하이퍼서페이스

기하학에서, 초서면은 초평면, 평면 곡선 및 표면의 개념을 일반화한 것입니다.하이퍼서페이스는 $차원$ $n$ 의 주변 공간(일반적으로 유클리드 공간, 아핀 공간 또는 투영 공간)^[1]에 포함된 다양체 또는 대수적 $다양성$ n - 1이다.하이퍼서페이스는 3차원 공간의 표면과 적어도 국소적으로(모든 점 근처), 때로는 전체적으로 단일 암묵적 방정식으로 정의되는 특성을 공유합니다.

2차원의 (유클리드, 아핀 또는 투영) 공간의 초서면은 평면 곡선입니다.차원 3의 공간에서는, 그것은 표면이다.

예를 들어, 방정식은

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^2}-1=0

는 $차원$ n의 유클리드 공간에서 $차원$ n - $1$ 의 대수적 하이퍼서페이스를 정의합니다.이 초표면은 매끄러운 다양체이며, 초구 또는 $(n$ – 1 $)-$ 구라고 불립니다.

매끄러운 초표면

매끄러운 다양체인 초표면은 매끄러운 초표면이라고 불린다.

$R$ 에서는ⁿ, 매끄러운 하이퍼서페이스는 방향성이 ^[2]있다.연결된 모든 콤팩트 매끄러운 초서면은 수평 집합이며, R을 두 개의 연결된 구성요소로 분리합니다ⁿ. 이것은 조던-브라우어 분리 ^[3]정리와 관련이 있습니다.

아핀 대수초면

대수적 하이퍼서페이스는 형태의 단일 암묵적 방정식에 의해 정의될 수 있는 대수적 다양성이다.

\displaystyle p(x_{1},\ldots,x_{n})=0,}

$여기$ 서 p는 다변량 다항식입니다.일반적으로 다항식은 축소할 수 없는 것으로 여겨진다.이것이 사실이 아닐 때, 초면체는 대수적 다양성이 아니라 대수적 집합일 뿐이다.환원성 다항식이 하이퍼서페이스를 정의하는지 여부는 저자 또는 맥락에 따라 달라질 수 있다.애매함을 피하기 위해 축소할 수 없는 초표면이라는 용어가 자주 사용됩니다.

대수적 다양성에 관해서는 정의 다항식의 계수는 임의의 $고정장$ k에 속할 수 있으며, 하이퍼서페이스의 포인트는 $K^{n},$ $K^{n},$ Kn $,\displaystyle$ K $^{n}$ 에서의 $K^{n},$ $p$ 의 0이며, $여기$ 서 K는 k의 $대수적$ 으로 닫힌 확장이다.

초면에는 특이점이 있을 수 있는데, 특이점은 정의 다항식과 그 부분 도함수의 공통 0이다.특히, 실제 대수적 초서면은 반드시 다양체가 아니다.

특성.

하이퍼서페이스는 다른 대수적 다양성과 공유되지 않는 몇 가지 특성을 가지고 있다.

그러한 특성 중 하나는 힐베르트의 눌스텔렌사츠이며, 이것은 초면 정의 다항식이 대수 집합의 정의 다항식에 의해 생성된 이상에 속하는 힘을 가질 경우에만 주어진 대수 집합을 포함한다고 주장한다.

이 정리의 결론은 두 개의 환원 불가능한 다항식(또는 더 일반적으로 두 개의 정사각형 없는 다항식)이 동일한 초면체를 정의한다면, 하나는 다른 하나의 0이 아닌 상수의 곱이라는 것이다.

하이퍼서페이스는 정확히 $n차원$ 의 아핀 공간의 $n-1차원$ 의 부분변수입니다.이것은 필드 위의 다항식 링에서, 이상이 주요 이상일 경우에만 이상 높이가 1이라는 사실에 대한 기하학적 해석입니다.가능한 환원성 하이퍼서페이스의 경우, 이 결과는 다음과 같이 재작성할 수 있다. 하이퍼서페이스는 정확히 모든 환원 불가능한 성분이 n – $1인$ 대수 집합이다.

현실적이고 합리적인 점

실제 하이퍼서페이스는 실제 계수를 갖는 다항식으로 정의되는 하이퍼서페이스입니다.이 경우 점들이 정의되는 대수적으로 닫힌 필드는 일반적으로 복소수의 $\mathbb {C}$ C {\ $displaystyle \mathbb {C}$ 입니다 $\mathbb {C}$ $.$ 실제 하이퍼서페이스의 실제 포인트는 $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {C} ^{n}.$ n $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {C} ^{n}.$ C $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {C} ^{n}.$ $.\displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $n}\subset \mathbb {C}$ ^{ $n}}$ 에 $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {C} ^{n}.$ 포인트입니다. $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {C} ^{n}.$ 실제 하이퍼서페이스의 실제 포인트 집합은 하이퍼서페이스의 실제 부분입니다.종종 하이퍼페이스라는 용어가 모든 점을 의미하는지 아니면 실제 부분만을 의미하는지 상황에 따라 결정됩니다.

정의 다항식의 계수가 대수적으로 닫히지 않은 $필드$ k(일반적으로 유리수 필드, 유한 필드 또는 숫자 필드)에 속할 경우, 하이퍼서페이스는 k $위$ 에 정의되고 k $k^{n}$ {\ $displaystyle$ k $^{n}}$ 에 $k^{n}$ $k^{n}$ 점은 k $위$ 에 유리하다고 한다(비율 필드의 경우).일반적으로 " $over$ k"는 생략됩니다.)

예를 들어, 다음 방정식으로 정의된 가상의 n-sphere는

x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^2}+1=0

는 유리수에서 정의되는 실재점이 없는 실재 초서면입니다.그것은 유리점이 없지만, 가우스 유리점에 비해 합리적인 점이 많다.

