바퀴 이론

바퀴는 (범용대수라는 의미에서) 대수의 일종으로, 분열이 항상 정의된다.특히 0으로 나눈 것은 의미가 있다.실제 숫자는 다른 교환 링과 마찬가지로 바퀴까지 확장될 수 있다.

휠이라는 용어는${\displaystyle \mathrm{}}$project${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$/ ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle \odot$$}$과(하단 요소)와 함께 투영 선의 위상학적 그림 ⊙에서 영감을 얻었다$.$^[1]

바퀴는 덧셈과 곱셈이 각각 그룹이 아닌, 무의식적으로 결합한 정류 단모형과 정류 단모형인 정류 링(및 의미)과 동등한 것으로 간주할 수 있다.^[1]

정의

바퀴는 대수 구조$({\displaystyle W}$ ,${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$+ , + ,${\displaystyle }$,${\displaystyle }$,${\displaystyle }$/${\displaystyle }$) ${\displaystyle (W,0,1,+,\cdot ,/)}$이다$.$

• ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$은(는) 집합이지만
• ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {}0}$ 및$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$은(는) 해당 집합의 요소,
• ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle +}$ 및$$ $⋅$ {\$displaystyle \cdot }$은(는) 이진 연산이며,
• ${\displaystyle /}$ ${\$은(는) 단일 작업이지만

그리고 다음 속성을 만족한다.

• ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle +}$과(와) $⋅$ {\$displaystyle$ \$cdot$}은(는) 각각 대화형이고$$ 연관성이 있으며 ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle \0}$과 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystystyle 1}$을(는) 각각의 ID로 가지고 있다.
• ${\displaystyle /}$/ / ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle //x=x}($${\displaystyle }$/ ${\$은(는) 비자발적임)
• ${\displaystyle /}$( ${\displaystyle x}$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$/ x${\displaystyle }$/ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle /(xy)=/x/y}($${\displaystyle }$/ ${\$은(는) 승수)
• ${\displaystyle xz+yz=(x+y)z+0z}$
• ${\displaystyle (x+yz)/y=x/y+z+0y}$
• $0\displaystyle 0\cdot 0=0}$
• $(x+0y)z=xz+0y}$
• ${\displaystyle /(x+0y)=/x+0y}$
• ${\displaystyle 0/0+x=0/0}$

바퀴 대수

바퀴는 일반적인 분할을 곱셈으로 대체하며${\displaystyle ,}$ 하나의 ${\displaystyle 인수}{\displaystyle }$/ x ${\displaystyle /x}$에 단항$$ 연산을 적용하여 승법 역 $x{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ $x$$^{-1$와 유사하게 적용하여 /${\displaystyle b}$ ${\displaystystyle a/$${\displaystyle b}$}이(가)${\displaystyle =}$/ ${\displaystyle b}$ =${\displaystyle }$/ ${\displaystyle b}$ sh a의 속기가 된다$$.${\style$ a$\cdot /b=/b\$$cdot$ $a$$}$을$($를) $표시$하지만 일반적으로$$ ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle }$b -${\displaystyle {}^{}}$$1$ ${\$ $b^{-1} 또는$ $b{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$은 $표시$하지 않으며$,$ 대수 규칙을 수정하여 다음과 같이 수정한다.

• ${\displaystyle }$일반 사례의$$ ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ ${\displaystyle 0}$ x${\displaystyle 0}$ 0 ${\displaystyle 0x\neq$0}
• ${\displaystyle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle }$/ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ne }$ 1$$ 사례에서$$ /${\displaystyle }$x ${\$$displaystyle x/x\neq 1$$}$은(는) x {\$displaystyle$ /$x$$\}$의 승법 $역행$과 같지 않음$$.

파생될 수 있는 다른 정체성은

• ${\displaystyle 0x+0y=0xy}$
• ${\displaystyle x/x=1+0x/x}$
• ${\displaystyle x-x=0x^{2}}$

where the negation ${\displaystyle -x}$ is defined by ${\displaystyle -x=ax}$ and ${\displaystyle x-y=x+(-y)}$ if there is an element ${\displaystyle a}$ such that ${\displaystyle 1+a=0}$ (thus in the general case ${\displaystyle x-x\neq 0}$).

