대수공간

수학에서 대수적 공간은 마이클 아르틴이 변형 [1] 이론에 사용하기 위해 도입한 대수적 기하학의 체계들의 일반화를 형성한다.직관적으로, 체계는 자리스키 위상(Zariski topology)을 사용하여 붙임 체계를 함께 붙임으로써 주어지는 반면, 대수적 공간은 더 미세한 엣테일 위상(Etale topology)을 사용하여 붙임으로써 주어진다.대안으로, Zariski 위상에서의 체계를 붙이기 위한 국부적 이형체라고 생각할 수 있는 반면, 대수학적 공간은 에탄 위상에서의 체계를 붙이기 위한 국부적 이형체라고 생각할 수 있다.

대수적 공간의 결과 범주는 계략의 범주를 확장하고 모둘리 공간의 구성에 사용되지만 유한 집단에 의한 자유 작용의 몫(cf. Keel-Mori 정리)을 취하는 것과 같은 계략의 작은 범주에서는 항상 가능하지 않은 몇 가지 자연적인 구성을 수행할 수 있게 한다.

정의

대수적 공간을 정의하는 두 가지 일반적인 방법이 있다: 그것들은 에탈레 균등성 관계에 의한 계략의 인용구로 정의될 수 있다. 또는 계략에 국소적으로 이형성이 있는 큰 에탈레 사이트에 포개질 수 있다.이 두 가지 정의는 본질적으로 동등하다.

계략의 인수로써 대수적 공간

대수 공간 X는 다음 두 조건을 만족하는 체계 U와 닫힌 하위 체임 R u U × U로 구성된다.

1. R은 U × U의 부분집합으로서의 동등성 관계다.

2. 각 인자에 대한 투영 p_i: R → U는 etale map이다.

크누트슨과 같은 일부 저자는 대수공간을 준분할해야 한다는 추가적인 조건을 덧붙이는데, 이는 대각선 지도가 준분할이라는 것을 의미한다.

R과 U는 언제나 친밀한 계략이라고 가정할 수 있다.그렇게 하는 것은 대수적 공간의 이론이 전체 계략 이론에 의존하지 않는다는 것을 의미하며, 실제로 그 이론의 (더 일반적인) 대체물로 사용될 수 있다.

만약 R이 U의 각 연결된 구성 요소에 대한 사소한 동등성 관계라면(즉, 모든 x에 대해 y는 U의 동일한 연결 구성 요소에 속해 있고, x=y일 경우에만 xRy가 있다), 대수적 공간은 일반적인 의미에서 하나의 체계일 것이다.일반 대수 공간 X는 이 요건을 충족하지 못하므로 U의 단일 연결 구성요소가 X를 많은 "시트"로 덮을 수 있다.그런 다음 대수 공간 X의 기초가 되는 점 집합은 U/R에 의해 동등성 등급 집합으로 주어진다.

Y를 동등성 관계 S ⊂ V × V로 정의한 대수공간으로 하자. 대수공간 형태론의 집합 Hom(Y, X)은 강하순서를 만드는 조건으로 정의된다.

\mathrm {Hom}(Y,X)\오른쪽 화살표 \mathram {Hom}(V,X){{}\ 위쪽 \longrightarrow }\{} 위쪽 {\longrightarrow \}\mathrm {Hom}(S,X)

정확하다(이 정의는 부속문서의 추상적인 에테일 맵에 대한 그로텐디크의 하강 정리에 의해 동기 부여된다).이러한 정의로 대수적 공간은 범주를 형성한다.

다항식 g(x), x = (x₁, ..., x) 시스템에_n 의해 정의된 필드 k 위에 U를 붙이십시오.

k\{x_{1},\ldots,x_{n}\}\

x over k에서 대수함수의 링을 나타내며, X = {R ⊂ U × U}을 대수공간으로 한다.

X에 있는 적절한 줄기 stalks은_X_{, x} õ에_U_{, u} 의해 정의된 대수 기능의 국부 링으로 정의된다. 여기서 u ∈ U는 x 위에 놓여 있는 지점이고 u_U_{, u} u은 링의 u에 해당하는 국부 링이다.

k{x₁, ..., x_n} / (g)

U에 대한 대수적 함수의.

