균일 코우치 시퀀스

수학에서, 세트 S에서 미터법 공간 M까지 기능${\displaystyle }${${\displaystyle {fn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}}$의 순서는 다음과 같은 경우 균일하게 Cauchy라고 한다.

• 모든 > ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 대해 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle x\in S}$: d(에 대해 ${\displaystyle d(f_{n})(x), f_{m}(x)$가 있다$.$ , n > ${\displaystyle m,n>N}$마다

이것을 말하는 또 다른 방법은 ${\displaystyle \mathrm{d}{}_{}{u}_{}}$ (${\displaystyle {fn}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$)${\displaystyle }$→ 0 ${\displaystyle d_{u}(f_{n},f_{m})\$$to$ 0${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle n}$ → $【\$$displaystyle$$m,n$\to \$infty$ 여기서 두 기능 사이의$$ 균일한 거리 $}$이 정의된다.

${\displaystyle d_{u}(f,g):=\sup _{x\in S}d(f(x),g(x)).}$

수렴기준

각 x ∈ S에 대해 {f_n(x)} 시퀀스가 M의 Cauchy 시퀀스인 경우 S에서 M까지의 함수 {f_n}의 시퀀스는 포인트웨이즈 Cauchy이다.이것은 한결같이 카우치가 되는 것보다 더 약한 조건이다.

일반적으로 시퀀스는 포인트 와이즈 카우치(Pointwise Cauchy)가 될 수 있고 포인트와이즈가 융합되지 않을 수도 있고, 균일하게 카우치(Cauhy(Cauchy)가 될 수 있다.그럼에도 불구하고, 미터법 공간 M이 완성되면, 어떤 점의 Cauchy 시퀀스는 S에서 M까지의 함수에 점으로 수렴된다.이와 유사하게, 모든 균일한 카우치 수열은 그러한 함수에 균일하게 작용하는 경향이 있을 것이다.

균일한 카우치 속성은 S가 단순한 집합이 아니라 위상학적 공간일 때 자주 사용되며, M은 완전한 미터법 공간이다.다음 정리는 다음과 같다.

• S는 위상학적 공간이고 M은 완전한 메트릭 공간이 되도록 하자.그 다음, 연속함수 f_n : S → M의 모든 균일한 Cauchy 시퀀스는 고유한 연속함수 f : S → M에 균일하게 작용한다.

균일한 공간에 대한 일반화

세트 S에서 균일한 공간 U까지 기능${\displaystyle }${${\displaystyle {fn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}}$의 순서는 다음과 같은 경우 균일하게 Cauchy라고 한다.

• 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle$ x$\in S}$ 및$$ 모든 수행원 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$에 대해$$ (), m ($x$과 같은 > ${\$$displaystystyle N$0$}$이 존재한다. , n > ${\displaystyle m,n>N}$마다

참고 항목

• 수렴 모드(공지지수)