균일 수렴

수학적인 분석 분야에서 획일적인 수렴은 점의 수렴보다 강한 함수의 수렴 방식이다. 임의로 작은 양의 숫자 $ϵ{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle (f_{n})$가 주어지면 $일련$의 함수$({\displaystyle {fn}_{}}$) ${\$$displaystyle E}$의 제한 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$에 균일하게 수렴되며, 각 함수 $functions{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ $\epsilon$ $\},$ $N}$을 찾을 수 있다.${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }$ differ from ${\displaystyle f}$ by no more than ${\displaystyle \epsilon }$ at every point ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle E}$. Described in an informal way, if ${\displaystyle f_{n}}$ converges to ${\$$displaystyle f$${\displaystyle \}}$은(는) 균일하게$$ ${\displaystyle f_{}}$(x ) {\$displaystyle$f_${$$n}($x$$)}이${\displaystyle (}$${\displaystyle 가)}$ f (${\displaystyle {}_{}}$x ) ${\displaystyle f_{n}(x)}$이(가) 특정$$ 거리 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaysty \epsilon$}의 범위 내에 있음을 보장하기 위해 해당 도메인 전체에 걸쳐 "확률$$"이다. ${\displaystyle f(x)}$, we do not need to know the value of ${\displaystyle x\in E}$ in question — there can be found a single value of ${\displaystyle N=N(\epsilon )}$ independent of ${\displaystyle x}$, such that choosing ${\displaystyle n\geq N}$ will ensure that ${\displaystyle f_n(x)}$${\displaystyle f_{n}(x)}$ is within ${\displaystyle \epsilon }$ of ${\displaystyle f(x)}$ for all ${\displaystyle x\in E}$. In contrast, pointwise convergence of ${\displaystyle f_{n}}$ to ${\displaystyle f}$ merely guarantees that for any ${\displaystyle x\in E}$ given in advance, we can find ${\displaystyle N=N(\epsilon ,x)}$ (${\displaystyle N}$ can depend on the value of ${\displaystyle x}$) so that, for that particular ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle f_{n}(x)}$ falls within ${\displaystyle \epsilon }$ of ${\displaystyle f(x)}$$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$이(가) 있을 때마다 $.$

획일적인 수렴과 점근 융합의 차이는 미적분학의 역사 초기에 충분히 인식되지 않아 잘못된 추론의 사례로 이어졌다. Karl Weierstrass에 의해 처음 공식화된 개념은 연속성, Riemann 통합성$,$ 그리고 추가적인 가설과 함께 다른 가능성 등 함수 ${\displaystyle f_{}}$ ${\$ $f_$${n}$의 몇 가지 특성이 융합이 균일하지만 그렇지 않은$$ 경우 $한계{\displaystyle }$ f$${\$displaystyf}$로 이전되기 때문에 중요하다. 수렴이 균일하지 않을 경우.

역사

1821년 아우구스틴-루이 카우치는 연속함수의 수렴합이 항상 지속된다는 증거를 발표했는데, 1826년 닐스 헨릭 아벨은 쿠키의 증거가 틀려야 한다고 주장하면서 푸리에 시리즈의 맥락에서 귀속된 counterexamples를 발견했다. 당시에는 완전한 표준적인 융합 관념이 존재하지 않았고, 코치는 극소수의 방법을 사용하여 융합에 대해 처리했다. 현대 언어로 표현했을 때, 카우치가 증명했던 것은 한결같이 수렴된 연속함수의 순서는 연속적인 한계를 가지고 있다는 것이다. 연속함수로 수렴하기 위한 단지 점-일치-일치한계(pointwise-conversent limit)의 실패는 함수의 시퀀스를 처리할 때 서로 다른 유형의 수렴을 구별하는 것의 중요성을 보여준다.^[1]

The term uniform convergence was probably first used by Christoph Gudermann, in an 1838 paper on elliptic functions, where he employed the phrase "convergence in a uniform way" when the "mode of convergence" of a series ${\displaystyle \textstyle {\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x,\phi ,\psi )}}$ is indepe변수 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$과 $.{\displaystyle \psi.}$을(를) dent는 것. 시리즈가 이런 식으로 융합될 때 그는 "명백한 사실"이라고 생각하면서도$$, 형식적인 정의를 내리지는 않았고, 그 어떤 증거에도 그 속성을 사용하지 않았다.^[2]

