포인트와이즈 수렴

수학에서 포인트와이즈 융합은 일련의 함수가 특정 함수에 수렴할 수 있는 다양한 감각의 하나이다.그것은 종종 비교되는 균일한 수렴보다 약하다.^[1][2]

정의

$예$를 들어 X ${\displaystyle X}$이(가) 집합이고 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 실제 또는 복잡한 숫자 또는 메트릭 공간과 같은 위상 공간이라고 가정해 보십시오.함수$$ 순서$({\displaystyle {fn}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \left(f_{n}\right)},$ 모두 동일한$$ $도메인{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X}$ 및 코도메인 $Y{\displaystyle ,}$ ${\$$displaystyle Y,}$을(를$)$ 가지는 순 또는 순서가 지정된$$ 함수 ${\displaystyle f}$: X${\displaystyle }$→ $Y$로 점으로 수렴된다고 한다$.$

만일 (그리고 만약의 경우에 한함)$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 함수는${\displaystyle }$(${\displaystyle {fn}_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \left(f_{n}\right$)의 점괘 한계함수라고 한다$$$.$$}$

특성.

이 개념은 균일한 수렴과 대조를 이루는 경우가 많다.라고 말하면

라는 뜻이다.$여기$서 ${\displaystyle A}$은(는) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및$$ ${\displaystyle f_{}}$. ${\displaystyle f_{n}$의 공통 도메인이다$$.$}}$ 그것은$$ 점현상 수렴의 주장보다 강한 진술이다: 모든 균일하게 수렴된 순서는 점현상 수렴이며, 동일한 제한 함수에 해당하지만, 일부 점현상 수렴 순서는 균일하게 수렴되지 않는다.For example, if ${\displaystyle f_{n}:[0,1)\to [0,1)}$ is a sequence of functions defined by ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n},}$ then ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0}$ pointwise on the interval ${\displaystyle$$[0,1),}$ 그러나$$ 균일하지는 않다.

연속함수의 순서에 대한 점적 한계는 불연속함수가 될 수 있지만, 수렴이 균일하지 않은 경우에만 가능하다.예를 들어,

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 정수일$$ 때는$$ 값 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$을(를) 사용하고, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 정수가 아닐 때는$$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$을(를) 취하며, 따라서 모든 정수가 불연속적이다.

${\displaystyle f_{}}$ ${\$ 함수의 값은 실제 숫자가 될$$ 필요는 없지만, 점적합성의 개념이 타당하기 위해서는 위상학적 공간에 있을 수 있다.반면에 균일한 수렴은 위상학적 공간에서 일반적으로 값을 취하는 기능에는 이치에 맞지 않지만, 미터법 공간에서는 값을 취하는 기능에는 이치에 맞지 않으며, 보다 일반적으로 균일한 공간에서는 이치에 맞는다.

위상

${\displaystyle {Let}^{}}$ Y$$X {\$displaystyle Y$^{X$}}$는 $주어진{\displaystyle }$X {\$displaystyle$X}의 모든 함수의 집합을 위상학적 $공간{\displaystyle }$ Y${\displaystyle .}$ ${\displaystyle Y}$에 대한$$ 위상학적 공간 범주의 특성화에 대한 기사에서 설명한$$ 대로 특정 조건이 충족되면 위에서 고유한 위상을 정의할 수 있다.그물이 무엇을 하고 수렴하지 않는가에 관한 세트pointwise 융합의 정의고, 그래서 그것은, .mw-parser-output .vanchor> 토폴로지를 유도, 형태 X→ Y의 모든 기능의:pointwise 통합의 집합에 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}topology, YX{\displaystyle Y^{X}}.{\displaystyle X\to Y}Y에서 그물 이 조건을 충족하경우에만 i. X{\displaystyle Y^{X}}이 토폴로지에 경우와 전진t 포인트로 수렴하다

포인트와이즈 수렴의 토폴로지는 Y ${\displaystyle X^{}}$, ${\displaystyle Y^{X}$ 공간의 제품 토폴로지에서 수렴하는 것과 $동일$하며, 여기서$$X {\$displaystyle$ X$}$은 $도메인$이고$$Y {\$displaysty Y}$은 코도메인이다.Explicitly, if ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}}$ is a set of functions from some set ${\displaystyle X}$ into some topological space ${\displaystyle Y}$ then the topology of pointwise convergence on ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is equal to the subspace topology that it inherits from the product space ${\displaystyle \prod _{x\in X}Y}$ when ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is identified as a subset if this Cartesian product via the canonical inclusion map ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to \prod _{x\in X}Y}$ defined by ${\displaysty$$르 f\mapsto(f(x))_{x\in X}.$$}$

코도메인 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 콤팩트하면 타이코노프의 정리로는 공간 $Y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$ ${\$ Y$^{X}$도 콤팩트하다$$.

거의 모든 곳에서 수렴

측정 이론에서, 사람들은 측정 가능한 공간에 정의된 일련의 측정 가능한 기능의 융합에 대해 거의 모든 곳에서 이야기한다.즉, 0을 측정하는 도메인의 하위 집합에서 거의 모든 곳에서 지점간 정합화를 의미한다.에고로프의 정리는 유한한 척도의 거의 모든 곳에서 점적 융합이 약간 작은 집합에 균일한 정합성을 내포하고 있다고 기술하고 있다.

거의 모든 곳에서 측정 공간의 함수 공간에 대한 점적 융합은 측정 공간의 측정 가능한 함수의 공간에 대한 위상 구조를 정의하지 않는다(융합 구조임에도 불구하고).위상학적 공간에서, 시퀀스의 모든 연속성이 동일한 연속성 한계와 함께 그 자체로 연속성을 가질 때, 시퀀스 자체는 그 한계로 수렴되어야 한다.

그러나 플로어 기능을 사용하여 정의된 소위 "갈로핑 사각형" 기능의 순서를 고려하십시오. 즉, $Let{\displaystyle }$ N${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{플로어}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$로그 ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}n}$ )${\$ N$=\operatorname {floor} \left(\log _{2}n\right)$ 및 ${\displaystyle \mathrm{k<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; N=\backslash operatorname\; \{floor\}\; \backslash left(\backslash log\; \_\{2\}n\backslash right)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/5d86172b821c12c332370a64c602674e0c30c8d1"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:17.374ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="145">}}$$$${\displaystyle }$= ${\displaystystyle$ $k=$$n$$$$2X}$

그런 다음 시퀀스${\displaystyle {{}_{}{fn}_{}}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \left(f_{n}\right)_{n}}$의 하위 시퀀스는 거의$$ 모든 곳에서 수렴되며, $예$를 들어 x${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle x=0.}$ 그러나$$ 원래 시퀀스는 0으로 점으로 수렴되지 않는다.따라서 측정값의 $수렴{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {및}^{}}$ L p ${\$ L$^{p}$ 정합과$$ 달리 거의 모든 곳에서 점현상의 수렴은 함수 공간의 어떤 위상의 수렴이 아니다.

참고 항목

• 상자 위상
• 융합 공간 – 일반 위상에서 발견되는 융합 개념의 일반화
• 실린더 세트
• 토폴로지 목록 - 콘크리트 토폴로지 및 토폴로지 공간 목록
• 수렴 모드(공지지수) – 다양한 수렴 모드의 주석 지수
• 선형 지도 공간의 토폴로지
• 약한 위상 – 연속 선형 함수에서 이미지의 수렴에 의해 점의 수렴이 정의되는 위상
• 취약-* 위상

참조