약한 용액

수학에서 일반화 또는 부분 미분방정식에 대한 약한 해법(일반화 해법이라고도 함)은 파생상품이 모두 존재할 수는 없지만 그럼에도 불구하고 어떤 정밀하게 정의된 의미에서 방정식을 만족한다고 간주되는 함수다.다른 종류의 방정식에 적합한 약한 해법에 대한 많은 다른 정의들이 있다.가장 중요한 것 중 하나는 분포의 개념에 근거한 것이다.

분포의 언어를 피하여 미분방정식으로 시작하여 방정식 해법의 파생상품이 나타나지 않도록 다시 쓴다(새로운 형태를 약한 제형이라 하고, 그 해법은 약한 제형이라 한다).다소 놀랍게도, 미분 방정식은 다를 수 없는 해답을 가지고 있을 수 있다; 그리고 약한 공식은 그러한 해답을 찾을 수 있게 한다.

현실 세계의 현상을 모델링할 때 마주치는 많은 미분방정식이 충분히 부드러운 해결책을 인정하지 않고, 그러한 방정식을 푸는 유일한 방법은 약한 제형을 사용하는 것이기 때문에 약한 해법이 중요하다.방정식이 서로 다른 해결책을 가지고 있는 상황에서도, 약한 해결책의 존재를 먼저 증명하는 것이 편리하고 나중에야 그 해결책이 사실 충분히 부드럽다는 것을 보여준다.

구체적인 예

개념의 예로서 1차 파동 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle {\frac {\preason u}{\preason t}+{\fract u}{\preason x}=0}$

(1)

여기서 u = u(t, x)는 두 개의 실제 변수의 함수다.가능한 솔루션 u의 속성을 간접적으로 조사하기 위해 테스트 기능으로 알려진 콤팩트 서포트${\displaystyle }\phi {\displaystyle }${\$displaystyle \varphi \,\!}$에 대해 이를 통합한다.

${\displaystyle \int _{-\infit \}^{-\infit }^{-\infit }u(t,x)\\varphi(t,x)\,dx\,dt}$

For example, if ${\displaystyle \varphi }$ is a smooth probability distribution concentrated near a point ${\displaystyle (t,x)=(t_{\circ },x_{\circ })}$, the integral is approximately ${\displaystyle u(t_{\circ },x_{\circ })}$. Notice that while the integrals go from $$${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ -$\infit$ $}$ ~ $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit$ },$$$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 0이 아닌 유한 상자 위에 있는 경우.

따라서 유클리드 공간 R에서² 솔루션 u가 지속적으로 다를 수 있다고 가정하고 (1)에 시험 함수 { ${\displaystyle \varphi }$을 $$곱한 후 다음을 통합한다.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial t}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial x}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.}$

부품별(첫 번째 학기 t와 두 번째 기간의 x) 통합뿐만 아니라 통합의 순서를 바꿀 수 있는 푸비니의 정리를 사용하면 다음과 같은 방정식이 된다.

${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial x}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.}$

(2)

$({\displaystyle \varphi }$이(가) 유한 상자 외부에 0이므로$$ 경계 용어는 사라짐)우리는 u가 지속적으로 다를 수 있는 한 (1) 방정식이 (2) 방정식을 함축한다는 것을 보여주었다.

약한 해법 개념의 핵심은 어떤 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$ $\}$에 대해 (2)를 만족하는 함수 u가 존재하지만, 그러한 u는 다를 수 없기 때문에 (1)을 만족시킬 수 없다는 것이다.u(t, x) = t - x , 를 예로 들 수 있는데, u가 평탄한 지역 x t t와 x t t에 걸쳐 통합을 분할하고, 부품별 통합을 사용하여 위의 계산을 역전시킴으로써 확인할 수 있다.식 (1)의 약한 용액은 모든 시험 함수 $over{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 걸쳐 식 (2)의 모든 용액을 의미한다$.$

일반사례

이 예에서 이어지는 일반적인 아이디어는 u에서 미분방정식을 풀 때, u의 어떤 파생상품이 방정식에 나타나든 부분별 통합을 통해 $via{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\varphi$ $\}$에 "전송"되어 방정식이 발생하도록 시험함수 ${\displaystysty$ $\varphi$ }을 사용하여 다시 쓸 수 있다는 것이다$.$u의 파생상품 없이이 새로운 방정식은 원래 방정식을 일반화하여 반드시 다를 수 없는 용액을 포함시킨다.

위에서 설명한 접근방식은 매우 일반적이다.실제로ⁿ R:의 오픈 세트 W에서 선형 미분 연산자를 고려하십시오.

${\displaystyle P(x,\partial )u=\sum a_{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha _{n}(x)\partial ^{1}, partial ^{1}, partial ^{2}}:\lpha _{n}, }, {n(x),}$

여기서 다중 지수(α₁, α₂, …, α_n)는 N에ⁿ 설정된 일부 유한한 집합에 걸쳐 변화하며 계수 ${\displaystyle {{a\alpha 1\mathrm{}}_{}}_{}}$,${\displaystyle {{}_{}{\alpha 2\mathrm{}}_{}}_{}}$,${\displaystyle {{\alpha n}_{}}_{}}$ ${\$는 R에서ⁿ x의 충분한 함수들이다.

W에 콤팩트하게 지지되고$$ 부품에 의해 통합된 부드러운 시험 함수 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 곱한 후 미분 방정식 P(x, ∂)u(x) = 0 can은 다음과 같이 기록된다.

${\d}표시 스타일 \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi(x)\\\mathrm {d} x=0}$

여기서 차동 연산자 Q(x, ∂)는 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{ \alpha }\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right].}$

갯수

${\displaystyle(-1)^{ \cHB }}=(-1)^{\cHB _{1}+\cdots _{n}}}$

미분방정식의 각 항에서$$ u에서 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$로 모든 부분파생상품을 이전하기 위해서는 부품별 α_1n + α₂ 통합이 필요하기 때문에 나타나며, 각 부품별 통합에는 -1만큼 곱셈이 수반된다.

차동 연산자 Q(x, ∂)는 P(x, ∂)의 공식 연선이다.

요약하면, 원래 (강력한) 문제가 오픈 세트 W에 정의된 α -times differentable 함수 u를 찾는 것이었다면, 다음과 같다.

${\displaystyle P(x,\partial )u(x)=0{\text{모든 }x\in W}$

( 이른바 강력한 솔루션), 그렇다면 통합 가능한 기능 u는 다음과 같은 경우 약한 솔루션이라고 할 수 있을 것이다.

${\d}x(x)\{W}u(x)\,Q(x,\partial )\varphi(x)\,\mathrm {d}x=0}$

W에 콤팩트하게 지원되는$$ $매끄러운{\displaystyle }$ 기능 ${\displaystyle \varphi }$에 대해.

다른 종류의 약한 용액

분포에 기초한 약한 해법이라는 개념은 때때로 부적절하다.쌍곡선의 경우 분포에 기초한 약한 용액의 개념은 고유성을 보장하지 않으며 엔트로피 조건이나 다른 선택 기준으로 보완할 필요가 있다.해밀턴-자코비 방정식과 같은 완전 비선형 PDE에서는 점성 용액이라고 하는 약한 용액의 정의가 매우 다르다.

참조

• Evans, L. C. (1998). Partial Differential Equations. Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.