연장실수라인

이 글에는 참고문헌, 관련 독서 또는 외부 링크 목록이 수록되어 있으나 인라인 인용구가 부족하여 출처가 불분명하다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2014년 5월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학에서는 부정도가 실제 숫자로 취급되는$$^[a] +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle +\$infit }과 - from$$${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ -$\infit$$}$의 두 무한 원소를 추가함으로써$$ 친절하게 확장된 실수 시스템을 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$}에서 얻는다. 특히 측정과 통합의 이론에서 불결함에 대한 대수적 설명과 미적분학 및 수학적 분석에서의 다양한 제한 행동을 기술하는데 유용하다.^[1] The affinely extended real number system is denoted ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ or ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ or ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.$$}}$ 실수의 드데킨드-맥닐 완성이다[2].

문맥에서 의미가 분명할 때 기호 +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle +\inflt$$$}은(는)${.$ {\$displaystyle$ \$inflt.}$로 간단히 쓰여지는 경우가$$ 많다.

동기

한계.

인수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 또는$$ 함수 $값{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$이$($가) 어떤 의미에서는 "무한하게 큰" 값을$$ 갖기 때문에 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyf}$의 동작을 설명하는 것이 종종 유용하다. 예를 들어, $다음$에 의해 정의된$$ f ${\displaystyle f}$ 함수를 고려하십시오.

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}.}$

이 함수의 그래프에는 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle y=0.}$ 기하학적으로$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ - 축을$$ 따라 오른쪽으로 점점 더 멀리 이동하면$1\mathrm{}$ / ${x\mathrm{}}^{}$ 2 ${\$}의 값이 0에 근접한다. $이{\displaystyle }$ 제한 동작은 x ${\displaystyle$ $x$$}$이$($가) 접근하는 실제 숫자가 없다는 점을 제외하고$$ 실제 숫자 $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle x$$}$이(가) ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ $x_$${0}$에 접근하는 함수$$ $\underset{}{x}$→ $\underset{}{{}_{}}$ → $\underset{}{{}_{}}$ $)$의 한계와 유사하다.

요소$$$$ + ${\displaystyle \mathrm{+}}$ ${\displaystyle +\infit }$ 및${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle -\infit }$을(를) $R{\displaystyle \mathbb{},}$ ${\displaysty \mathb {R}$에 연결하여 위상학적 $특성$과 R${\displaystyle .}${\$displaysty \mathb {R}$에 대한 위상학적 특성을 가진 "무한 한계"를 공식화할 수 있다$.$

To make things completely formal, the Cauchy sequences definition of ${\displaystyle \mathbb {R} }$ allows defining ${\displaystyle +\infty }$ as the set of all sequences ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ of rational numbers, such that every ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ is associated 해당하는 $N{\displaystyle }$> ${\displaystyle N\mathbb{}}$ {\$displaystyle N\in \mathb {N}을($를) 사용하여, n> ${\displaystyle$ n$>$$N.$ {\displaystyle $n.}$에 ${\displaystyle \mathrm{}}$> $.$ ${\displaystyle$ -$\infully }$의 정의를 유사하게 구성할 수 있다$$.

측정 및 통합

측정 이론에서, 무한한 측정값을 가진 집합과 가치가 무한할 수 있는 통합을 허용하는 것은 종종 유용하다.

그러한 조치는 미적분학에서 자연적으로 발생한다. 예를 들어 일반적인 $간격{\displaystyle \mathbb{}}$ 길이에 동의하는 R$$ ${\$에 측정값을 할당할 때 이 측정치는 유한한 실제 숫자보다 커야 한다. 또한 다음과 같은 부적절한 통합을 고려할 때

${\displaystyle \int _{1}^{\inflt }{\frac {dx}{x}}}}$

값이 발생하다 마지막으로, 다음과 같은 일련의 기능의 한계를 고려하는 것이 유용할 때가 많다.

${\displaystyle f_{n}(x)={\pase}2n\왼쪽(1-nx\right),&{\mbox{{0\leq x\leq{1}{n}\0},&\mbox{{{1}{n}}{n}}}}}}{n\lleq 1end{case}}}}}$

기능이 무한한 가치를 차지하도록 허락하지 않는다면, 단조로운 융합 정리나 지배적인 융합 정리 같은 본질적인 결과는 이치에 맞지 않을 것이다.

