필수최소 및 필수우월성

수학에서 필수적 부정과 필수적 우월성의 개념은 최소와 우월성의 개념과 관련이 있지만 이론과 기능적 분석의 측정에 적응되어 있는데, 여기서 흔히 집합의 모든 원소에는 유효하지 않고 오히려 측정치 0을 제외한 거의 모든 곳에서 유효하지 않은 진술을 다룬다.

정확한 정의가 즉각적으로 간단하지는 않지만, 직관적으로 함수의 본질적 우월성은 함수가 측정 0의 집합에서 수행하는 것을 무시할 수 있을 때 함수 값보다 크거나 같은 가장 작은 값이다.예를 들어 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0}$을(를$$) 제외한 모든 곳에서 0과 동일한$$ $f{\displaystyle (x)}$ 기능$($${\displaystyle \mathrm{x}}$$)$을 사용할 경우 $f{\displaystyle (}$ 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ f$(0)=1$ 함수의 우월성은 1과 동일하다.$그러나{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$이(가) 특이한$$ 단 한 지점에서 그 기능이 하는 일을 무시할 수 있기 때문에 그것의 본질적 우월성은 0이다.본질적인 최소치는 유사한 방법으로 정의된다.

정의

측정-이론적 질문에서 흔히 그렇듯이, 본질적 우월성과 최소성의 정의는 f가 x(즉, f의 이미지)에서 무엇을 하는지 질문하는 것으로 시작하는 것이 아니라 f가 특정 값 y(즉, f 이하 y의 프리이미지)와 같은 지점 x의 집합을 묻는 것으로 시작한다.

f : X → R은 집합 X에 정의된 실제 가치 함수다.실제 숫자 a는 f(x)가 X의 모든 X에 대해 a를 나타내는 경우 f의 상한이라고 한다. 즉, X의 경우

${\displaystyle f^{-1}(a,\fty )=\{x\in X:f(x)>a\}}$

비어 있다.내버려두다

${\displaystyle U_{f}=\{a\in \mathb {R} :f^{-1}(a,\fty )=\varnothing \},}$

f의 상한이 되다그러면 f의 우월성은 에 의해 정의된다.

${\displaystyle \sup f=\inf U_{f}\,}$

상한 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$ 집합이 비어$$ 있지 않은 경우, 그리고 ${\displaystyle \mathrm{supp}}$f = +${\displaystyle \mathrm{\infty }}${\$displaystyle \suppy$ f$=+\inful$ }이$($가) 그렇지$$ 않은 경우.

Alternatively, if for some ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ we have ${\displaystyle f(x)\leq a}$ for all ${\displaystyle x\in X}$ then ${\displaystyle \sup f\leq a}$, and ${\displaystyle \sup f=\inf\{a\in \mathbb {R} :f(x)\leq$$a{\text{{{}x\in$ X$\}}}($세트가 비어 있는 경우$$ 이 최소값은 +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle +\inflt })$로 간주됨).

이제${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ ,${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$을(를) 측정 공간이라고$$ 가정하고, 단순성을 위해 $f{\displaystyle }${\$displaystyle f}$ 함수를 측정할 수 있다고$$ 가정한다.A number ${\displaystyle a}$ is called an essential upper bound of f if the measurable set ${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )}$ is a set of measure zero,^[a] i.e., if ${\displaystyle f(x)\leq a}$ for almost all ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$. Let

${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\{a\in \mathb {R} :\mu(f^{-1})(a,\fty )=0\,},}$

본질적인 상한이 되다그렇다면 본질적인 우월감은 다음과 비슷하게 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {ess} \supp f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess}\,}$

$U{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle f_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{es}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess}\neq \varnothing$}, 그리고$$${\displaystyle \mathrm{essse}\mathrm{supp}}$= +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaysty \operatorname$ {$ess} \sup f=+\flty }$인 경우.

Alternatively, if for some ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ we have ${\displaystyle f(x)\leq a}$ for almost all ${\displaystyle x\in X}$ then ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f\leq a}$, and ${\displa$$ystyle \operatorname {ess} \supp f=\inf\{a\in \mathb {R}$ :$f(x)\leq$ a${\text${{\$text$${}}} 거의$ 모든 $}x\in X\}}$에 $대해$ (이$$ 최소값은 +${\displaystyle \mathrm{\infty }}${\$displaystyty }$으로 선택됨)$$

정확히 같은 방법으로 본질적인 최소치를 본질적인 하한선의 우월성으로 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathb {R} :\mu(\{x:f(x)<b\}=0\}}}}}$

if the set of essential lower bounds is nonempty, and as ${\displaystyle -\infty }$ otherwise; again there is an alternative expression as ${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{a\in \mathbb {R} :f(x)\geq a{\text{ for almost all }}x\in X\}}$ (with this being -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ -$\infully }$ 집합이 비어 있는 경우$$).

