에서, 우리가 다른 방법으로 한계를 취함으로써 이 함수에 점으로 수렴할 것인가 하는 것이다.즉, 경계에 직선을 따르는 대신 ${\displaystyle 임의\mathbb{}}$ 곡선 $\gamma {\displaystyle }$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ D ${\$가) 경계의$$ 특정 지점 e ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\$에 수렴한다고$$ 가정합시다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$) ${\displaystyle f_{1}(e^{i\ta }}}}$에 수렴될$$ 것인가$?($참고: 위의 정리는 $\gamma {\displaystyle }$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= t ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ (t$)=t^{i\ta }}}).$$곡선{\displaystyle }$ curve${\displaystyle \gamma}$은(는) 접선성이 아닌$$ 것으로 밝혀졌는데, 이는 곡선이 원 경계에 접하게 하는 방식으로 경계상의 목표물에 접근하지 않는다는 것을 의미한다.$즉{\displaystyle }$, point ${\displaystyle \gamma}$의 범위는 한계점에서 나오는 쐐기에 포함되어야$$ 한다.우리는 다음과 같이 요약한다.

정의.Let ${\displaystyle \gamma :[0,1)\to \mathbb {D} }$ be a continuous path such that ${\displaystyle \lim \nolimits _{t\to 1}\gamma (t)=e^{i\theta }\in S^{1}}$. Define

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\alpha }&=\{z:\arg z\in [\pi -\alpha ,\pi +\alpha ]\}\\\Gamma _{\alpha }(\theta )&=\mathbb {D} \cap e^{i\theta }(\Gamma _{\alpha }+1)\end{aligned}}}$

즉, $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ (${\displaystyle \theta }$ ) ${\displaystyle \Gamma _{\alpha }(\theta )}$은 축이$$ $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\$ 사이에 지나는$$ 각도 ${\displaystyle \mathrm{2\alpha }}$ ${\displaystystyle 2\alpha }$을 가진 디스크 내부의 쐐기이다$$.우리는 0개체 존재하지γ{\displaystyle \gamma}non-tangentially e 나는}{\displaystyle e^{i\theta}θ 것과 또는 그것은non-tangential 제한하는 한 점인;α<>π 2{0<, \alpha<>{\tfrac{\pi\displaystyle}{2}}}은 γ{\displaystyle \gamma}Γα(θ)에 포함된 그런{\display 말한다.스타일 \Gamm$a _{\property$}(\$teta$ )$$및$$ ${\displaystyle {lim}_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}(t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\$ 1$\pa(t)=e^{i\ta$

파투의 정리.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle p\mathbb{}{}^{}}$(${\displaystyle }$D )${\displaystyle }$. ${\displaystyle f\in$ H$^{p}(\mathb {D} )}$ 그러면 거의$$ 모든 $\theta {\displaystyle }$ [${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi ],}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}}}$

${\displaystyle \lim_{t\to 1}f(\f(t)=f_{1}(e^{i\teta })}$

${\displaystyle e^{}}$$$tang ,${\displaystyle e^{i\theta}$에 수렴하는$$$$ 모든 비 접선적 제한에 대해, ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ 1$${\$displaystyle f_{$1}는$$위와 같이 정의된다$$.

토론

• 그 증거는 원을 위해 하디-리틀우드 최대 함수를 사용하는 포아송 커널의 대칭을 이용한다.
• 이와 유사한 정리는 상반면 위에 있는 하디 공간에 대해 자주 정의되며 거의 같은 방법으로 증명된다.

참고 항목

• 하디 스페이스

참조

• John B. Garnett, 경계 분석 기능, (2006) Springer-Verlag, New York
• 월터 루딘리얼 앤 콤플렉스 분석(1987년), 뉴욕 맥그로우 힐의 3번째 에드.
• Elias Stein, 기능의 특이적 통합 및 차별성 특성(1970), 프린스턴 대학교 출판부, 프린스턴 대학교 출판부.