코콤팩트 임베딩

수학에서 cocompact 임베딩은 콤팩트함보다 약하지만 유사한 특성을 가진 표준 벡터 공간의 임베딩이다.코콤팩트(Cocompactness)는 어떤 이름(Lema 6), ^[2](Lema 2.5),^[3] (Theorem 1)로 언급되지 않고 1980년대 이후 수학적 분석에서 사용되어 왔으며, 또는 사라져가는 보조정리나 역 내장 같은 애드호크 모니커(ad-hoc moniker)에 의해서도 언급되지 않고 있다.^[4]

cocompactness 특성은 문제의 번역적 또는 스케일링 불변도를 기반으로 시퀀스의 수렴을 검증할 수 있으며, 보통 Sobolev 공간의 맥락에서 고려된다.cocompact 내장이라는 용어는 cocompact 위상학적 공간의 개념에서 영감을 얻었다.

정의들

Let ${\displaystyle G}$ be a group of isometries on a normed vector space ${\displaystyle X}$. One says that a sequence ${\displaystyle (x_{k})\subset X}$ converges to ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle G}$-weakly, if for every sequence ${\displaystyle (g_{k})\s$$ubset G$ 시퀀스 $g{\displaystyle {}_{}{k}_{}}$ ( x ${\displaystyle k{}_{}}$- ${\displaystyle x_{}}$) ${\displaystyle g_{k}(x_{k}-x$)}은$($는) 0으로 약하게 수렴된다$$.

A continuous embedding of two normed vector spaces, ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$ is called cocompact relative to a group of isometries ${\displaystyle G}$ on ${\displaystyle X}$ if every ${\displaystyle G}$-weakly convergent sequence ${\displaystyle (x_{k})\subset X}$ is converg$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에 포함$.$^[5]

기본적인 예: $\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ∞ ${\displaystyle {\{\mathrm{}}^{}}$ { { ${$\$displaystyle$ \$ell ^{\infit }\hookrightarrow \ell ^{\inft}}}}}}$에 대한 cocompactness.

Embedding of the space ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {Z} )}$ into itself is cocompact relative to the group ${\displaystyle G}$ of shifts ${\displaystyle (x_{n})\mapsto (x_{n-j}),j\in \mathbb {Z} }$. Indeed, if ${\displaystyle (x_{n})^{$$(k)}}$, ${\displaystyle k=1,2,\dots }$, is a sequence ${\displaystyle G}$-weakly convergent to zero, then ${\displaystyle x_{n_{k}}^{(k)}\to 0}$ for any choice of ${\displaystyle n_{k}}$. In particular one may choose ${\displaystyle n_{k}}$ such that ${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2 x_{n_{k}}^{(k)} \geq \sup _{n} x_{n}^{(k)} =\ (x_{n})^{(k)}\ _{\infty }}$, which implies that ${\displaystyle (x_{n})^{(k)}\to 0}$ in ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$.

컴팩트하지만 컴팩트하지 않은 것으로 알려진 임베딩

• ℓ p(Z)↪ℓ q(Z){\displaystyle\ell ^{p}(\mathbb{Z})\hookrightarrow \ell ^ᆲ(\mathbb{Z})},q<>p{\displaystyle q< 안 내려}, 번역 Z{\displaystyle \mathbb{Z}에서 액션에 비해}:[6]()n)↦()n− j), j∈ Z{\displaystyle(x_{n})\mapsto(x_{n-j}),j\in \mathbb{Z}}. .
• H1, p(RN)↪ Lq(RN){\displaystyle H^{1,p}(\mathbb{R}^{N})\hookrightarrow L^ᆭ(\mathbb{R}^{N})},<>q<>안 내려 NN− p{\displaystyle p<, q<,{\frac{pN}{N-p}}}, N>p{\displaystyle N> 안 내려}, 번역 RN{\displaystyle \mathbb{R}^에 행동에 상대{N}}.[1]
• H˙ 1, p(RN)↪ Lp NN− p({\displaystyle{\dot{H}}^ᆯ(\mathbb{R}^{N})\hookrightarrow L^{\frac{pN}{N-p}}(\mathbb{R}^{N})}, N>p{\displaystyle N> 안 내려}, dilations과 번역 RN{\displaystyle \mathbb{R}^{N}}.[2][3]에 나오는 행동들의 제품 분류한다.[6]
• Moser-Trudinger 케이스의 Sobollev 공간을 해당 Orlicz 공간에 내장.^[7]
• 베소프와 트리벨-리조킨 공간의 임베딩.^[8]
• 스트리차르츠 공간의 임베딩.^[4]

참조