대수공간의 지점은 ind_X_{, x}₁ ≅ k{z₁, ..., z_d}가 일부 불변 z, ..., z}일_d 경우 매끄럽다고 한다.x에서 X의 치수는 d로 정의된다.

형태론 f: Y → X 대수공간은 줄기에 유도된 지도가 있는 경우 y where Y(여기서 x = f(y))에서 étale이라고 한다.

Õ_X_{, x} → Õ_Y_{, y}

이소모르프다.

대수공간 X의 구조체 쉐이프 O는_X V의 함수 O(V) 링( 방금 정의한 의미에서 V에서 아핀 선 A로¹ 정의됨)을 X 위에 있는 모든 대수공간 V와 연관시켜 정의된다.

단면체의 대수적 공간

대수 공간 ${\mathfrak {X}}$ ${\$ 은(는) 집합의 한 무더기로 정의할 ${\mathfrak {X}}$ 수 있다.

{\mathfrak{X}:({\text{Sch}/S)_{\text}^{op}\text{\text}\text{\text}}에세트}

그런

허탈성 에탈 형태론 $h_{X}\to {\mathfrak {X}}$ $h_{X}\to {\mathfrak {X}}$ → $h_{X}\to {\mathfrak {X}}$ ${\$
대각선 형태론 $\Delta _{{\mathfrak {X}}/S}:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}$ $\Delta _{{\mathfrak {X}}/S}:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}$ / $\Delta _{{\mathfrak {X}}/S}:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}$ : $\Delta _{{\mathfrak {X}}/S}:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}$ → $\Delta _{{\mathfrak {X}}/S}:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}$ $\Delta _{{\mathfrak {X}}/S}:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}$ $\\$ { $X}/S}:{\mathfrak$ { $X}\time {\mathfak$ { $X}}}}$ 을(를) 나타낼 수 있다 $\Delta _{{\mathfrak {X}}/S}:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}$ .

두 번째 조건은 스키마 $Y,$ $Z$ $Y,Z$ 및 형태소 $Y,Z$ $h_{Y},h_{Z}\to {\mathfrak {X}}$ $h_{Y},h_{Z}\to {\mathfrak {X}}$ $h_{Y},h_{Z}\to {\mathfrak {X}}$ → X ${\$ {X $}$ 에 해당하는 속성으로 $h_{Y},h_{Z}\to {\mathfrak {X}}$ 그들의 섬유 제품인 포대 Y, Z {\mathfak ${X$ }에 해당된다.

H_{\displaystyle h_{Y}\time _{\mathfrak{X}h_{Z}}}

$S$ $S$ 에 대한 계략으로 대표할 수 있다 $S$ 크누트슨과 같은 일부 저자는 대수공간을 준분할해야 한다는 추가 조건을 추가하는데, 이는 대각선 지도가 준분할이라는 것을 의미한다.

대수적 공간 및 계획

대수적 공간은 체계와 유사하며, 체계 이론의 많은 부분이 대수적 공간으로 확장된다.예를 들어, 체계의 형태론의 대부분의 특성들은 대수적 공간에도 적용되며, 퀘이코 정합성 피복의 코호몰리를 정의할 수 있으며, 이것은 적절한 형태론에 대한 일반적인 정밀도 특성을 가지고 있다.