이후 1839–1840년에 타원함수에 관한 강좌에 참석한 구더만의 제자 칼 바이어스트라스는 1894년에 발표한 1841년 논문 '수르 테오리 데르 포텐츠레이헨'에서 사용한 글리케메히 콘베르겐트(독일어: 균일하게 수렴)라는 용어를 만들었다. 독립적으로, 유사한 개념들은 필립 루드비히 폰 세이델과^[3] 조지 가브리엘 스톡스에 의해 표현되었다. G. H. 하디는 자신의 논문 "조지 스톡스 경과 균일한 수렴의 개념"의 세 가지 정의와 "위어스트라스의 발견이 가장 빨랐으며, 그만이 분석의 기본 사상 중 하나로서 그 광범위한 중요성을 완전히 깨달았다"는 발언을 비교한다.

위어스트라스와 베른하르트 리만의 영향으로 19세기 말 헤르만 한켈, 폴 뒤 보이즈 레이몬드, 울리세 디니, 체사레 아르젤라 등이 이 개념과 관련 질문을 집중적으로 연구하였다.

정의

개념은 미터법 공간 및 보다 일반적으로 균일한 공간(아래 참조)에 매핑되는 함수에 쉽게 일반화되지만, 먼저 실제 가치 함수에 대해 균일한 수렴을 정의한다.

$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이(가) 집합이고 $({\displaystyle f_{}}$ n${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}$ ${\$이(가) 실제 값 함수의 시퀀스라고 가정해 보십시오$$. $\mathb$ {N}의 $순서{\displaystyle }$$({\displaystyle {fn}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}$ ${\$ \mathb${N}}}}}}}$은(는) 제한 $f{\displaystyle }$: E${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$\to \mathb {R$$}$ 만약 매 > 0 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대해 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $n{\displaystyle }$$display$ N {\$displaystyle$ n$\$$geq$ N${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle 및}$ x$display$ E {\$displaystyle$ x$\in$ E}에$$ 대해 N$${\\\$displaystystyledata$.

${\displaystyle f_{n}(x)-f(x) <\epsilon .}$

$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle f_{n}$와 f$${\$displaystyle f}$의 균일한 수렴을 위한 표기법은 그다지 표준화되지 않았으며$$, (대략 인기 순서가 감소하여)를 포함한 다양한 기호를 다른 저자들이 사용해 왔다.

${\displaystyle f_{n}\rightarrows f,\put {n\to \infit }{\mathrm {unif\ lim}{}}}}}}{{n}=f,\mathrm {unif}}{\overset {\mathrmathrmatrm {unif}}}{\longrightarrow }f.}$

종종 특별한 기호가 사용되지 않고, 저자는 단순히 글을 쓴다.

${\displaystyle f_{n}\to f\matrm {matrm}}$

to indicate that convergence is uniform. (In contrast, the expression ${\displaystyle f_{n}\to f}$ on ${\displaystyle E}$ without an adverb is taken to mean pointwise convergence on ${\displaystyle E}$: for all ${\displaystyle x\in E}$, ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$ as ${\displaystyle n}$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle n\to \inflt }.)$

Since ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is a complete metric space, the Cauchy criterion can be used to give an equivalent alternative formulation for uniform convergence: ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converges uniformly on ${\displaystyle E}$ (in the previous sense) if and only if for e매우 > ${\displaystyle \epsilon >0$ 다음과 같은$$ 자연수 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) 있다.

, , ( x)- ( x) < ${\displaystyle$ x$\in E,m,n\geq N\implies f_{m}-f_{n}(x) <\엡실론$

또 다른 등가 공식에서 우리가 정의한다면

${\displaystyle d_{n}=\supp_{x\in E}f_{n}(x)-f(x) ,}$

then ${\displaystyle f_{n}}$ converges to ${\displaystyle f}$ uniformly if and only if ${\displaystyle d_{n}\to 0}$ as ${\displaystyle n\to \infty }$. Thus, we can characterize uniform convergence of ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ on ${\displayst$기능 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ E ${\$ {R}$^{E}}$에${\displaystyle }$(${\displaystyle f_{}}$ n${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {n\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle N_{}}${\$displaystyle (f_{n})_{n\in$$$\$mathb$${$N$}}}}}}$의 (단순) 수렴으로서$$ $yle$ ${\displaystyle {}^{}}$$}$는 다음에 의해 정의된 균일한 메트릭(최상위 메트릭이라고도 함)에 대해$$.

