페론-프로베니우스 정리

행렬 이론에서 오스카 페론(1907)과 게오르크 프로베니우스(1912)에 의해 증명된 페론-프로베니우스 정리는 양의 원소를 갖는 실수 정방 행렬은 가장 큰 크기의 고유한 고유값을 가지며 그 고유값은 실수라고 주장합니다. 해당 고유 벡터는 엄밀하게 양의 성분을 갖도록 선택할 수 있으며, 특정 클래스의 음이 아닌 행렬에 대해서도 유사한 문장을 주장할 수 있습니다. 이 정리는 확률 이론(마르코프 사슬의 에르고딕성), 동적 시스템 이론(유한 유형의 하위 이동), 경제학(오키시오의 정리)에 중요하게 적용됩니다.^[1] 호킨스-사이먼 조건^[2]), 인구 통계학(슬리 인구 연령 분포 모델),^[3] 소셜 네트워크(디그루트 학습 과정), 인터넷 검색 엔진(페이지 랭크),^[4] 심지어 미식축구 팀 순위까지.^[5] 페론-프로베니우스 고유 벡터를 사용하여 토너먼트 내 선수 순서를 논의한 첫 번째 사람은 에드먼드 란다우입니다.^[6][7]

진술

양수와 음수가 아닌 것은 각각 원소로 양의 실수를 갖는 행렬을 설명하고 음수가 아닌 실수를 원소로 갖는 행렬을 설명합니다. 실수 정방행렬 A의 고유값은 행렬의 스펙트럼을 구성하는 복소수입니다. 행렬 거듭제곱 A의 지수 증가율은 절대값(modulus)이 가장 큰 A의 고유값(eigen value)에 의해 제어됩니다. 페론-프로베니우스 정리는 A가 음이 아닌 실수 제곱 행렬일 때 선행 고유값과 해당 고유 벡터의 특성을 설명합니다. 초기 결과는 오스카 페론(Oskar Perron, 1907)과 관련된 양의 행렬 때문이었습니다. 이후 게오르크 프로베니우스(Georg Frobenius, 1912)는 음이 아닌 행렬의 특정 클래스로 확장된 것을 발견했습니다.

양의 행렬

$A$ = ($a$ i j ) $displaystyle$ A = (a_{$ij$})}를 n × n {\displaystyle n\times n} 양의 행렬이라고 하자: a i j > 0 {\display a_{ij}> 0 이 1 ≤ i, j ≤ n {\displaystyle 1\leq i,j\leq n} 에 대하여 다음 문장이 유지됩니다.

1. 페론 근 또는 페론-프로베니우스 고유값(선행 고유값 또는 우점 고유값이라고도 함)이라고 하는 양의 실수 r이 있으므로 r은 A의 고유값이고 다른 고유값 λ(복잡할 수 있음)은 절대값에서 r, λ < r보다 엄격하게 작습니다. 따라서 스펙트럼 반경$$ρ (A) ${\displaystyle \$rho (A)}는 r과 같습니다. 행렬 계수가 대수적이면 고유 값이 페론 수임을 의미합니다.
2. 페론-프로베니우스 고유값은 단순합니다. r은 A의 특성 다항식의 단순한 근입니다. 결과적으로 r과 관련된 고유 공간은 1차원입니다. (좌측의 고유 공간, 즉^T A에 대한 고유 공간, A의 전치에 대해서도 마찬가지입니다.)
3. A의 고유벡터 v = (v,...,v)가 존재하므로 v의 모든 성분은 1 ≤ i ≤ n에 대하여 A v = r v, v > 0입니다. (각각 양의 왼쪽 고유벡터 w : w A = w, w > 0이 존재합니다.) 페론 벡터, 페론 고유 벡터, 페론-프로베니우스 고유 벡터, 선도 고유 벡터 또는 지배 고유 벡터로 많은 변형하에 문헌에 알려져 있습니다.
4. v의 양의 배수(각각 'ww'w를 제외한 왼쪽 고유 벡터)를 제외한 다른 양의 고유 벡터는 없습니다. 즉, 다른 모든 고유 벡터는 적어도 하나의 음의 성분 또는 비실분 성분을 가져야 합니다.
5. $→$$T$ 여기서 A에 대한 좌우 고유벡터는 wv $=$ 1이 되도록 정규화됩니다. 또한 행렬 vw는 r에 해당하는 고유공간에 대한 사영입니다. 이 사영을 페론 사영이라고 합니다.
6. 콜라츠–Wielandt 공식: 모든 음이 아닌 0이 아닌 벡터 x에 대하여, f(x)를 [Ax] / x ≠ 0인 모든 i를 인수한 최소값이라고 가정합니다. 그러면 f는 모든 음이 아닌 0이 아닌 벡터 x에 대한 최대치가 페론-프로베니우스 고유값인 실제 값 함수입니다.
7. "미니맥스" 콜라츠–Wielandt 공식은 위의 것과 유사한 형태를 취합니다. 모든 엄밀하게 양의 벡터 x에 대하여 g(x)를 [Ax]_i / i를 인수한 x의_i 최대값이라고 합니다. 그러면 g는 모든 엄밀하게 양의 벡터 x에 대한 최소값이 페론-프로베니우스 고유값인 실제 값 함수입니다.
8. Birkhoff – Varga 공식: x와 y가 엄밀하게 양의 벡터라고 가정합니다. 그러면.^[8]
   $${\displaystyle r=\sup _{x>0}\inf _{y>0}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\inf _{x>0}\sup _{y>0}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\inf _{x>0}\sup _{y>0}\sum _{i,j=1}^{n}y_{i}a_{ij}x_{j}/\sum _{i=1}^{n}y_{i}x_{i}.}$$