순서 및 위상 특성

친절하게 확장된 실수 시스템은 모든 .${\\displaystyle a.}$에 대해$$ -${\displaystyle \mathrm{\infty }\le }$ + ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ∞ { { {$\displaystyle$ -$\\leq +\infit }$을(를) 정의함으로써 완전히 정렬된 집합으로 전환할 수 있다$$. 이 순서 토폴로지를 $사용$하여 R${\displaystyle \stackrel{}{}}${의 ${\$는 다음과 같은 바람직한 속성: $R$의${\displaystyle \stackrel{}{}}$모든 부분 집합 ${\$에는 우월감과 최소치가^[3] 있다$$(빈 집합의 최소치는 +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle +\$$inflt$ $}$이고$,$ 그 우월성은${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaysty$ -$\}).$ 더욱이 이 위상에서는 $R$의${\$$displaystyle$ ${\overline {\mathb{R}}}}}$이(가) 단위 간격$0,$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$에${\displaystyle }$대해 동형이다$.$$}$ 따라서$$ 토폴로지는 이 간격에 따라 (주어진 동형성의 경우) 일반 메트릭에 대응하여 측정 가능하다. 그러나 $R{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathb {R}$에 일반 메트릭의 확장인 메트릭은 없다$.$

$이{\displaystyle }$ 토폴로지에서 $집합{\displaystyle }$ U ${\displaystyle U}$은${\displaystyle (}$는) 집합{: > ${\displaystyle \{x:x}a\}$을(를) 포함하는 경우에만 +${\displaystyle \mathrm{}}$$\$ {\$displaystyle a.}$의 근린이다$.$$$ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ -$\infully }$의 근린 개념도 비슷하게 정의할 수 있다$$. 확장된 실제 환경의 이러한 특성화를 사용하여 $x{\displaystyle }${\$displaystyle x}$이(가$){\displaystyle }$ +${\displaystyle \mathrm{}}$+$${\$displaystyle +\ft$ $\}$${\displaystyle }$또는$$ -${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaystyle$-\$ft$$$}로 제한하고 "equal"을 $+{\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaystyty$$$$\}$으로 제한하고${\displaystyle }$-$$inst는 일반적인 위상학적 정의로 축소한다.실수 체계에서 특별한 정의를 갖는 것.

산술 연산

$R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 산술 연산은 다음과 같이$$ ${\$displaystyle {\$overline {\mathb {R}}}$까지 부분적으로 연장할 수 있다$$.^[2]

${\displaystyle{\begin{정렬}a+\infty=+\infty +a&,=+\infty ,&, a&, \neq-\infty\\a-\infty=-\infty +a&,=-\infty ,&, a&,\neq+\infty \\a\cdot(\infty\pm)=\pm\infty \cdot a&, =\pm\infty ,&, a&, \in(0,+\infty]\\a\cdot(\pm\infty)=\pm\infty \cdot a&, =\mp\infty ,&, a&, \in는 경우에는-\infty ,0)\\{\frac{}{\infty\pm}}&.심장;=0,&, a&, \in\mathbb{R}\\{\frac{\pm\infty}{를}}.&=\pm \pm \in (0,+\inflt )\\\\\pm \pm \inflt }{a}=\pm \inflt \&a&\in(-\inflty,0)\ended}}}}}}$

지수에 대한 내용은 지수화 § 검정력 한계를 참조하십시오. Here, ${\displaystyle a+\infty }$ means both ${\displaystyle a+(+\infty )}$ and ${\displaystyle a-(-\infty ),}$ while ${\displaystyle a-\infty }$ means both ${\displaystyle a-(+\infty )}$ and ${\displaystyle a+(-\infty ).$$}$

expressions -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ , ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \times }$(${\displaystyle }$± ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ )${\displaystyle \inflt$ -$\flt ,0\time (\pm \pm$ \inflt )$$및$$${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$/${\displaystyle }$± ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystystyle$ \$pm \inflotty$}(불확정 형식이라 함)$$은 대개 정의되지 않은 상태로 남아 있다. 이 규칙들은 무한한 한계를 위한 법률을 본떠서 만든 것이다. 그러나 확률이나 측정 이론의 맥락에서 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$± ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle 0\timees \pm \infit }$은(는) 종종 $0{\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle$ 0$.}$으로 정의된다$$.

