융통성

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구조공학에서, 일관적인 변형의 방법이라고도 하는 유연성 방법은 구조 시스템의 부재력 및 변위를 계산하는 전통적인 방법이다. 멤버들의 유연성 측면에서 정립된 현대판도 멤버의 힘을 일차 미지의 것으로 사용했기 때문에 매트릭스 힘 방법이라는 명칭을 가지고 있다.^[1]

구성원 유연성

융통성은 강성의 역이다. 예를 들어, 각각 Q와 Q가 있는 스프링은 힘과 변형으로 간주한다.

• 스프링 강성 관계는 Q = k q이며, 여기서 k는 스프링 강성이다.
• 그것의 유연성 관계는 q = f Q이며, 여기서 f는 스프링 유연성이다.
• 따라서 f = 1/k.

일반적인 회원 유연성 관계에는 다음과 같은 일반적인 형태가 있다.

${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}=\mathbf {f} ^{m}\mathbf {Q} ^{m}+\mathbf {q} ^{om}}}}}$

(1)

어디에

m = 멤버 번호 m.

${\displaystyle {\mathbf{q}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ $$= 부재 특성 변형의 벡터.

${\displaystyle {\mathbf{f}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ = 힘 하에서 변형될 수 있는 부재의 민감성을 나타내는 멤버 유연성 매트릭스.$$

${\displaystyle {\mathbf{Q}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ $$= 알 수 없는 내부 힘인 부재 독자적인 특성 힘의 벡터. 이러한 독립된 힘은 구성원 평형에 의해 모든 구성원-엔드 힘을 발생시킨다.

${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$ ${\$ = 격리된 분리된 부재(${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle \mathrm{알려진}}$ 힘 및 온도 변화)에 적용된 외부 효과(예: Q m = 0${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}=0})$로 인한 부재 특성 변형의 벡터.$$

노드라고 불리는 지점에서 상호 연결된 많은 구성원으로 구성된 시스템의 경우, 구성원의 유연성 관계는 단일 행렬 방정식으로 결합되어 단일 행렬 방정식으로 통합될 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {q} _{M\times 1}=\mathbf {f} _{M\time M}\mathbf {Q} _{M\time1}^{o}}}}$

(2)

여기서 M은 시스템 내 부재 특성 변형 또는 힘의 총 수입니다.

결절 평형 및 적합성 조건을 통해 구성원의 강성 관계를 쉽게 통합할 수 있는 매트릭스 강성 방식과 달리, 현재 등식 (2)의 유연성 형태는 심각한 난관을 내포하고 있다. $멤버{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ 힘 Q ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$:1}}을 1차 미지수로 하는$$ 경우, 일반적으로 시스템이 정적으로 결정되지 않는 한, 해결하기에 불충분하다.

노달 평형 방정식

이러한 어려움을 해결하기 위해 먼저 우리는 독립된 미지의 회원 힘의 수를 줄이기 위해 노달 평형 방정식을 이용한다. 시스템에 대한 노달 평형 방정식은 다음과 같은 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle \mathbf {R} _{N\time1}=\mathbf {b} _{N\timeM}\mathbf {Q} _{M\time1}+\mathbf {W} _{N\time1}}}}}}:{N\mathbf 1.}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}*$

(3)

어디에

${\displaystyle {\mathbf{R}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$1}}$$: 시스템 자유도의 모든 N도에서 결절력 벡터.

${\displaystyle {\mathbf{b}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$ : 결과적인 결절 평형 행렬

${\displaystyle {\mathbf{W}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$1}}$$: 부재의 하중에 의해 발생하는 힘의 벡터.

결정계통의 경우 매트릭스 b는 정사각형이며, 시스템이 안정적이라면 (3)부터 Q에 대한 솔루션을 즉시 찾을 수 있다.

1차 시스템

정적으로 불확실한 시스템인 M > N의 경우, (3)을 I = M-N 방정식으로 증가시킬 수 있다.

${\displaystyle X_{i}=\알파 Q_{j}+\beta Q_{k}+\cdots \qquad i=1,2,\ldots,I}$

(4)

벡터 X는 소위 중복력의 벡터로서 나는 시스템의 통계적 불변성의 정도를 말한다. 우리는 보통 $j{\displaystyle }$, k$,$ …, α {\displaystyle \$alpha },$$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$을 선택하여 ${\displaystyle {Xi}_{}}$ {\$displaystyle X_{i}}}$가 지지반응이거나$$ 내부 구성원-엔드 힘이라고 한다. 적절한 예비력 선택으로 이제 (4)로 증강된 방정식 시스템 (3)을 해결하여 다음을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1}=\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} _{N\times 1}+\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} _{I\times 1}+\mathbf {Q} _{v\cdot M\times 1}}$

(5)

(2)로 대체하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {q} _{M\times 1}=\mathbf {f} _{M\times M}{\Big (}\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} _{N\times 1}+\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} _{I\times 1}+\mathbf {Q} _{v\cdot M\times 1}{\Big )}+\mathbf {q} _{M\times 1}^{o}}$