그러나 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$= 0 ${\displaystyle 0x=0}$ 및$$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0/x=0}$을(를) $사용$하는 x {\displaystyle 0$/$$=$$0$}의 경우 일반적인 결과를 얻음

• ${\displaystyle x/x=1}$
• ${\displaystyle x-x=0}$

위와 같이 부정을 정의할 수 있는 경우${\displaystyle }$ 부분집합 {${\displaystyle x0}$ 0${\displaystyle x}$ = ${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle$\{$x\mid 0x=0\}}}$은 조합형 링이며, 모든 조합형 링은 휠의 부분집합이다.$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 정류 링의 되돌릴 수 없는 요소인 경우 $x{\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle 1^{}}$ =${\displaystyle }$/ x$${\$displaystyle$ x$^{-1}=/x}$.따라서 $x{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$이 말이$$ 될 때마다${\displaystyle }$/ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle /x$과 동일하지만, ${\displaystyle \mathrm{x}}$= 0 ${\displaystyle$ x$=0}$이더라도 후자는 항상 정의된다$.$

예

분수의 바퀴

$A$ ${\$$displaystyle A$$}$을(를) 정류 링으로$$ 하고, $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를$)$ $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$$$A}$의 승수 하위 링으로 한다$$$.$ $A{\displaystyle }$ $A$에서 $일치$$$ 관계를 정의한다$.$

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})}$ means that there exist ${\displaystyle s_{x},s_{y}\in S}$ such that ${\displaystyle (s_{x}x_{1},s_{x}x_{2})=(s_{y}y_{1},s_{y}y_$${2})}$.

Define the wheel of fractions of ${\displaystyle A}$ with respect to ${\displaystyle S}$ as the quotient ${\displaystyle A\times A~/{\sim _{S}}}$ (and denoting the equivalence class containing ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ as ${\displaystyle [x_{1},$$x_{2$ 작업 포함

${\displaystyle 0}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0=[0_{A},1_{A}]}($추가 ID)

${\displaystyle 1}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$, 1 ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1=[1_{A},1_{A}]}($복제 ID)

${\displaystyle /}$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$]$${\$displaystyle$/[$x_{1},x_{2}]=[x_{2},x_{1}]}($필수 작업)

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle }$[ y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$y ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$+ x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 2 ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2$}]=[x_{2$}+}y_{1},x_{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$⋅ [ y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$[ x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2$}]=[x_{2}$y_{2}]}}}($증법률 작업)

투사선과 리만구

필드로 시작하는 위의 특별한 경우는 ⊥에 명시된 하단 요소를 붙임으로써 휠로 확장된 투사선을 생성하는데, $여기$서${\displaystyle }$0 /${\displaystyle 0\mathrm{}}$ = ${\displaystyle \mathrm{\perp }}${\$displaystyle$0/$0=\bot$ 투사선은 그 자체로 원소${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaystystyle \inft$ 여기서 ${\displaystyle z\mathrm{}}$/ 0${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaysty z/0=\$x=\}.필드의 모든$$ 요소 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ z$\neq$0}에 대해 큰 $}.$그러나 $0{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle 0/0}$은(는) 투영 라인에서 여전히 정의되지 않지만$$ 휠로 확장된 라인에서 정의된다.

실제 숫자로 시작하는 해당 투사형 "라인"은 기하학적으로 원이고, 그 다음 여분의 점 $0{\displaystyle \mathrm{}/0\mathrm{}}$ ${\displaystyle 0/0}$은 "휠"이라는 용어의 근원이 되는 모양을 제공한다.또는 대신 복잡한 숫자로 시작하여 그에 상응하는 투영적인 "선"은 구체(리만 구)로 되어 있고, 그 다음에 여분의 점이 바퀴의 3차원 버전을 준다.

인용구

참조

• Setzer, Anton (1997), Wheels (PDF) (초안)
• Carlström, Jesper (2004), "Wheels – On Division by Zero", Mathematical Structures in Computer Science, Cambridge University Press, 14 (1): 143–184, doi:10.1017/S0960129503004110, S2CID 11706592 (여기에서 온라인으로 사용 가능).
• A, BergstraJ; V, TuckerJ (1 April 2007). "The rational numbers as an abstract data type". Journal of the ACM. 54 (2): 7. doi:10.1145/1219092.1219095. S2CID 207162259.
• Bergstra, Jan A.; Ponse, Alban (2015). "Division by Zero in Common Meadows". Software, Services, and Systems: Essays Dedicated to Martin Wirsing on the Occasion of His Retirement from the Chair of Programming and Software Engineering. Lecture Notes in Computer Science. Springer International Publishing. 8950: 46–61. doi:10.1007/978-3-319-15545-6_6. ISBN 978-3-319-15544-9. S2CID 34509835.