반지 카테고리

대수구조 → 링 이론 링 이론
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비계산 대수 비커밋 링 • 디비전 링 • 반비례 반지 • 심플 링 • 정류자 비계산 대수 기하학 자유대수학 클리포드 대수 • 기하 대수학 연산자 대수
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수학에서 링으로 표기된 반지의 범주는 링(정체성을 가진)이 대상이고, 형태는 링 동형성(정체성을 보존하는 링 동형성)인 범주다.수학의 많은 범주와 마찬가지로 반지의 범주가 크므로 모든 반지의 등급이 적절하다는 뜻이다.null

구체적인 범주로서

링 카테고리(Ring)는 물체가 추가 구조(추가 및 곱셈)로 설정되고 형태는 이 구조를 보존하는 기능이라는 것을 의미하는 구체적인 카테고리다.선천적으로 건망증이 심한 펑터가 있다.

U : 링 → 세트

각 링을 기본 세트로 보내는 세트의 범주에 대한 링 범주(추가 및 곱셈의 작업을 "중복"한다.이 펑터에는 왼쪽 부위가 있다.

F : 세트 → 링

각 세트 X에 X에 의해 생성된 프리 링을 할당한다.

또한 반지의 범주를 Ab(아벨리아 그룹의 범주)나 Mon(모노이드의 범주)에 대한 구체적인 범주로 볼 수 있다.특히 건망증이 있는 펑거들이 있다.

A : 링 → AB

M : 링 → 몬

각각 곱셈과 덧셈이 있다.이 두 사람 모두 연줄이 남아 있다.A의 왼쪽 부호는 모든 아벨 그룹 X(Z-모듈로 생각됨)에 텐서 링 T(X)를 할당하는 펑터다.M의 왼쪽 부호는 모든 모노이드 X에 일체형 모노이드 링 Z[X]를 할당하는 펑터다.null

특성.

한계 및 콜리미트

링 카테고리는 완전하고 완전하며, 모든 작은 한계와 콜리미트가 링에 존재함을 의미한다.다른 많은 대수학 범주들과 마찬가지로 건망증 펑터 U : 링 → 세트는 한계와 여과된 콜리미트를 생성(및 보존)하지만, 공동 유도체나 동등분자를 보존하지는 않는다.Ab와 Mon에 대한 건망증이 있는 functors는 또한 한계를 만들고 보존한다.null

링의 한계와 코리밋의 예는 다음과 같다.

• 정수 Z의 링은 링의 초기 물체다.
• 제로 링은 링의 단자 물체다.
• 링의 제품은 링의 직접 생산에 의해 주어진다.이것은 기본 세트의 데카르트 제품일 뿐이며, 추가 및 곱셈은 구성요소를 기준으로 정의된다.
• 반지류 계열의 조합물은 존재하며 집단의 자유 생산물과 유사한 구조로 주어진다.비제로 링의 조합물은 제로 링이 될 수 있다. 특히, 이러한 현상은_i (R)_i∈I의 조합물의 특성이 각 링 R의_i 특성을 분할해야 하기 때문에) 인자가 비교적 주요한 특성을 가질 때마다 발생한다.
• 링의 이퀄라이저는 단지 세트이탈성 이퀄라이저일 뿐이다(두 링 동형성의 이퀄라이저는 항상 서브링이다).
• R에서 S까지의 두 링 동형체 f와 g의 동등분자는 r ∈ R에 대해 f(r) - g(r) 형식의 모든 요소에 의해 생성되는 이상에 의해 S의 몫이다.
• 링 동형상 f : R → S의 경우 f의 커널 쌍(이것은 그 자체와 f의 풀백일 뿐이다)은 R에 대한 합치 관계다.이 일치 관계에 의해 결정되는 이상은 정확하게 f의 (링-테오레틱) 낟알이다.범주의 이론적 커널은 제로 형태론이 없기 때문에 링에서는 이치에 맞지 않는다는 점에 유의하십시오(아래 참조).

형태론

수학에서 연구된 많은 범주와 달리, 링의 물체 쌍들 사이에는 항상 형태론이 존재하는 것은 아니다.이것은 고리 동형체들이 정체성을 보존해야 한다는 사실의 결과물이다.예를 들어 제로 링 0에서 비제로 링까지의 형태는 없다.R에서 S까지 형태론이 존재하기 위해 필요한 조건은 S의 특성이 R의 특성을 나눈다는 것이다.