예

실제 라인에서는 Lebesgue 측정값과 그에 상응하는 --algebra Ⅱ를 고려한다.공식으로 함수 f 정의

${\displaystyle f(x)={\displaysty{case}5,&#{\text{if }x=1\-4,&#{\text}}}}:{x=-1\2,&#text{data.}}}\end{case}}$

이 함수의 우월성(가장 큰 값)은 5이고, 최소치(가장 작은 값)는 -4이다.그러나 함수는 이러한 값을 각각 측정값 0인 {1} 및 {-1} 집합에서만 취한다.그 밖의 모든 곳에서는 함수가 값 2를 차지한다.따라서 이 기능의 필수적 우월성과 필수적 최소치는 모두 2이다.

다른 예로는 함수를 고려하십시오.

${\displaystyle f(x)={\begin}x^{3}, \cext{{}x\in \Q}\\arctan x, \\cext{{}in \mathb {R}\smatcominus \mathb}\Q}\\\\end{case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 Q는 합리적인 숫자를 나타낸다.이 함수는 위와 아래 둘 다에서 무한하므로 그 우월성과 최소성은 각각 ∞과 -∞이다.그러나, 르베그 측도의 관점에서 보면, 합리적인 숫자의 집합은 측정치 0이므로, 실제로 중요한 것은 함수가 아크탄 x로 주어지는 이 집합의 보완에서 일어나는 일이다.필수우월성은 π/2인 반면 필수최소치는 -π/2인 것으로 뒤따른다.

반면에 모든 실제 x에 대해 정의된³ f(x) = x 함수를 고려하십시오.그것의 본질적인 우월감은 +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle +\inflt }$이고$,$ 그것의 본질적인 최소치는 -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ -$\inflt }$이다$.$

마지막으로 함수를 고려하십시오.

${\displaystyle f(x)={\displaysty{case}1/x,&#text{{{}x\neq 0\0,&#{\text{}}x=0.\\end{case}}$

그리고 어느 것이든∈ R{\displaystyle\textstylea\in \mathbb{R}}, 우리는 μ을}}등 UfS자꼴의 것)({\displaystyle\textstyle U_{f}^{\text{S자꼴의 것}}=\varnothing}과ess ⁡ 식사 ≥ 1{\displaystyle\textstyle\mu(){x\in \mathbb{R}:1/x>, a\})\geq{\tfrac{1}{를}({x∈ R:1/x>}). f-+$【\displaystyle \displayname {ess} \supp$ f$=+\fty$ $\}.$

특성.

• 만약μ(X)>0{\displaystyle \mu(X)>0}우리는 f≤ 그동안⁡ inf f≤ 그동안 ⁡ inf다 저녁밥을 먹다 f≤ 저녁밥을 먹다 f{\displaystyle\inff\leq \operatorname{S자꼴의 것}\inff\leq\operatorname{S자꼴의 것}\supf\leq \sup f}. 만약 X{X\displaystyle}이 조치 0S자꼴의 것 ⁡ 저녁밥을 먹다 f)−∞{\displaystyle \operatorname{S자꼴의 것}\sup f=-\infty}과ess ⁡. finf${\displaystyle =}$ +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \inf$ f$=+\fty }$^[1].
• ${\displaystyle \mathrm{esss}sup}$ (${\displaystyle f}$g )${\displaystyle (}$ (${\displaystyle \mathrm{ess}}$sup ${\displaystyle supf}$ ) ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle \mathrm{ess}sup}$ ${\displaystyle \sup }$ g ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \ess}\sup(fg)\leq (\supname {ess} \sup f)(\supname$ {ess$} \sup$} $\sup$g)} 오른쪽의 두 용어가 모두 음수가 아닐 때마다$$ }.

참고 항목

• L공백^p

메모들

참조

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 플래닛매스(FlanetMath)의 필수적 우월성 자료가 통합되어 있다.