모어-쿨롱 이론

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다음에 대한 시리즈 일부
연속체 역학
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ 픽의 확산 법칙
법 컨버지 미사 모멘텀 에너지 불평등 클라우시우스-듀헴 (엔트로피)
고체 역학 변형 탄력성 일직선의 가소성 후크의 법칙 스트레스 유한변형 무한 변형률 호환성. 벤딩 접촉 역학 마찰의 물질적 고장 이론 파단 역학
유체역학 유체 통계학 · 역학 아르키메데스의 원리 · 베르누이의 원리 나비에-스토크스 방정식 푸아세유 방정식 · 파스칼의 법칙 점도 (뉴턴어 · 비뉴턴어) 부력 · 믹싱 · 압력 액체 접착 모세관 작용 크로마토그래피 응집(화학) 표면장력 가스 대기 보일의 법칙 찰스의 법칙 복합가스법 픽의 법칙 게이 루삭의 법칙 그레이엄의 법칙 플라즈마
리히로지 점탄성 레호메트리 레히미터 스마트 유체 전기오류 자기 지질학 페로플루이드
과학자들 베르누이 보일 카우치 찰스 오일러 픽 게이 루삭 그레이엄 훅 뉴턴 나비에르 노울 파스칼 스톡스 트뤼셀
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Mohr-Coulomb 이론은 정상적인 응력뿐만 아니라 전단 응력에 대한 콘크리트 또는 잔해 더미와 같은 부서지기 쉬운 물질의 반응을 설명하는 수학적 모델(수율표면 참조)이다. 대부분의 고전적인 공학 재료들은 적어도 전단 파괴 봉투의 일부에서 이 규칙을 따른다. 일반적으로 이 이론은 압축 강도가 인장 강도를 훨씬 초과하는 재료에 적용된다.^[1]

지질 공학에서 다른 유효 응력에서 토양과 암석의 전단 강도를 정의하는 데 사용된다.

구조공학에서는 콘크리트 및 유사한 재료의 변위파단 파괴각뿐만 아니라 파괴하중을 결정하기 위해 사용된다. 쿨롱의 마찰 가설은 재료의 골절을 일으킬 전단 응력과 정상 응력의 조합을 결정하는 데 사용된다. Mohr의 원은 어떤 주응력이 전단응력과 정상응력의 조합을 생성할지 그리고 이것이 발생할 평면의 각도를 결정하는 데 사용된다. 정상성의 원리에 따르면 고장 시 발생하는 응력은 파괴 상태를 설명하는 선과 수직이 될 것이다.

쿨롱의 마찰 가설에 따른 물질적 결함은 실패 시 유입된 변위가 마찰 각도와 동일한 파단선에 각도를 형성한다는 것을 보여줄 수 있다. 이는 변위 및 외하중에 의해 유입되는 외부 기계적 작업과 고장 라인의 변형 및 응력에 의해 유입되는 내부 기계적 작업을 비교함으로써 물질의 강도를 결정할 수 있게 한다. 에너지 절약에 의해 이들 합계는 0이어야 하며 이는 건설의 고장 하중을 계산할 수 있게 할 것이다.

이 모델의 일반적인 개선은 분리 골절을 설명하기 위해 쿨롱의 마찰 가설을 랭킨의 주된 스트레스 가설을 결합하는 것이다.^[2] 대안적 관점은 Mohr-Coulomb 기준을 확장 실패로 도출한다.^[3]

발전사

Mohr-Coulomb 이론은 Charles-Augustin de Coulomb와 Christian Otto Mohr를 기리기 위해 명명되었다. 쿨롱의 공헌은 "Essai sur une approgration des régles des maximis et minimis"라는 제목의 1773년 에세이로, 모어는 19세기 말경에 이론의 일반화된 형태를 개발했다.^[4][5] 일반화된 형태가 기준의 해석에 영향을 주었지만 그 실체는 영향을 미치지 않았기 때문에, 일부 텍스트는 계속해서 기준을 단순히 '쿨롱 기준'^[6]으로 언급하고 있다.