${\displaystyle d(f,g)=\supp_{x\in E}f(x)-g(x) .}$

상징적으로

${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f}$lim ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ n${\displaystyle \underset{}{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f_{n}\rightarrows f\iff \lim_{n\ft \infty }d(f_{n},f)=0}$.

순서는(fn)n∈ N{\displaystyle(f_{n})_{n\in \mathbb{N}}}지역적으로 한결같이 제한 f와 함께 E{E\displaystyle}은 미터 법 공간과 E{x\in E\displaystyle}∈ 모든 x에{\displaystyle f}수렴할 수 있는 r을이 존재한다;0{\displaystyle r>0}그런(fn.다고 한다 )${\displaystyle (f_{n})$은 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle (x}$, ${\displaystyle r}$)${\displaystyle \mathrm{uniformly}}$ E . ${\displaystyle B(x,r)\cap E}$에 균일하게 수렴되는데, 이는 균일한 수렴이 점적 수렴을 함축하는 국소 균일 수렴을 함축한다는 것은 분명하다$$.

메모들

직관적으로 함수의 시퀀스 만약, 임의의 작은ϵ한 n{\displaystyle f_{n}}한결같이{\displaystyle f}f에 전진, n을과 기능을 조의 n{\displaystyle f_{n}}0{\displaystyle \epsilon>0}, 우리는} N∈ N{\displaystyle N\in \mathbb{N}을 찾을 수 있어요;N. 조의 {\displa$ystyle n>N}$은$($는) 함수 $전체$ 영역에서 f {\displaystyle $f}$을(를${\displaystyle )}$ 중심으로$$ 너비 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle ³}$ ${\displaystyle$ $f}[\$$displaystyle$ $f$$(x$)-\$epsilon$$$$\}$과$을)$사이의 "튜브" 안에 모두 포함된다.$$

"$natural{\displaystyle }$ number N {\$displaystyle$ N$}$$$앞에 "$모든{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \in }$$${\$displaystyle x$$\in E$을(를) 이동하여 균일한 수렴의 정의에서 정량자의 순서를 바꾸면 시퀀스의 점별 수렴이 정의된다는 점에 유의하십시오. To make this difference explicit, in the case of uniform convergence, ${\displaystyle N=N(\epsilon )}$ can only depend on ${\displaystyle \epsilon }$, and the choice of ${\displaystyle N}$ has to work for all ${\displaystyle x\in E}$, for a specific value of ${\displaystyle \epsilon }$ that is given. In contrast, in the case of pointwise convergence, ${\displaystyle N=N(\epsilon ,x)}$ may depend on both ${\displaystyle \epsilon }$ and ${\displaystyle x}$, and the choice of ${\displaystyle N}$ only has to work for the specific values of ${\displaystyle \epsilon }$ and ${\display$제공된$$ $스타일 x}$ 따라서 균일한 수렴은 점적합성을 의미하지만, 아래 절의 예에서 알 수 있듯이, 역은 사실이 아니다.

일반화

${\displaystyle f_{}}$ n ( x ) - f${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}x}$)$displaystyle f_{n}(x)-f(x) }$을(를) $d{\displaystyle (}$ ${\displaystyle f_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, f${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle d(f_{n})(x), f(x$로 대체함으로써 여기서 (${\displaystyle M,}$ d)는 미터 공간인 기능 E → M으로 개념을 직접적으로 확장할 수 있다.

가장 일반적인 설정은 기능 E → X의 그물의 균일한 융합으로, 여기서 X는 균일한 공간이다. We say that the net ${\displaystyle (f_{\alpha })}$ converges uniformly with limit f : E → X if and only if for every entourage V in X, there exists an ${\displaystyle \alpha _{0}}$, such that for every x in E and every ${\displaystyle \alpha \geq \alpha _{0}}$, ${\$디스플레이 $스타일(f_{\alpha }(x),f(x)}$이(가) V에 있음$$. 이러한 상황에서 연속 기능의 균일한 한계는 계속 유지된다.

