리에즈 포텐셜

수학에서 리에즈 전위는 발견자인 헝가리 수학자 마르셀 리에스의 이름을 딴 잠재력이다.어떤 의미에서 리에즈 전위는 유클리드 공간에 대한 라플라스 연산자의 힘에 대한 역수를 정의한다.그들은 하나의 변수에 대한 리만-리우빌 통합들을 몇 가지 변수에 일반화한다.

0 < α < n인 경우, R에ⁿ 로컬로 통합 가능한 함수 f의 리에즈 전위 if는_α 다음과 같이 정의되는 함수다.

${\displaystyle (I_{\alpha }f)(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}\int_{\mathb {R}^{n}{\frac {f(y)}{x-y ^{n-\alpha}},\mathrm {d}y}y}}}}}}}}y}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}y}}$

(1)

상수가 주어지는 곳

${\displaystyle c_{\alpha }=\pi ^{n/2}^{\n/2}{\frac {\Gamma(\alpha /2)}{\Gamma(((n-\alpha )/2)}}}}.}$

이 단일한 적분은 특히 f < L(R)이^pn 1 ≤ p < n/α인 경우 무한대에서 충분히 빠르게 f 디케이즈를 제공한다고 잘 정의되어 있다.사실, 1 p p (p)1은 소볼레프 때문에 고전적인 반면, p=1은 (시코라, 스펙터 & 반 샤프팅겐) 참조), f와_α if의 붕괴율은 불평등의 형태로 관련되어 있다(하디-리틀우드-소볼레프 불평등).

${\displaystyle \ I_{\alpha }f\ _{p^{*}\leq C_{p}\Rf\ _{p}\{p}}\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p},},}},}$

여기서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$= ${\displaystyle D}$ I ${\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle Rf=$$DI_{1}f}$는 벡터 값 리에즈 변환이다.보다 일반적으로 연산자 I는_α 0 < Re α < n과 같은 복잡한 α에 대해 잘 정의되어 있다.

리에즈 전위는 일반적으로 약한 의미에서 수녀원으로 정의될 수 있다.

${\displaystyle I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }}}$

여기서 K는_α 로컬로 통합할 수 있는 기능이다.

${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}{\frac {1}{\frac {1}{n-\alpha }}}.}$

따라서 Riesz 전위는 f가 압축적으로 지원되는 분포일 때마다 정의될 수 있다.이와 관련하여, Iμ는_α μs 지지에서 벗어나는 (연속) 하위 고조파 함수가 되며, 모든 R에서ⁿ 낮은 반음계 함수가 되기 때문에, 양 보렐 측정 μs의 리에츠 전위는 주로 잠재 이론에 관심이 있다.

푸리에 변환을 고려했을 때 리에즈 전위가 푸리에 승수임을 알 수 있다.^[1]사실, 누군가는

${\dmathstyle {\widehat{K_{\alpha }}}}(\xi )=\int_{n}K_{n}{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\\\\mathrm {d} x= 2\pi \xi ^{-\xi-\xi }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그래서, 콘볼루션 정리에 의해,

${\displaystyle {I_{\alpha }f}(\xi )= 2\pi \xi ^{-\alpha }{\hat {f}(\xi).}$

예를 들어, Riesz probleds는 연속 함수의 급속한 감소에 대해 다음과 같은 semigroup 속성을 만족한다.

${\displaystyle I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }}}}$

제공했다

${\displaystyle 0<\operatorname {Re} \alpha ,\operatorname {Re} \beta <n,\quad 0>\operatorname {Re}(\alpha +\beta )}$

더욱이 0 < Re α < n–2>일 경우,

${\displaystyle \Delta I_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\Delta =-I_{\alpha }$

하나는 또한 이런 종류의 기능을 위해

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}(I_{\alpha }f)(x)=f(x).}$

참고 항목

• 베셀 포텐셜
• 분수 통합
• 소볼레프 공간

메모들

참조

• Landkof, N. S. (1972), Foundations of modern potential theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0350027
• Riesz, Marcel (1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", Acta Mathematica, 81: 1–223, doi:10.1007/BF02395016, ISSN 0001-5962, MR 0030102.
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Riesz potential", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean, An ${\displaystyle L^{1}}$-type estimate for Riesz potentials, arXiv:1411.2318, doi:10.4171/rmi/937
• Stein, Elias (1970), Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 0-691-08079-8
• Samko, Stefan G. (1998), "A new approach to the inversion of the Riesz potential operator" (PDF), Fractional Calculus and Applied Analysis, 1 (3): 225–245