일부 홈 집합이 비어 있더라도 초기 개체가 있기 때문에 링 범주는 여전히 연결되어 있다는 점에 유의하십시오.null

링의 형태론의 특별한 종류는 다음과 같다.

• Ring의 이소모르퍼시즘은 비주사적인 고리 동음이의어이다.
• 링의 단성형은 주입성 동성형이다.그러나 모든 단형주의가 규칙적인 것은 아니다.
• 모든 허탈적 동형주의는 링에서 경구체(epimorphism)이지만 그 반전은 사실이 아니다.포함 Z → Q는 비주사적 경시동형이다.어떤 교환적인 고리 R에서 그것의 지역화 중 하나에 이르는 자연적인 고리 동형성은 반드시 굴절적이지 않은 경동형이다.
• 허탈적 동형성은 링(이 두 부류가 일치함)에서 규칙적 또는 극단적 경각적 경각성으로 특징지어질 수 있다.
• 반지의 이형성들은 주입식 인식성이다.포함 Z → Q는 이형성이 아닌 이형성의 예다.

기타 속성

• 링 up to thisomorphism에 있는 유일한 주입 물체는 제로 링(즉, 단자 물체)이다.
• 0 형태론이 결여되어 있어 링의 범주는 사전 첨가 범주가 될 수 없다.(단, 단일 물체를 가진 범주로 간주되는 모든 링은 사전 첨가 범주가 된다.)
• 링의 범주는 대칭 단면체 범주로, 링의 텐서 곱은 _Z단면체 제품으로, 정수 Z의 링은 단위 객체로 한다.에크만-힐튼 정리로부터, 링의 모노이드(monoid)는 서로 교환하는 고리라는 것을 따른다.물체에 대한 모노이드(=상호환) R의 작용은 R-알지브라이다.

하위 카테고리

반지의 범주는 많은 중요한 하위 범주를 가지고 있다.여기에는 공통 링, 통합 도메인, 주요 이상적인 도메인 및 필드의 전체 하위 범주가 포함된다.null

정류 링의 범주

CRING으로 표시된 정류 링의 범주는 모든 개체가 정류 링인 링의 전체 하위 범주다.이 범주는 동시 대수학 과목의 중심 연구 대상 중 하나이다.null

어떤 반지든 형태의 모든 요소(xy - yx)에 의해 생성된 이상에 의한 지수를 취함으로써 상응하게 만들 수 있다.이것은 CRing이 Ring의 반사적인 하위 범주가 되도록 포함 펑터에 보조되는 Functor Ring → CRing을 정의한다.발전기 E의 자유 정류 링은 다항식 링 Z[E]로, 변수는 E에서 가져온다.이것은 CRing에서 Set까지의 망각적인 펑터에게 왼쪽 보조 펑터를 준다.null

CRING은 Ring에서 Limit-close로 되어 있는데, 이는 CRING의 한계가 Ring에서와 동일하다는 것을 의미한다.그러나 콜리밋은 일반적으로 다르다.그것들은 링에 있는 콜리밋의 상응 지수를 취함으로써 형성될 수 있다.두 개의 역류 링의 조합물은 링의 텐서 곱에 의해 주어진다.다시, 0이 아닌 두 개의 반향 링의 조합물은 0이 될 수 있다.null

CRING의 반대 범주는 아핀 체계의 범주와 동일하다.등가성은 반향성 펑터 스펙에 의해 주어지며, 이 스펙은 그 스펙트럼에 정류 링을 보낸다.null

필드 카테고리

필드로 표시된 필드의 범주는 객체가 필드인 CRING의 전체 하위 범주다.필드의 범주는 다른 대수 범주만큼 품행이 단정하지 않다.특히 자유 필드는 존재하지 않는다(즉, 건망증이 심한 펑터 필드 → 세트에는 왼쪽이 없다).필드가 CRING의 반사적인 하위 범주가 아니라는 것을 따른다.null

그 분야의 범주는 완전하지도 완전하지도 않다.특히 필드는 제품도, 공동제작물도 없다.null

분야 범주의 또 다른 신기한 측면은 모든 형태론은 단형주의라는 점이다.이는 분야 F의 유일한 이상이 제로 이상과 F 그 자체라는 사실에서 비롯된다.그런 다음 필드의 형태론을 필드 확장자로 볼 수 있다.null