초현실적 설정의 정의

균일한 수렴은 초현실적인 환경에서 단순화된 정의를 허용한다. Thus, a sequence ${\displaystyle f_{n}}$ converges to f uniformly if for all x in the domain of ${\displaystyle f^{*}}$ and all infinite n, ${\displaystyle f_{n}^{*}(x)}$ is infinitely close to ${\displaystyle f^{*}(x)}$ (see microcontinuity for a similar definition of uniform 연속성(continuity)

예

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ ${\displaystyle 0}$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ x$\in [0,$${\displaystyle 1\mathrm{}}$$)}$의 경우$,$ 균일한 수렴의 기본적인 예를 다음과 같이 나타낼 수 있다: 순서$({\displaystyle 1}$/ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle x^{}}$+ n ${\$는 균일하게 수렴하지만$$, ${\displaystyle x^{}}$ ${\$는 균일하게 수렴되지 않는다$$. Specifically, assume ${\displaystyle \epsilon =1/4}$. Each function ${\displaystyle (1/2)^{x+n}}$ is less than or equal to ${\displaystyle 1/4}$ when ${\displaystyle n\geq 2}$, regardless of the value of ${\displaystyle x}$. On the other hand, ${\displays$$tyle x^{n}}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 값이 1(아래에 더 깊이 있음)에 가깝고 더 가까울$$ 때 $n$ ${\displaystyle n}$의 증가 값에서 $1$${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}${\$displaystyle 1$/4$}$보다 작거나 같을$$ 뿐이다.

위상학적 공간 X를 주어진다면 X에 걸쳐 경계된 실제 또는 복합값 함수의 공간을 통일된 표준 위상(storm topology)과 함께 다음과 같이 정의한 균일한 미터법으로 장착할 수 있다.

${\displaystyle d(f,g)=\f-g\ _{\infit }=\suppy _{x\in X}f(x)-g(x) .}$

즉 균일한 수렴은 단순히 균일한 표준 위상에서의 수렴을 의미한다.

${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ∞ ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}f{\mathrm{}}_{}0{}_{}}$= 0 ${\displaystyle \lim _{n$\to $\infit }\ f_{n}-f\{\infit }=0}$.

함수 순서$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle(f_{n})}$

${\displaystyle {\case}f_{n}:[0,1]\to [0,1]\f_{n}(x)=x^{n}\end{case}}}}}}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 점으로$$ 수렴하지만 균일하지는 않은 함수 시퀀스의 전형적인 예다. 이를 나타내기 위해 $먼저{\displaystyle }$${\displaystyle n_{}}$ → ${\displaystyle \mathrm{【\backslash }}$$displaystyle(f_{n})】$로 하는${\displaystyle }$점괘 한계는 $다음$과 같이$$f {\$displaystyle n$\to \$infit }$로 주어지는$$f {\$displaystyle f}$ 함수임을$$ 관찰한다$.$

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\put \f_{n}(x)={\base}0,&x\in [0,1);\1,&x=1.\end{case}}}$

포인트와이즈 수렴: Convergence is trivial for ${\displaystyle x=0}$ and ${\displaystyle x=1}$, since ${\displaystyle f_{n}(0)=f(0)=0}$ and ${\displaystyle f_{n}(1)=f(1)=1}$, for all ${\displaystyle n}$. For ${\displaystyle x\in (0,1)}$ and given ϵ>0{\displaystyle \epsilon>0}, 우리는 fn())− f())<>\epsilon} 때마다 ≥ N{\displaystyle Nn\geq}ϵ/로그 ⁡)⌉{N=\lceil \log \epsilon /\log x\rceil\displaystyle}(여기에 상단 꺾쇠 괄호 N)⌈ 로그 ⁡을 선택하여 nroun을 나타낸다 ϵ{\displaystyle f_{n}())-f())<>보장할 수 있다., s을 dingee 천장 기능). Hence, ${\displaystyle f_{n}\to f}$ pointwise for all ${\displaystyle x\in [0,1]}$. Note that the choice of ${\displaystyle N}$ depends on the value of ${\displaystyle \epsilon }$ and ${\displaystyle x}$. Moreover, for a fixed choice of ${\displaystyle \epsilon }$, ${\dis$플레이 $스타일 N}($더 작다고 정의할 수 없음)은 x ${\displaystyle x}$이(가) 1에 근접함에$$ 따라 바인딩 없이 성장한다. 이러한 관찰은 균일한 수렴의 가능성을 배제한다.