(6)

방정식 (5)과 (6)은 $중복력{\displaystyle \mathbf{}}$ X ${\$을(를) 노출시키는 절단에 의해 정적으로 결정되는 원래 시스템인 1차 시스템의 솔루션이다$.$ 방정식 (5)은 알려지지 않은 힘 집합을 $효과적$으로 X ${\$로 감소시킨다$.$

호환성 방정식 및 솔루션

다음으로 $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$$$\mathbf {X}$을(를) 찾으려면 I ${\displaystyle$ \mathbf {X} 호환성$$ 방정식을 설정해야 한다$.$ 호환성 방정식은 중복 성분 X에서 상대적 변위 r ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 0으로 설정하여 절단 부분에서 필요한 연속성을 복원한다. 즉, 단위 더미 힘 방법을 사용하여 다음을 수행한다.

${\displaystyle \mathbf {r} _{X}=\mathbf {B} _{X}^{T}\mathbf {q} =\mathbf {B} _{X}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} +\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}=0}$

(7a)

또는 r =${\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$ +${\displaystyle }$r ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{X}=\mathbf {F} _{X$}\$mathbf {X} +\mathbf {r} _{X}^{O}=0}$

(7b)

어디에

${\displaystyle \mathbf {F} _{X}=\mathbf {B} _{X}^{X}\mathbf {f} \mathbf {B} _{X}}}}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{X}^{o}=\mathbf {B} _{X}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

X에 대해서는 방정식(7b)을 풀 수 있고, 다음에 (5)부터 단원의 힘을 찾을 수 있고, 노달의 변위는 다음과 같이 찾을 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}=\mathbf {B} _{R}^{T}\mathbf {q} =\mathbf {R}+\mathbf {R}+{R}^{R}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle {\mathbf{F}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$= ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ R ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ {$F} _{RR}=\mathbf$ {$B} _{R}^{T}\mathbf${F}$\mathbf$ {B}$\mathbf$ {$R}$ \mathbf {R}}은 시스템 유연성 행렬이다.

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}^{o}=\mathbf {B} _{R}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

중복제에서 발생하는 지지대의 움직임은 방정식 (7)의 오른쪽에 포함될 수 있으며, 다른 장소에서 지지대의 움직임은 R ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$1}에도 포함되어야$$ 한다.

장단점

(4)에서 중복되는 힘의 선택은 자동 계산에 있어서 임의적이고 골치 아픈 것으로 보이지만, (3)에서 수정된 가우스-조르단 제거 과정을 이용하여 (5)로 직접 진행함으로써 이러한 반대를 극복할 수 있다. 이것은 수치 안정성을 보장하기 위해 자동으로 좋은 예비력을 선택하는 강력한 절차다.

위의 프로세스에서 매트릭스 강성 방법을 이해하기 쉽고 자동 연산을 위해 구현하기가 더 쉽다는 것을 알 수 있다. 또한 비선형 분석, 안정성, 진동 등과 같은 고급 애플리케이션에 대해서도 확장이 용이하다. 이러한 이유로, 매트릭스 강성 방법은 범용 구조 해석 소프트웨어 패키지에 사용하기 위한 선택 방법이다. 반면, 통계적 불변성이 낮은 선형 시스템의 경우, 유연성 방법은 계산적으로 덜 집중될 수 있다는 장점이 있다. 그러나, 이러한 장점은 개인용 컴퓨터가 널리 보급되고 더 강력하기 때문에 모호한 점이다. 오늘날 이 방법을 배우는 데 있어 가장 중요한 요소는 역사적 가치 외에도 균형과 양립의 개념을 전달하는 교육적 가치다. 이와는 대조적으로 직접강성방법의 절차는 매우 기계적이어서 구조적 거동에 대한 큰 이해 없이 사용될 위험이 있다.

상위 주장은 1990년대 후반까지 유효했다. 그러나 최근의 수치 계산의 발전은 특히 비선형 시스템의 경우 힘 방법의 재기를 보여주었다. 시스템 비선형성의 유형이나 성질을 존중하지 않고 "정확한" 제형을 허용하는 새로운 프레임워크가 개발되었다. 유연성 방법의 주요 장점은 결과 오차가 모델의 탈부착과 무관하며 실제로 매우 빠른 방법이라는 점이다. 예를 들어, 힘 방법을 사용한 연속 빔의 탄성-플라스틱 용액은 4개의 빔 요소만 필요로 하는 반면 상용 "안정성 기반" FEM 코드는 동일한 정확도로 결과를 제공하기 위해 500개의 요소를 필요로 한다. 결론적으로, 문제의 해결이 구조 최적화나 시스템 식별의 경우와 같이 힘 영역의 재귀적 평가가 필요한 경우, 유연성 방법의 효율성은 논박할 수 없다고 말할 수 있다.

참고 항목

• 구조역학에서의 유한요소법
• 구조해석
• 강성법

참조

외부 링크

• 일관된 변형 - 힘 방법