보의 직접적 통합

직접 통합은 보의 내부 전단, 내부 모멘트, 회전 및 편향 측정을 위한 구조 해석 방법이다.

중량이 $w{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle w(x)}$인 빔이 양으로 하향 조정한 경우$,$ 내부 전단력은 중량의 음의 적분을 취함으로써 주어진다.

${\displaystyle V(x)=-\int w(x)\,dx}$

${\displaystyle \mathrm{내부}}$ 모멘트 $M{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle M(x)}$은(는) 내부 전단(internal shear:

${\displaystyle M}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \int }$ V${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle d}$ x ${\displaystyle M(x)=\int V(x)\,dx}$ $$= -${\displaystyle \int }$[ ${\displaystyle w}$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle d}$] ${\displaystyle d}$ ] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle$-int$\int$ \$w(x)\,dx\dx}$

수평 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta$ $\}$로부터의 회전각은 영의 계수와 관성의 영역 모멘트로 나눈 내부 모멘트의 적분이다.

${\displaystyle \theta(x)={\frac {1}{EI}}\int M(x)\,dx}$

회전각을 통합하면 수직 변위 ${\displaystyle \nu$}$$:

$\displaystyle \nu(x)=\int \theta(x)\,dx}$

통합

통합을 실시할 때마다 통합의 상수를 얻을 필요가 있다. 이러한 상수는 지지대 또는 자유 끝에 있는 힘을 사용하여 결정된다.

내부 전단 및 모멘트의 경우 빔의 자유체도를 분석하여 상수를 찾을 수 있다.

회전 및 변위의 경우 지지대 유형에 따라 조건을 사용하여 상수를 찾는다. 캔틸레버 빔의 경우 고정 지지대는 제로 회전과 제로 변위를 가진다. 핀과 롤러로 지지되는 빔의 경우, 두 지지대 모두 변위가 0이다.

샘플 계산

좌측 고정 핀과 우측 롤러로 지지되는 우측 빔을 취한다. 가해진 모멘트가 없고, 중량은 일정한 10 kN이며, 대칭으로 인해 각 지지대는 빔에 75 kN 수직력을 가한다. x를 핀에서 거리만큼 가져가면

${\displaystyle w(x)=10~{\textrm {kN}/{\textrm {m}}$

통합

${\displaystyle V(x)=-\int w(x)\,dx=-10x+C_{1}({\textrm {kN}})}$

여기서 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는 적용된 하중을 나타낸다$$. 이러한 계산에서 빔에 영향을 미치는 하중은 핀에 의해 가해지는 75 kN 하중뿐이며, x=0에서 가해지는 하중은 다음과 같다.

${\displaystyle V(x)=-10x+75({\textrm {kN})}$

내부 전단 통합,

${\displaystyle M(x)=\int V(x)\,dx=-5x^{2}+75x({\textrm {kN}}\cdot {\textrm {m}})}$ where, because there is no applied moment, ${\displaystyle C_{2}=0}$.

EI 값이 1kN ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$라고 가정하는 경우(단순함을 위해 강철과 같은 구조 부재의 실제 EI 값은 일반적으로 10의 힘으로 더 크다)

$displaystyle \theta$$EI}}\,dx=-{\frac {5}{3}x^{3}+{7}{75}{$2}}$x^{2}+C_{3}({\textrm {m}/{\textrm {m$ 및

${\displaystyle \nu (x)=\int \\dx=-{\frac {5}{12}x^{4}+{7}{7}{6}x^{3}+C_{3}x+C_{\textrm{m}}}}}}}$

빔의 각 끝단에 있는 수직 지지대 때문에 x = 0과 x = 15m에서 변위(${\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu }$)는 0이다. 대체(x = 0, ν(0) = 0), (x = 15m, ν(15m) = 0), 상수 ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$ =-$$1406.25 및 ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 4 ${\$ = 0$)$에 대해 해결할 수 있다.

${\displaystyle \theta (x)=\int {\frac {M(x)}{{{{}$$EI$$}}\,dx=-{\frac {5}{3}x^{3}+{\frac {75}{2}}x^{2$}-$1406.25({\textrm {m}/{\textrm {m})$ 및

${\displaystyle \nu(x)=\int \\theta(x)\,dx=-{\frac {5}{12}x^{4}+{\frac {75}{6}}{6}x^{3}-1406.25xfrm\trm}}}}}}$

주어진 EI 값의 경우, x=7.5m에서 최대 변위는 빔 길이의 약 440배이다. 1 kN의 균일한 하중과 5,000 kN/m²의 EI 값과 같은 보다 현실적인 상황의 경우 변위는 약 13 cm가 될 것이다.

• 회전 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$의 경우 단위는$$ 미터로 나눈 값(또는 단위가 되는 다른 길이의 단위)이라는 점에 유의하십시오. 회전은 수직 변위를 수평 변화로 나눈 경사로 주어지기 때문이다.

참고 항목

• 벤딩
• 빔 이론
• 오일러-베르누엘리 정적 빔 방정식
• 솔리드 메카니즘
• 가상 작업

참조

• Hibbeler, R.C., Mechanics Materials, 6판; Pearson Fatherice Hall, 2005. ISBN0-13-191345-X.

외부 링크

• 이중 집적법에 의한 보 편향