균일하지 않은 수렴: 때문에 우리는ϵ>를 찾을 수 있도록 통합;0{\displaystyle \epsilon>0} 그렇게 아무리 x∈[0,1]{\displaystyle x\in[0,1]}와 엔의{\displaystyle N,}이 있을 것이다 값 ≥ N과 같이 fn())− f())≥ ϵ{\displaystyle Nn\geq}우리는, N을 선택한다. 큰{\display 균일하지 않다.스타일$f_{n}(x)-f(x) \geq \epsilon .}$ To see this, first observe that regardless of how large ${\displaystyle n}$ becomes, there is always an ${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$ such that ${\displaystyle f_{n}(x_{0})=1/2.}$따라서 우리가 선택할=1/4, 우리는 N{N\displaystyle} 찾을 수가 없다{\displaystyle \epsilon =1/4,}과 같이 fn())− f())<>ϵ{\displaystyle f_{n}())-f())<>모든 x에 \epsilon}∈[0,1]{\displaystyle x\in[0,1]}와 엔 ≥ N{\displaystyle Nn\geq}. 명시적으로, 솔직하고 ϵ.먹었다 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ N$}$에 대해 선택하고$,$ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$1 /${\displaystyle 2}$ )${\displaystyle {}^{}1\mathrm{}}$ /${\displaystyle N^{}}${\$displaystyle x_{0}=(1/2)^{1/N}$에서 f $N$ ${\$의 값을 고려한다$.$ 이후

${\displaystyle \left f_{N}(x_{0})-f(x_{0})\rift[\left[\frac({1}{2}}\오른쪽)^{\frac {1}{N}\right]^{N}-0\오른쪽 ={\frac {1}{1}:{2}}: {\frac {1}{4}}=\epsilon ,}$

the candidate fails because we have found an example of an ${\displaystyle x\in [0,1]}$ that "escaped" our attempt to "confine" each ${\displaystyle f_{n}\ (n\geq N)}$ to within ${\displaystyle \epsilon }$ of ${\displaystyle f}$ for all ${\displaystyle x\in [0,1]}$. I사실, 그것은 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle \lim _{n\to \f}\f_{n}-f\{\nf\{\nft}}{\nfty \}=1,}$

${\displaystyle \mathrm{f}}$ n${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle f}$$$f${\displaystyle {}_{}}$‖${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$$display$ → 0 {\$displaystyle \f_{n}-f\ _{\infit$ }\{\infit $}\to 0}($$f$ n ${\displaystyle {if}_{}}$ if ${\displaystyle \mathrm{if}}$ { { { { { 【\displaysty $f_{n}\rigarrow f$

이 예에서 포인트와이즈 융합이 차별성이나 연속성을 보존하지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있다. 시퀀스의 각 기능이 원활하지만, 즉, 모든 n, f ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$C${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$∞ ${\displaystyle {}^{}0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ $){\displaystyle f_{n}\in$ C$^{\inft }[0,1$에 대해 ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ →${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}{f}_{}}$ n ${\$f_{n_{n}n}n}n$}}}n}n$}n}}}}}n}}}}}}}}}}}}은$$(으)이)이 연속적이지 않다.

지수함수

지수함수의 직렬 확장은 Weierstrass M-테스트를 사용하여$$ 모든 경계 $서브셋{\displaystyle }$ S${\displaystyle }${ ${\displaystyle C\mathbb{}}${\$displaystyle S\subset \mathb {C}$에서 균일하게 수렴되는 것으로 보일 수 있다.

정리(Weierstrass M-test). Let${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle (f_{n}}}$은(는) 함수 $f{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$$E\to \mathbb {C} }$ and let ${\displaystyle M_{n}}$ be a sequence of positive real numbers such that ${\displaystyle f_{n}(x) \leq M_{n}}$ for all ${\displaystyle x\in E}$ and ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ If ${\textstyle \sum _{n}M_{n$$}}}$ 수렴$$ 후$\underset{thenn}{}$ $f_{}$ ${\$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ E$}$에 균일하게 수렴한다$.$

복합 지수함수는 다음과 같은 시리즈로 표현할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

모든 경계 부분 집합은 복합 평면 내의 원점을 중심으로$$ 한 $반경{\displaystyle }$ R$,${\$displaystyle R,}$의 일부 디스크 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\$의 부분 집합이다. Weierstrass M-test는 디스크의 위치와 독립적으로$$ ${\displaystyle {Mn}_{}}$ ${\$$displaystyle M_${n}을(를) 사용하여 시리즈 조건에서 상한$$ ${\displaystyle {Mn}_{}}$ ${\$$displaystyle M_{n}$을(를) 찾도록 요구한다.