   
9. Donsker–Varadhan–Friedland 공식: p를 확률 벡터, x를 엄밀한 양의 벡터라고 가정합니다. 그러면.^[9][10]
   $${\displaystyle r=\sup _{p}\inf _{x>0}\sum _{i=1}^{n}p_{i}[Ax]_{i}/x_{i}.}$$

   
10. 피들러 공식:^[11]
    $${\displaystyle r=\sup _{z>0}\ \inf _{x>0,\ y>0,\ x\circ y=z}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\sup _{z>0}\ \inf _{x>0,\ y>0,\ x\circ y=z}\sum _{i,j=1}^{n}y_{i}a_{ij}x_{j}/\sum _{i=1}^{n}y_{i}x_{i}.}$$

    
11. 페론-프로베니우스 고유값은 부등식을 만족합니다.
    $${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$$

    

이 모든 특성은 엄밀하게 양의 행렬을 넘어 원시 행렬까지 확장됩니다(아래 참조). 사실 1-7은 마이어^[12] 8장 청구항 8.2.11-15페이지 667 및 연습문제 8.2.5,7,9페이지 668-669에서 확인할 수 있습니다.

왼쪽과 오른쪽 고유 벡터 w와 v는 구성 요소의 합이 1이 되도록 정규화되기도 하며, 이 경우 이들을 확률적 고유 벡터라고 부르기도 합니다. $종종$ 이들은 w ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle 1}$ {\$displaystyle$ $w^{$인 반면, 오른쪽 고유 벡터 v는 1로 합하도록 정규화됩니다.$T}v=$1}.

음이 아닌 행렬

음수가 아닌 항목이 있는 행렬에 대한 확장이 있습니다. 음이 아닌 행렬은 양의 행렬의 극한으로 구할 수 있으므로 음이 아닌 성분을 가진 고유 벡터의 존재를 얻을 수 있습니다. 해당 고유값은 음이 아니며 절대값에서 다른 모든 고유값보다 크거나 같습니다.^[13][14] 그러나 예제 = 1 10$)$ {\displaystyle A =\left({\begin{smallmatrix}0&1\1&0\end{smallmatrix}\right)}의 경우, 최대 고유값 r = 1은 다른 고유값 -1과 $동일$한 절대값을 갖지만, A = (0 100) {\displaystyle A =\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)}의 경우, 최대 고유값은 특성 다항식의 단순근이 아닌 r = 0이며, 해당 고유벡터 (1, 0) 완전히 긍정적인 것은 아닙니다.

그러나 Frobenius는 음이 아닌 행렬의 특별한 하위 클래스인 환원 불가능한 행렬을 발견했습니다. 이러한 행렬의 경우, 최대 절대값에 도달하는 고유값이 고유하지 않을 수 있지만 구조는 제어 상태에 있습니다$.$ ω r ${\displaystyle \omegar$}$$형태를 $가지며$,$$여기서 r${\displaystyle$ r}은 실제 엄밀하게 양의 고유값입니다. 그리고$$ω ${\displaystyle$\omega}는 행렬의 주기라고 불리는 어떤 양의 정수 h에 대해 1의 복소 h'번째 근에 걸쳐 있습니다. $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ r$}$에 해당하는 고유 벡터는 엄밀하게 양의 성분을 갖습니다$$(성분이 음이 아닌 행렬의 일반적인 경우와 대조적으로). 또한 이러한 모든 고유값은 특성 다항식의 단순한 근입니다. 추가 속성은 아래에 설명되어 있습니다.