양수 및 음수 확장된 실수를 모두 처리할 때$,$ $0$이 ${\displaystyle 아닌\mathrm{}}$$$ 모든 실제 $시퀀스{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$에 대해$$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0,}$ 상호 시퀀스 $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1/f}$i가$$ 사실이지만, $일반적$으로 정의되지 않은 상태로 남아$$ 있다.s 결국 {${\displaystyle \mathrm{\infty }}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \}}$, ${\displaystyle \{\infit ,-\infit \}}$의 모든 이웃에 포함된 s. s $시퀀스{\displaystyle \mathrm{}}$1 / ${\displaystyle f}${\$displaystyle$1/$f}$이 스스로${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaysty$ -$\$$infit$} 또는$$$..}$에 수렴해야$$ 한다는$$ 것은 사실이 아니다. 지속적인 $함수{\displaystyle }$ f ${\displayf$.$f}$이(가) 특정 값 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle$ $x_$${$$0}$에서 0을 달성하면$$$$, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$이(가)${\displaystyle {}_{}{0}_{}}$을(를) X ${\displaystyle x_{0}$하는$$ 경향이$$ 있으므로 $제한$에서 1/${\displaystyle f}$ ${\displaystystystyle \}$이$({\displaystyle }$가$$)가 0을(가 되는 것은 아니다.$}$ This is the case for the limits of the identity function ${\displaystyle f(x)=x}$ when ${\displaystyle x}$ tends to ${\displaystyle 0,}$ and of ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)}$ (for the latter function, neither ${\displaystyle -\infty }$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle$ $\infit }$은(는$)$ $양$의 값만 고려하더라도$$$$ 1 / f${\displaystyle (x}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle$1$/f(x$)의$$제한은 아니다$$.

단, 음이 아닌 값만 고려하는 맥락에서 흔히${\displaystyle }1{\displaystyle \mathrm{}}$ /${\displaystyle 0\mathrm{}}$= + ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ .${\displaystyle 1/0=+\infit.}$을(를) 정의하는 것이 편리하다. 예를$$ 들어, 파워시리즈로 작업할 때 계수 ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle a_{n}$을(를) 가진 파워시리즈의 수렴 반경은 한계수의 역수로 정의된다$$.$\{{\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{\mathrm{}}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 시퀀스 사전.${\displaystyle \left\{a_{n} ^{1/n}\right\}}}$$$ 따라서, 만약 어떤 사람이${\displaystyle 1\mathrm{}}$ / 0$${\$displaystyle 1/0}$을${\displaystyle \mathrm{(}}$를) +$display$ , {\$displaystyle +\$inflt $,}$ 값을 취하도록 허용한다면, 한계-초과가 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\\displaystyle$ 0$}$인지 여부에 관계없이 이 공식을 사용할 수 있다$$.

대수적 특성

이러한 정의에 $따라{\displaystyle \stackrel{}{\mathbb{}}}$ R${\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle$ ${\\overline {\$$mathb{R}}}}}$은(는) $,$ 링 또는 필드는 말할 것도 없고 sem그룹도 아니지만$$$$ 다음과 같은 몇 가지 편리한 속성을 가지고 있다.