${\displaystyle \왼쪽 {\frac {z^{n}}{n!}}}\오른쪽 \leq M_{n},\all z\in D_{R}.}$

이를 위해 우리는 주목한다.

${\displaystyle \왼쪽 {\frac {z^{n}}{n!}}}\right \leq {\frac { z ^{n}}{n!}}}\leq {\frac{R^{n}}{n!}}}$

그리고 take ${\displaystyle {Mn}_{}}$= ${\displaystyle R\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$!${\displaystyle \frac{}{}}$. ${\displaystyle M_{n}={\tfrac{R^{n}}{n$}}{n$!$$}}.}$

$\sum {\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이(가) 수렴이라면$$ M-검정은 원본 영상 시리즈가 균일하게 수렴된다고 단언한다.

비율 테스트는 다음에서 사용할 수 있다.

${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }{\frac {M_{n+1}:{n1}:{n\to \flt}{nM_{n}}}=\lim _{n\to \inflt }{\frac{R^{n+1}:{n1}:{n\lim.R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}}}=\lim _{n\\to \inflt }{\frac {R}{n+1}=0}$

즉, ${\displaystyle {Mn}_{}}$ ${\$을 통한 영상 시리즈가 수렴됨을$$ 의미한다. 따라서 원본 영상 시리즈는 모든 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle$ z$\in D_{R}$에 대해 균일하게 수렴되며$,$ $S$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle D_{}}$ R ${\$ 이후 영상 $시리즈$도 S${\displaystyle }$. ${\displaystystyle$ S$.}$에 균일하게 수렴된다.

특성.

• 모든 균일하게 수렴되는 순서는 국소적으로 균일하게 수렴된다.
• 지역적으로 균일하게 수렴되는 모든 순서는 압축적으로 수렴된다.
• 국소 소형 공간의 경우 국소 균일 수렴과 소형 수렴이 일치한다.
• 미터법 공간에 대한 일련의 연속적인 함수는 이미지 미터법 공간이 완성된 상태에서 균일하게 Cauchy인 경우에만 균일하게 수렴된다.
• If ${\displaystyle S}$ is a compact interval (or in general a compact topological space), and ${\displaystyle (f_{n})}$ is a monotone increasing sequence (meaning ${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$ for all n and x) of continuous functions with a pointwise limit ${\displ$또한 연속적인$$ $aystyle f},$ 그렇다면 수렴은 반드시 균일하다(디니의 정리). $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 콤팩트한 간격이고${\displaystyle }$(${\displaystyle f_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(f_{n})$이 점으로 수렴하는 등거리 시퀀스인$$ 경우에도 균일한 수렴이 보장된다.

적용들

연속성을 위해

${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle E}$ 및$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 위상학적 공간이라면 f , f${\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ M ${\displaystyle f_{n}$$f$:$E\to M$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 메트릭스 공간이라고$$ 추가로 가정하면 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$$$${\$$displaystyle f_$${n$$}$에 대한 (균일) 수렴도 잘 정의된다$$. 다음 결과는 연속성이 균일한 수렴에 의해 보존된다는 것을 나타낸다.

균일 한계 정리. $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이(가) 위상학적 공간이고, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 메트릭 공간이며,${\displaystyle }$(${\displaystyle f_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(f_{n})$이 $연속$ 함수 f${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyf_{n}$의 순서라고 가정해 보십시오.$E\to$ M$\}.$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에서 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}f}$ f$${\$displaystyle f_{n}\rightarrow f}$이$($가) 있으면 f ${\displaystyle f}$도 연속적이다$$.

이 정리는 "1996/3 속임수"에 의해 증명되며, 주어진 불평등(불평등)을 증명하기 위해 연속성과 균일한 수렴의 정의를 사용하여 3가지 불평등(불평등/3)을 생산한 다음 삼각 불평등을 통해 결합하여 원하는 불평등을 만들어 내는 것이 이 속임수의 전형적인 예다.