Mohr-Coulomb 고장 기준

Mohr-Coulomb^[7] 고장 기준은 재료의 전단 강도 대 적용된 정규 응력 그림에서 얻은 선형 외피를 나타낸다. 이 관계는 다음과 같이 표현된다.

$\displaystyle \tau =\disma ~\tan(\phi )+c}$

여기서 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$은(는) 전단 강도, $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$tau }$축이$$$$ 있는 $고장{\displaystyle }$ 엔벨롭의 가로채기$$ ${\displaystyle c}$은(는)${\displaysty \tan(\pi$)은$$ 고장 엔벨롭의 기울기이다. 수량 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$을(를) 흔히 응집이라고 하며 각도 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$을(를) 내부 마찰의 각도라고 한다. 압축은 다음 논의에서 양성으로 가정한다. 압축이 음수인 것으로 가정할 경우 $then{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$을$({\displaystyle }$를) - ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle$ -$\sigma }($으)로 교체해야 한다$$$.$

${\displaystyle \mathrm{\varphi }}$ =${\displaystyle }$0 ${\displaystyle \phi$ =0$}$인 경우 Mohr-Coulomb 기준은 Tresca 기준으로 감소한다$.$ 반면 $\varphi {\displaystyle }$= ${\displaystyle {90}^{\circ }}$ ${\$Mohr-Coulomb 모델은$$ 랭킨 모델과 동등하다. $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$의 높은 값은 허용되지$$ 않는다.

모어 서클에서는

어디에 $and{\displaystyle {}_{}}$ ${\$\ \$ma _{$1}는 최대$$ 주성응력이고 ${\displaystyle {and\mathrm{}}_{}}$ 3${\$은 최소 주성응력이다.

따라서 Mohr-Coulomb 기준도 다음과 같이 표현할 수 있다.

이 형태의 Mohr-Coulomb 기준은 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 방향과$$ 평행한 평면의 고장에 적용된다.

3차원의 Mohr-Coulomb 고장 기준

3차원의 Mohr-Coulomb 기준은 흔히 다음과 같이 표현된다.

${\cfrac{\sigma_{1}-\sigma _{2}}{2}{\displaystyle \left\{{\begin{정렬}\pm}&=\left[{\cfrac{\sigma_{1}+\sigma_{2}}{2}}\right]\sin(\phi)+c\cos(\phi)\\\pm{\cfrac{\sigma_{2}-\sigma _{3}}{2}}&=\left[{\cfrac{\sigma_{2}+\sigma_{3}}{2}}\right]\sin(\phi)+c\cos(\phi)\\\pm{\cfrac{\sigma_{3}-\sigma _{1}}{2}}&=\left는 경우에는{\cfrac{\sig.엄마 _{3}+\sigma _{1}:{1}:{2}}\오른쪽]\sin(\phi )+c\cos(\phi).\end{aigned}\오른쪽.}$

Mohr-Coulomb 고장 표면은 일탈 응력 공간에 육각 단면을 가진 원뿔이다.

좌표 축(basis 벡터)에 대한 임의 방향 평면에서 정상 응력과 해결된 전단 응력에 대한 표현을 개발하여 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$ 및$$ $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$의 식을 3차원까지 일반화할 수 있다$$. 관심 평면에 대해 단위가 정상인 경우

${\displaystyle \mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}}~\mathbf {e} _{3}}$

where ${\displaystyle \mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3}$ are three orthonormal unit basis vectors, and if the principal stresses ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ are aligned with the basis vectors ${\displaystyle \mathbf {e} _$${1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3$ 그러면 $\sigma {\displaystyle }$, ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle$\ \$ma ,\tau$}의 식이 된다$$.

${\displaystyle {\regated}\n_{1}^{2}\probma _{1}+n_{2}^{2}\bma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\filma _{2}-\filma _{3})^{2}+n_{3}}^{2}n_{1}^{2}(\flavma _{3}-\probma _{1}^{2}}.\end{정렬}}}$

그런 다음 Mohr-Coulomb 고장 기준은 일반적인 식을 사용하여 평가할 수 있다.

최대 전단 응력의 6개 면에 대해.