필드 범주가 연결되지 않음.특성이 다른 분야들 사이에는 어떤 형태도 존재하지 않는다.필드의 연결된 구성요소는 특성 p의 전체 하위 범주로서, 여기서 p = 0 또는 prime 숫자다.그러한 각 하위 범주에는 특성 p의 주요 필드(p = 0이면 Q, 그렇지 않으면 유한 필드_p F)라는 초기 개체가 있다.null

관련 카테고리 및 펑커

그룹 카테고리

링에서 그룹의 범주에 이르는 자연적인 functor인 Grp가 있는데, Grp은 각각의 링 R을 그것의 유닛 U(R) 그룹에 보내고 각각의 링 동형성을 U(R)에 대한 제한에 보낸다.이 펑터에는 각 그룹 G를 통합 그룹 링 Z[G]로 보내는 왼쪽 부선이 있다.null

이들 범주 사이의 또 다른 펑터는 각 링 R을 링 P(R)를 통해 투사선에 작용하는 매트릭스 링 M(R₂)의 유닛 그룹으로 보낸다.null

알제브라스

교감 링 R을 지정하면 모든 물체가 R-알게브라이고 형태변형이 R-알게브라 동형성인 범주를 정의할 수 있다.null

반지의 범주는 특별한 경우로 간주될 수 있다.모든 반지는 독특한 방식으로 Z-알지브라로 여겨질 수 있다.링 동형성은 정확히 Z-알지브라 동형상이다.따라서 링의 범주는 Z-Alg 범주와 이형성이다.^[1]반지의 범주에 관한 많은 문장은 R-알제브라 범주에 관한 문장으로 일반화될 수 있다.null

각 정류 링 R에는 R-모듈 구조를 잊어버리는 펑터 R-Alg → 링이 있다.이 펑터에는 각 링 A를 텐서 제품 _ZRaA로 보내는 좌측 보조점이 있으며, R/(s⊗a) = rs⊗a를 설정하여 R-algebra로 생각한다.null

정체성이 없는 반지

많은 저자들은 반지가 다중적 정체성 요소를 갖도록 요구하지 않으며, 따라서 그 정체성을 보존하기 위해 반지 동형성을 요구하지 않는다(존재해야 한다.이것은 다소 다른 범주로 이어진다.구별을 위해 우리는 그러한 대수학적 구조를 rng라고 부르고 그 형태변환 rng 동형체라고 부른다.모든 rng의 범주는 rng로 표시된다.null

링의 범주인 링은 Rng의 비완전 하위 범주다.링 사이에는 정체성을 보존하지 않는 rng 호모형식이 존재하기 때문에 링에서 형태형이 아니기 때문에 완전하지 않다.포함 functor Ring → Rng는 공식적으로 어떤 rng에 대한 정체성을 결합하는 왼쪽 부호를 가지고 있다.포함 펑터 링 → Rng는 한계는 존중하지만 콜리미트는 존중하지 않는다.null

제로 링은 Rng에서 초기 물체 및 단자 물체(즉, 제로 물체)의 역할을 한다.따라서 Rng는 Grp처럼, 그러나 Ring과는 달리, 0의 형태론을 가지고 있다.이것들은 단지 모든 것을 0으로 매핑하는 동음이의어일 뿐이다.제로 형태론의 존재에도 불구하고, Rng는 여전히 사전 가산적인 범주가 아니다.두 개의 rng 동형성의 점적 합은 일반적으로 rng 동형성이 아니다.null

아벨리아 집단의 범주에서 렝까지 완전히 충실한 방장이 있으며, 아벨리아 집단을 제곱 영의 관련 rng에 보낸다.null

Rng에서는 Ring보다 자유로운 건축이 덜 자연스럽다.예를 들어, 세트 {x}에 의해 생성된 자유 rng는 상수 항이 없는 x를 초과하는 모든 통합 다항식의 링인 반면, {x}에 의해 생성된 자유 링은 단지 다항식 링 Z[x]이다.null

참조

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
• Mac Lane, Saunders; Garrett Birkhoff (1999). Algebra ((3rd ed.) ed.). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1646-2.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 ((2nd ed.) ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.