18세기 많은 수학자들이 연속함수의 순서가 항상 연속함수로 수렴된다는 직관적인 이해를 가지고 있었기 때문에 이 정리는 실제와 푸리에 분석의 역사에서 중요한 것이다. 위의 이미지는 counterexample을 보여주며, 실제로 많은 불연속 함수는 연속 함수의 푸리에 시리즈로 기록될 수 있다. 연속함수의 순서에 대한 점적 한계가 연속적이라는 잘못된 주장(원래는 연속함수의 수렴성 시리즈로 표현됨)은 불명예스럽게도 "코치의 잘못된 정리"라고 알려져 있다. 균일한 한계 정리를 보면, 한계함수의 연속성 보전을 위해 보다 강력한 형태의 수렴, 균일한 수렴이 필요하다는 것을 알 수 있다.

보다 정확히 말하면, 이 정리는 균일한 연속함수의 균일한 한계는 균일하게 연속됨을 기술하고 있다. 국소적으로 콤팩트한 공간의 경우, 연속성은 국소 균일한 연속성과 동등하므로, 연속함수의 균일한 한계는 연속적이다.

차별성까지

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 간격이고$$ ${\displaystyle {모든}_{}}$ $기능{\displaystyle {}_{}}$ f ${\$이(가) 서로 다르고 $한계{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle$ $f}$에 수렴되는 경우$$$,$ ${\displaystyle {시퀀스}_{}^{}}$ f$′{\$의 한도를 취함으로써$$ 파생 $함수{\displaystyle {}^{}}$ f${{\$disprotime f'을 결정하는 것이 바람직한 경우가 많다. 그러나 이것은 일반적으로 가능하지 않다: 수렴이 균일하더라도 한계함수는 (서열이 어디서나 분석함수, Weierstrass함수 참조로 구성되더라도) 차이가 있을 필요가 없으며, 한계함수의 파생상품이 파생상품의 한계와 같을 필요는 없다. Consider for instance ${\displaystyle f_{n}(x)=n^{-1/2}{\sin(nx)}}$ with uniform limit ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\equiv 0}$. Clearly, ${\displaystyle f'}$ is also identically zero. 그러나 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ 시퀀스의 파생상품은 f ${\displaystyle n_{}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$′${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$/ 2 ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ n ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f'_{n}(x)=n^{1/2}\cos nx,}$에 의해 주어지며$$, sequence ${\displaystyle f_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle$ $f$$'_$${n},$ 심지어$$ $어떤{\displaystyle {}^{}}$ 기능에도 수렴되지 않는다$$. 상이한 기능의 시퀀스 한계와 파생상품의 시퀀스 한계 사이의 연결을 보장하기 위해서는 파생상품 시퀀스의 균일한 정합화 + 최소 1 포인트 이상의 기능 시퀀스 정합화가 필요하다.^[4]

If ${\displaystyle (f_{n})}$ is a sequence of differentiable functions on ${\displaystyle [a,b]}$ such that ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})}$ exists (and is finite) for some ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$ and the sequence ${\displaystyle (f_{}^{}}$${\displaystyle (f'_{n})}$ converges uniformly on ${\displaystyle [a,b]}$, then ${\displaystyle f_{n}}$ converges uniformly to a function ${\displaystyle f}$ on ${\displaystyle [a,b]}$, and ${\displaystyle f'(x)=\lim _{n\to \infty }f'_{$$n}(x)}$ for$$ x${\displaystyle }x{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle x\in [a,b$

통합성을 위해

마찬가지로, 사람들은 종종 통합을 교환하고 프로세스를 제한하기를 원한다. 리만 적분자의 경우 균일한 수렴을 가정할 경우 다음과 같이 수행할 수 있다.