평면의 정규 및 전단 응력 유도

장치가 관심 평면에 정상으로 유지되도록 한다. ${\displaystyle \mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}}~\mathbf {e} _{3}}$ 여기서 $e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \mathrm{i}}$= 1,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3}$은 3개의 정형 단위 벡터다. 그러면 평면의 트랙션 벡터는 다음과 같이 주어진다. ${\displaystyle \mathbf {t} =n_{i}~\mathbf {e} _{j}~{j}~{\text{(지수가 합계를 나타냄)}}}$ 트랙션 벡터의 크기는 다음과 같다. ${\displaystyle \mathbf {t} ={\sqrt {(n_{j}~\jma_{1j}^{2k}^{2}+(n_{l}~{3l})^{2}~{2}}~{\text}{{{{}}}}}}는 합계를 나타낸다.}}}$ 그런 다음 평면에 대해 정규적인 응력의 크기는 다음과 같다. ${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {n} =n_{i}~\cdma _{ij}~{j}~{\text{(계수 지수는 합계를 나타냄)}}}$ 평면에서 해결된 전단 응력의 크기는 다음과 같다. $${\displaystyle \tau ={\sqrt {\mathbf {t} ^{2}-\mathma ^{2}}:$$ 구성 요소 면에서는 ${\displaystyle {\regated}\n_{1}^{2}\n1}^{11}+n_{2}}^{2}\ma_{22}+n_{3}^{2}\sigma _{33}+2(n_{1}n_{2}\sigma _{12}+n_{2}n_{3}\sigma _{23}+n_{3}n_{1}\sigma _{31})\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{11}+n_{2}\sigma _{12}+n_{3}\probma _{31}^{2}+(n_{1}}\probma _{12}+n_{2}\probma _{22}+n_{3}}\probma _{23}^{2}+(n_{1}}\probma _{31}+n_{2}\probma _{23}+n_{3}}}\jamma _{33}^{2}-\jamma ^{2}}\end{aigned}}}}$ If the principal stresses ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ are aligned with the basis vectors ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$, then the expressions for ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ are ${\displaystyle {\regated}\n_{1}^{2}\probma _{1}+n_{2}^{2}\bma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\filma _{2}-\filma _{3})^{2}+n_{3}}^{2}n_{1}^{2}(\filma _{3}-\probma _{1}^{2}}:}\end{aigned}}}}}}}$

그림 2: $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$ $-c$ = ${\displaystyle 2}$ ,${\displaystyle \varphi }$= ${\displaystyle {20}^{}}$ ${\displaystyle {\circ }^{}}$ ${\$의 Mohr-Coulomb 항복 표면

그림 3: $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} $-c$ = ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle \varphi }$= ${\displaystyle {20}^{}}$ ${\displaystyle {\circ }^{}}$ ${\$에 있는 Mohr-Coulomb 항복 표면의 흔적

헤이-웨스터고드 공간의 모어-쿨롬 고장 표면

Mohr-Coulomb 고장(수율) 표면은 종종 Haigh-Westgad 좌표로 표현된다. 예를 들어, 함수

라고 표현할 수 있다.

${\displaystyle \left[{\sqrt {3}}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-\sin \phi \cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi .}$

또는 불변성 $p{\displaystyle }$ ,${\displaystyle q}$, r ${\displaystyle p,q,r}$의 관점에서 우리는$$ 쓸 수 있다.

${\displaystyle \left[{\cfrac {1}{{\sqrt {3}}~\cos \phi }}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-{\cfrac {1}{3}}\tan \phi ~\cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]q-p~\tan \phi =c}$