사영 대수적 초면

$필드$ k에 $걸친$ 치수 n의 투영 $공간$ 에서의 $치수$ n~1의 투영(대칭) 초면( $대칭$ )은 n + 1의 $불확정$ 에서 균질 $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ P $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ 0 $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ $x$ 1, $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ $)$ { $displaystyle$ P $(x_{1},$ \ $ldots, x_{n})$ 에 $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ 의해 정의된다.평소와 같이, 균질 다항식은 $P$ 의 모든 단수가 같은 정도를 가지거나 P $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ ( $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ x $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ , $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ x $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ , $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ , $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ x $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ ) $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ d $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ ( $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ 0 , $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ , $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ , $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ n $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ ) { $display style$ P ( c x _ $0$ , $cx$ _ { $1$ , \ $ldots$ , $c$ x { n x { n } = { c } d ^{ d } ){ d } { d } { d } 를 갖는 $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ 을 의미한다.l. 초서면의 지점은 투영 좌표가 $P$ 의 0인 투영 공간의 지점으로 한다.

$x_{0}=0$ x $= 0$ 의 하이퍼플레인을 $x_{0}=0$ 무한대의 하이퍼플레인으로 선택한 경우, 이 하이퍼플레인의 보완체는 아핀 공간이며, 이 아핀 공간에 속하는 투영 하이퍼플레인의 점이 $P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ P $($ $P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ 1, $P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ $P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ $P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ $P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ $x, 1$ )의 아핀 하이퍼플레인을 형성합니다 $.$ ${1},\ldots,x_{n}$ $=$ $0.}$ 반대로 $P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ , $p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ p $p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ 1, $p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ n )= $,\displaystyle$ p $(x_{1},\ldots,x_{n$ }= $0,}$ 의 $p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ 아핀 초표면이 주어졌을 때, 그 $투영완료$ 라고 불리는 투영 초표면을 정의한다.즉, 투영 완료의 방정식은 $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ ( x $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ , $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ 1, $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ , $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ ) $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ , \ $displaystyle$ P ( $x _$ 0 , $x$ _ { $1$ , \ $ldots$ , $x$ _ { n } = $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ 0 , $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ } 입니다 $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ .

(\displaystyle P(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n})=x_{0}^{d}p(x_{1}/x_{0},\ldots,x_{n}/x_{0}),}

$여기$ 서 d는 $P$ 의 도입니다.

아핀 부분공간에 대한 이러한 두 가지 프로세스는 투영 완료와 제한이 서로 반대입니다.따라서 아핀 초표면과 그 투영 완성도는 본질적으로 동일한 특성을 가지며, 종종 동일한 초표면에 대한 두 가지 관점으로 간주됩니다.

그러나 아핀 초면에는 비구형이 있을 수 있지만 투영 완료에는 특이점이 있을 수 있다.이 경우 아핀 표면이 무한대에서 특이하다고 합니다.예를 들어, 방정식의 원형 실린더는

x^{2}+y^{2}-1=0

차원 3의 아핀 공간에서 x = $0,$ $y$ = $0$ $방향$ 으로 무한대에 있는 고유한 특이점을 갖는다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Lee, Jeffrey (2009). "Curves and Hypersurfaces in Euclidean Space". Manifolds and Differential Geometry. Providence: American Mathematical Society. pp. 143–188. ISBN 978-0-8218-4815-9.
^ 한스 새멜슨(1969) "R에서의ⁿ 초면 방향성", 미국 수학회 회보 22(1): 301,2
^ Lima, Elon L. (1988). "The Jordan-Brouwer separation theorem for smooth hypersurfaces". The American Mathematical Monthly. 95 (1): 39–42. doi:10.1080/00029890.1988.11971963.

"Hypersurface", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
고바야시 쇼시치, 노미즈 카츠미(1969년), 미분기하학재단 제2권, 와일리 인터사이언스
P.A. Simionescu & D.Beal (2004) 부분 세계화에 의한 하이퍼페이스 및 다변수(객관적) 기능의 시각화, The Visual Computer 20 (10) : 665 – 81.

[1] Lee, Jeffrey (2009). "Curves and Hypersurfaces in Euclidean Space". Manifolds and Differential Geometry. Providence: American Mathematical Society. pp. 143–188. ISBN 978-0-8218-4815-9.

[2] 한스 새멜슨(1969) "R에서의ⁿ 초면 방향성", 미국 수학회 회보 22(1): 301,2

[Lima-3] Lima, Elon L. (1988). "The Jordan-Brouwer separation theorem for smooth hypersurfaces". The American Mathematical Monthly. 95 (1): 39–42. doi:10.1080/00029890.1988.11971963.

[1]

[2]

[3]

v t 치수
치수 공간	벡터 공간 유클리드 공간 아핀 공간 투영 공간 빈 모듈 다지관 대수적 다양성 시공간
기타 치수	쿠루루 르베그 피복 귀납적 하우스도르프 민코프스키 프랙탈 자유도
폴리토프 및 모양	하이퍼플레인 하이퍼서페이스 하이퍼큐브 초직각 데미하이퍼큐브 하이퍼스피어 교차 폴리토프 심플렉스 고피라미드
번호별 치수	영 하나. 두명 세개 네개 다섯개 여섯개 일곱개 8 아홉개 n차원
「」를 참조해 주세요.	하이퍼스페이스
카테고리

Search

하이퍼서페이스

네임스페이스

더

목차

매끄러운 초표면

아핀 대수초면

특성.

현실적이고 합리적인 점

사영 대수적 초면

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

Search

하이퍼서페이스

매끄러운 초표면

아핀 대수초면

특성.

현실적이고 합리적인 점

사영 대수적 초면

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

「」를 참조해 주세요.