$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}^{}}$)${\displaystyle n_{}^{}}$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$이(가) 제한 $f{\displaystyle }${\$displaystyle$ $f}$과(와$)$ 균일하게 수렴되는$$ 콤팩트 간격 $I{\displaystyle }$ ${\$$displaystyty$ I$}$에 정의된 리만 통합 가능함수의 시퀀스인$$$$ $,$ 그 적분을 계산할 수 있다. ${\displaystyle f_{}}$ n ${\$의 통합$:$

${\displaystyle \int _{I}f=\lim _{n\to \infit }\int _{I}f_{n}.}$

실제로, 일정한 간격으로 균일하게 수렴되는 경계함수 계열의 경우, 상·하위 리만 적분은 한계함수의 상·하위 리만 적분으로 수렴한다. 이는 충분히 큰 ${\displaystyle n_{}}$의 경우, $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 그래프가 f의 그래프에서 ε 이내에 있으므로$$, ${\$$f_$${n}$의 상한 합과 하한 합이 $각각{\displaystyle }$ f ${\displaystyle$ $\varepsilon$ I$\},$ r의 상한$$ 합과 하한 값의 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ $내$에 있기$$ 때문이다.예상하여

리만 적분을 버리고 대신 르베그 적분을 사용한다면, 포인트와이즈 융합 이상의 것을 필요로 하지 않는 이 점에서 훨씬 더 강력한 이론들을 얻을 수 있다.

분석하기 위해

모레라의 정리를 이용하면 일련의 분석함수가 복합 평면의 영역 S에 균일하게 수렴되는 경우 그 한계가 S에서 분석된다는 것을 보여줄 수 있다. 이 예는 실제 간격에 대한 분석 기능의 균일한 한계는 심지어 다를 필요가 없기 때문에, 복잡한 기능이 실제 기능보다 더 잘 행동한다는 것을 보여준다(Weierstrass 함수 참조).

시리즈로

$\sum {\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$}}} 수렴$$$:$

이 정의에서는 다음과 같은 결과가 나온다.

x를₀ 세트 E에 포함시키고 각 f는_n x에서₀ 연속되게 하라. $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}\underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$\textstyle $f=\sum _{n=1}^{$n=1}^{$nf_{n}}}}}}$가 균일하게 E에서 수렴되면$$ f는 E에서₀ 연속된다. $E{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle E=[a,b]}$과(와) 각 f는_n E에서 통합할 수 있다고 가정하자. $\sum {\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\${n$}}}}$이(가) E에서 균일하게 수렴되면$$ f는 E에서 통합될 수 있으며 f의_n 일련의 통합은 f 시리즈에_n 포함된 것과 같다.

거의 균일한 수렴

함수의 영역이 측정 공간 E인 경우 거의 균일한 수렴이라는 관련 개념을 정의할 수 있다. 로 재다δ보다 덜{\delta\displaystyle}은 기능의 시퀀스(fn)우리는 매일 δ하면 기능을 시퀀스(fn){\displaystyle(f_{n})}거의 한결 같이 E의 전진;0{\displaystyle \delta>0}는 것엔 측정 가능한 집합 Eδ{\displaystyle E_{\delta}이 존재하}라고 말한다. {\d$isplaystyle (f_{n}})$은 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ E$$ {\$displaystyle E\setminus$E_{\$delta$}}}}}에 균일하게 수렴된다$.$ 즉, 거의 균일한 수렴은 함수의 순서가 그 보완에 균일하게 수렴되는 임의의 작은 척도가 있음을 의미한다.

시퀀스의 거의 균일한 수렴이 이름에서 유추될 수 있는 거의 모든 곳에서 균일하게 수렴되는 것을 의미하지는 않는다는 점에 유의하십시오. 그러나 에고로프의 정리는 유한한 측정 공간에서는 거의 모든 곳에서 수렴되는 일련의 함수들도 거의 한결같이 같은 집합에 수렴한다는 것을 보장한다.

거의 균일한 수렴은 척도의 수렴과 수렴을 거의 모든 곳에 내포하고 있다.

참고 항목

• 확률의 균일한 수렴
• 수렴 모드(공지지수)
• 디니의 정리
• 아르젤라-아스콜리 정리

메모들

참조

• 콘래드 크노프;; 1954년 런던 블랙키 앤 손, 도버 출판사에서 재간행한 ISBN 0-486-66165-2.
• G. H. 하디, ; 케임브리지 철학회의 진행, 19 페이지 148–156 (1918)
• 부르바키;; ISBN 0-387-19374-X
• 월터 루딘, 1976년 맥그로우-힐
• Gerald Folland, Real Analysis: Modern Mechanics and Thes Applications, Second Edition, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
• 윌리엄 웨이드, 2005년 피어슨 3번가

외부 링크

• "Uniform convergence", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 콜로라도 대학의 푸리에 시리즈 균일한 융합의 그래픽