어디에

Mohr-Coulomb 항복함수의 대체형태 도출

우리는 항복함수를 표현할 수 있다. $${\displaystyle {\philac {\philma _{1}-\phma _{3}}{3}{1}+\phma _{3}}{3}}\phi +c\cos \phi }}$$ 로서 ${\displaystyle \phi _{1}~{\phac {(1-\sin \phi )}{2~c~\cos \phi }{3}-\phos \phi }{2~c~\phos \pi }=1.}$ Haigh-Westgaard 불변성 물질은 다음과 같은 주요 스트레스와 관련이 있다. ${\displaystyle \sigma _{1}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\xi +{\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~\rho ~\cos \theta ~;~~\sigma _{3}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\xi +{\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~\rho ~\cos \left(\theta +{\cfrac {2\pi }{3}}\right)~.}$ Mohr-Coulomb 수율 함수에 대한 표현에 연결하면 ${\displaystyle -{\sqrt {{2}}~\xi ~\sin \phi +\rho[\cos \theta +2\pi /3)]-\cos \\cosho \phi [\cos \cosin \ci}={\sqrt{6}}}$ 코사인 및 재배열 총액과 차이에 삼각적 정체성을 사용하면 using,${\displaystyle \rho ,}$ ${\displaystyle \theta }$,$$θ {\$displaystyle \xi,\rho,\teta }$의 관점에서 Mohr-Coulomb 항복 함수의 표현을 얻을 수 있다$.$ 관계를 이용하여$$ 산출함수를 $p{\displaystyle }$ ,${\displaystyle q}$ ${\displaystyle$ p$,q}$ 단위로 표현할 수 있다. $${\displaystyle \xi ={\sqrt {3}~p~;~\rho = {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\put}{2}}}}~q}$$ 그리고 직접적인 대체.

모어-쿨롱 수율과 가소성

Mohr-Coulomb 항복 표면은 종종 지물질(및 기타 응집성-마찰성 물질)의 플라스틱 흐름을 모형화하는 데 사용된다. 그러한 많은 물질은 모어-쿨롬 모델이 포함하지 않는 3축 응력 상태에서 확장적 행동을 보여준다. 또한 수율면에는 모서리가 있기 때문에 (소성 유량 이론에서) 플라스틱 흐름의 방향을 결정하기 위해 원래의 Mohr-Coulomb 모델을 사용하는 것이 불편할 수 있다.

일반적인 접근방식은 매끄러운 비관련 플라스틱 흐름 전위를 사용하는 것이다. 그러한 잠재력의 예는 기능이다^{[citation needed]}.

여기서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$은(는) $매개{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {변수\mathrm{}}_{}}$,$$c y {\$displaystyle c_{\mathrm$ {y$}}}}$은(는) $플라스틱{\displaystyle }$ 변형률이 0일$$ 때$($초기 응집력 항복 응력이라고도 함), {$${\$displaystyle \psi}$은 렌둘릭 평면의 항복 $표면$에서 p의 각도를 나타내는 값이다$$.${\displaystyle p}($이 각도를 확장각이라고도 함), $G{\displaystyle (}$ (,${\displaystyle \theta }$ )${\displaystyle G(\phi,\theta )}$는 일차 응력면에서도 매끄러운 적절한 기능이다$$.

응집력 및 내부 마찰 각도의 일반적인 값

암석 및 일부 공통 토양에 대한 응집력(대체로 응집강도라고 함)과 마찰각 값은 아래 표에 열거되어 있다.

일부 재료의 응집 강도(c)

재료	kPa 내 응집 강도	psi 단위의 응집 강도
록	10000	1450
실트	75	10
점토	10에서 200까지	1.5에서 30까지
매우 부드러운 점토	0 대 48	0 대 7
연질 점토	48 대 96	7 대 14
중질 점토	96 대 192	14대 28
단단한 진흙	192년 ~ 384년	28대 56
매우 뻣뻣한 점토	384로766번길	28에서 110까지
경질 점토	> 766	> 110

일부 재료에 대한 내부 마찰 각도(${\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$)

재료	마찰 각도(도)
록	30°
모래	30~45도
자갈	35°
실트	26~35도
점토	20°
느슨한 모래	30~35도
중모래	40°
밀도가 높은 모래	35~45도
모래 자갈	> 34~48도

참고 항목

• 3-D 탄성
• 후크-브라운 고장 기준
• 바이얼리의 법칙
• 측면 접지 압력
• 폰 미제스 스트레스
• 항복(엔지니어링)
• Drucker Prager 항복 기준 - M–C 항복 기준의 부드러운 버전
• 광도 좌표

참조