특성 함수(콘벡스 분석)

볼록 분석으로 알려진 수학 분야에서 집합의 특성 함수는 해당 집합에서 주어진 원소의 구성원(또는 비회원)을 나타내는 볼록함수다.일반적인 지표 기능과 유사하며, 둘 사이를 자유롭게 전환할 수 있지만, 아래에 정의한 특성 함수는 볼록 분석 방법에 더 적합하다.

정의

$X$ $X$ 을(를) 집합으로 $X$ 하고, $A$ {\ $displaystyle A$ }을(를) X{\ $displaystyle$ X $X$ 의 하위 집합으로 $A$ 한다. $A$ $A$ 의 특성 함수는 함수임 $A$

\displaystyle \chi _{A:X\to \mathb {R} \cupt \}컵 \{+\inflt \}}

다음에 의해 정의된 확장된 실수 라인에서 값 가져오기

\chi _{A}(x):={\begin{case}0,&x\in A;\\+\inflit,&x\not \in A.\end{case}}

표시기 함수와의 관계

$\mathbf {1} _{A}:X\to \mathbb {R}$ $\mathbf {1} _{A}:X\to \mathbb {R}$ : $\mathbf {1} _{A}:X\to \mathbb {R}$ → $\mathbf {1} _{A}:X\to \mathbb {R}$ ${\$ 1 $} _{A:$ $X\to \mathb {R}은($ 는) 일반적인 표시기 함수를 나타낸다 $\mathbf {1} _{A}:X\to \mathbb {R}$ .

\mathbf {1} _{A}(x):={\begin{case}1,&x\in A;\0,&x\not \in A.\end{case}}

다음 규칙을 채택할 경우

for any $a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ , $a+(+\infty )=+\infty$ and $a(+\infty )=+\infty$ , except $0(+\infty )=0$ ;
${\frac {1}{0}}=+\infty$ ${\frac {1}{0}}=+\infty$ = + ${\frac {1}{0}}=+\infty$ ${\frac {1}{0}=+\inflt$ ; 및
${\frac {1}{+\infty }}=0$ + ${\frac {1}{+\infty }}=0$ = ${\frac {1}{+\infty }}=0$ ${\displaystyle {\frac {1}{+\flass }}}=0$ ;