• ${\displaystyle a}$+ (${\displaystyle b}$+ c${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ a$+(b+c)}$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a+b)+c}$은(는) 동일하거나 둘 다 정의되지 않음.
• ${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$ 및$$ ${\displaystyle b}$+ ${\displaystyle b+a}$이(가) 동일하거나 둘 다 정의되지 않은 경우$$.
• ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$(${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle c}$) ${\displaystyle a\cdot (b\cdot$ c$)}$ 및$$${\displaystyle (\cdot }$ ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$⋅ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}$이(가) 같거나 둘 다 정의되지 않은 경우$$.
• ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\cdot b}$ 및 $b$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b\cdot a}$이(가) 동일하거나 둘 다 정의되지 않음
• ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$(${\displaystyle b}$+ c${\displaystyle }$) ${\displaystyle a\cdot (b+c)}$과${\displaystyle }$( ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$+ (${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle c}$) ${\displaystyle (a\cdot$ b$)+(a\cdot$ c$)}$은 둘 다 정의된 경우 동일하다$$.
• ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq b}$과${\displaystyle (}와{\displaystyle }$$)$ + c ${\displaystyle a+c}$ 및$$ $b{\displaystyle }$+ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b+c}$이(가) 모두 정의된$$ $경우{\displaystyle ,}$ + ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ + ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle a+c\leq$ b$+c$.$}$
• ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq b}$ > 0 ${\displaystyle c>0}$과(와) ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a\cdot c}$이(가) 모두 정의된$$ 경우, ${\displaystyle \cdot }$ $c{\displaystyle }$ ≤ ${\displaystyle b}$$$${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystystyleq b\cdot c}$

일반적으로 $모든{\displaystyle \stackrel{}{\mathbb{}}}$ 산술 법칙은 모든 발생 식이 정의되는 한 R$¯{\$에서 유효하다$.$

잡다한

몇 가지 기능을 제한하여$$ $R$의${\$까지 지속적으로 확장할 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 기능의 극한 지점을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\displaystyle \expect\inflt )=0,}$

${\displaystyle \ln(0)=-\inflty ,}$

$\displaystyle \tanh(\pm \inflt )=\pm 1,}$

${\displaystyle \arctan(\pm \inflt )=\pm {\frac {\pi }{2}.}$

일부 특이점들은 추가로 제거될 수 있다. 예를 들어 $함수{\displaystyle }$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle$ 1/$x^{2}}$은 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle x=$$0,$ ${\$displaystyle $0}($일부 연속성의 정의에 따라)$$로 값을 +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ +\$infit }$으로 설정하여 $}{\$$displaystystystystystyleane$${\{\{\{\{\cline{\}}}}$까지 계속 확장할 수 있다$$.${\displaystyle =}$ +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle x=+\infit }$과($와{\displaystyle )}$ x =${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ . {\$displaystyle$x=-\$infit$ $.}$ 반면, $함수$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ x ${\$$displaystyle$ 1/$x$$}$은 아래,${\displaystyle }$+에서$$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystystyle$ -$\}$에 근접하기$$ 때문에 계속 확장할 수 없다.$위$에서부터 ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$$${\$displaystyle x$}이(가) $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$에 근접함에 따라$$ ∞ ${\displaystyle +\infully }$

유사하지만 다른 실선 시스템, 즉 프로젝트적으로 확장된 실선은 +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle +\infit$}과${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaystyle$-\$infit }$을($$즉, 무한대는 서명되지 않음) 구별하지 않는다.^[5] 결과적으로, 기능에는 프로젝트적으로 확장된 실제 라인에서 한계$$ $∞{\displaystyle \infit }$이(가) 있을 수 있는 반면, 쉽게 확장된 실수 시스템에서는 함수의 절대값만 한계(예: $함수{\displaystyle }$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ 1$/x}$의 경우 x${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystystystyle x=0.})$가 있다. 한편$$,${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}}$ and ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}$ correspond on the projectively extended real line to only a limit from the right and one from the left, respectively, with the full limit only existing when the two are equal. 따라서 e ${\displaystyle x^{}}$ ${\$와 ${\displaystyle \arctan }$(${\displaystyle x}$) {\$displaystyle \arctan(x)}$은(는) $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ x$=\infty }$에서 연속적으로 만들 수 없다$$.

참고 항목

• 0으로 나누기
• 확장 복합 평면
• 연장된 자연수
• 부적합 적분
• Infinity
• 로그 의미 부여
• 시리즈(수학)
• 투영 확장 실선
• 확장된 실수의 컴퓨터 표시(Floating-point 산술 § Infinities 및 IEEE 부동 소수점 참조)

메모들

참조

추가 읽기

• Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998), Principles of Real Analysis (3rd ed.), San Diego, CA: Academic Press, Inc., p. 29, ISBN 0-12-050257-7, MR 1669668
• David W. Cantrell. "Affinely Extended Real Numbers". MathWorld.