치수 1(곡선)의 한 분야에 걸친 적절한 대수적 공간은 체계다.
한 필드 위에 있는 차원 2의 비가수적 적절한 대수적 공간(매끄러운 표면)은 체계다.
한 분야에 걸친 대수공간의 범주에 있는 준분리된 집단 객체는 계략이 아닌 비준분리된 집단 객체가 있기는 하지만 계략이다.
차원 0에서 적절하고, 국소적으로 유한하며, 편평하고, 동음이의학적으로 평탄한 임의 체계 위에 있는 대수적 공간의 범주에 있는 역교류 그룹 개체는 체계다.
모든 단수대수 표면이 계략인 것은 아니다.
히로나카의 예는 자유자재로 행동하는 순서 2의 그룹에 의한 계략의 지수로 주어지는, 계략이 아닌 비 가창적 3차원 적절한 대수적 공간을 주는 데 사용될 수 있다.이것은 체계와 대수적 공간의 한 가지 차이를 보여준다: 자유롭게 행동하는 이산 그룹에 의한 대수적 공간의 몫은 대수적 공간이지만, 자유롭게 행동하는 이산 그룹에 의한 체계 몫은 (집단이 유한하더라도) 체계일 필요는 없다.
모든 준분리 대수공간에는 밀도 높은 오픈 아핀 하위세움이 들어 있으며, 그러한 하위세미의 보완에는 항상 코드 ension 1이 있다.그러므로 대수적 공간은 어떤 의미에서는 계략을 붙이기 위해 "가까이" 있다.
격자에 의한 복잡한 숫자의 몫은 대수적 공간이지만, 해당 분석 공간이 타원 곡선(또는 더 정밀하게는 복잡한 대수적 공간에서 분석적 공간에 이르는 펑터 아래 타원곡선의 이미지)이기는 하지만 타원곡선은 아니다.사실 이 대수적 공간 지분은 계략이 아니며 완전하지도 않으며 심지어 준분리되어 있지도 않다.이는 무한 이산집단에 의한 대수 공간의 몫이 대수공간이지만, 이상한 성질을 가질 수 있고, '예상'했던 대수공간이 아닐 수도 있음을 보여준다.유사한 예는 정수에 의한 복합 아핀 선의 지수 또는 일부 숫자의 힘에 의한 기원을 뺀 복합 아핀 선의 지수에서 제시된다. 다시 말해 해당 분석 공간은 다양하지만 대수적 공간은 그렇지 않다.

대수공간 및 분석공간

복잡한 숫자에 걸친 대수적 공간은 분석적 공간과 모이스헤존 다지관과 밀접한 관련이 있다.

대략적으로, 복잡한 대수공간과 분석공간 사이의 차이는 복잡한 대수공간은 에테일 위상을 이용하여 접착조각들을 함께 붙임으로써 형성되는 반면, 분석공간은 고전적 위상과 붙임으로써 형성되는 것이다.특히 유한형식의 복잡한 대수공간에서 분석공간까지 functor가 있다.홉프 다지관은 적절한 대수공간에서 나오지 않는 분석표면의 예를 제시한다(그러나 분석공간이 홉프표면인 비속성 및 비분리형 대수공간을 구성할 수 있다).또한 서로 다른 대수공간이 동일한 분석공간과 일치하는 것도 가능하다. 예를 들어 타원곡선과 해당 격자에 의한 C의 몫은 대수공간과 같은 이형성이 아니라 해당 분석공간은 이형성이다.

아르틴은 복잡한 숫자에 걸친 적절한 대수적 공간은 모이스헤존 공간과 거의 같다는 것을 보여주었다.

일반화

대수적 공간의 광범위한 일반화는 대수적 스택에 의해 주어진다.스택 범주에서 우리는 대수적 공간의 범주보다 그룹 작용에 의해 훨씬 더 많은 인수를 형성할 수 있다(결과 인수를 인수의 스택이라고 한다).

인용구

^ 1969년 아르틴 1971년

참조

Artin, Michael (1969), "The implicit function theorem in algebraic geometry", in Abhyankar, Shreeram Shankar (ed.), Algebraic geometry: papers presented at the Bombay Colloquium, 1968, of Tata Institute of Fundamental Research studies in mathematics, vol. 4, Oxford University Press, pp. 13–34, MR 0262237
Artin, Michael (1971), Algebraic spaces, Yale Mathematical Monographs, vol. 3, Yale University Press, ISBN 978-0-300-01396-2, MR 0407012
Knutson, Donald (1971), Algebraic spaces, Lecture Notes in Mathematics, vol. 203, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0059750, ISBN 978-3-540-05496-2, MR 0302647

외부 링크

Danilov, V.I. (2001) [1994], "Algebraic space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
스택 프로젝트의 대수적 공간

[FOOTNOTEArtin1969Artin1971-1] 1969년 아르틴 1971년

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