행렬의 분류

A를 필드 F 위의 x n개의 정사각형 행렬이라고 가정합니다. 행렬 A는 다음과 같은 동등한 성질이 성립하면 축소할 수 없습니다.

정의 1 : A는 사소 불변 좌표 부분 공간을 갖지 않습니다. 여기서 사소하지 않은 좌표 부분공간은 F의ⁿ 표준 기저 벡터들의 임의의 적절한 부분집합에 의해 스팬되는 선형 부분공간을 의미합니다. 좀 더 구체적으로, 표준 기저 벡터 e에_i1 의해 스팬되는 임의의 선형 부분공간에 대하여, A의_ik 작용 하에 있는 그 이미지는 동일한 부분공간에 포함되지 않습니다.

정의 2: A는 치환 행렬 P에 의해 블록 상부 삼각형 형태로 결합될 수 없습니다.

${\displaystyle PAP^{-1}\neq {\begin{pmatrix}E&F\\O&G\end{pmatrix}},}$

여기서 E와 G는 사소하지 않은(즉 0보다 큰) 정방행렬입니다.

정의 3: 행렬 A에 특정 방향 그래프 G를_A 연결할 수 있습니다. n개의 1,...,n이라는 레이블을 가진 정점을 가지며, ≠ 0일 때 꼭지점 i에서 꼭지점 j로 가는 간선이 정확히 존재합니다. 그렇다면 행렬 A는 연관된 그래프_A G가 강하게 연결되어 있는 경우에만 축소할 수 없습니다.

만약 F가 실수 또는 복소수의 장이라면, 우리는 다음 조건도 갖습니다.

${\displaystyle 정의\mathbb{}}$ 4${\displaystyle :}{\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 또는$$${\displaystyle }$(${\displaystyle C\mathbb{},+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {C},$ $+)$의 그룹 표현,$cn{\displaystyle }$ ${\$ $^{$$n}}$의 ${\displaystyle t\$maps$$ to \exp(tA)}에 주어진$$ Cn$${\$displaystyle$ \maps}에는 사소 불변 좌표 부분 공간이 없습니다$.$ (이에 비해, 좌표 부분 공간만을 고려하는 것이 아니라, 사소하지 않은 불변 부분 공간이 전혀 없다면 이는 축소할 수 없는 표현이 될 것입니다.)

행렬은 축소할 수 없는 것이 아니라면 축소할 수 있습니다.

실수 행렬 A가 음수가 아니고 어떤 자연수 m에 대하여 m번째 거듭제곱이 양수이면 (즉, A의^m 모든 원소는 양수) 원시 행렬 A는 원시 행렬입니다.

A가 진짜이고 부정적이지 않게 해주세요. 지수 i를 고정하고, 지수 i의 주기를 (A) > 0이 되도록 모든 자연수 m의 최대^m _ii공약수로 정의합니다. A가 환원 불가능할 때, 모든 지수의 주기는 같으며, 이를 A의 주기라고 합니다. 실제로 A를 줄일 수 없는 경우, 주기는 G의_A 닫힌 방향 경로 길이의 최대 공약수로 정의할 수 있습니다(주방^[15] 16페이지 참조). 주기는 불침투성 지수(Meyer^[12] page 674) 또는 순환의 순서라고도 합니다. 주기가 1이면 A는 비주기적입니다. 원시 행렬은 축소할 수 없는 비주기적 비음의 행렬과 동일하다는 것을 증명할 수 있습니다.

양의 행렬에 대한 페론-프로베니우스 정리의 모든 문장은 원시 행렬에 대해 참으로 유지됩니다. 절대값이 스펙트럼 반지름과 동일한 여러 고유값을 가질 수 있다는 점을 제외하고는 동일한 문장은 음이 아닌 환원 불가능한 행렬에 대해서도 성립하므로 문장을 상응하게 수정해야 합니다. 실제로 그러한 고유값의 수는 주기와 같습니다.

음이 아닌 행렬에 대한 결과는 1912년에 Frobenius에 의해 처음 얻어졌습니다.

환원 불가능한 음이 아닌 행렬에 대한 페론-프로베니우스 정리

$A {\displaystyle$ A$}$를 주기 $h$ ${\displaystyle h}$ 및 스펙트럼 반지름${\displaystyle }$ρ (A)$$= r ${\displaystyle$ \rho $($A)=r}인 축소 불가능한 $음$이 아닌 ${\displaystyle N}$× N ${\displaystyle N\times N}$ 행렬이라고 가정하면 다음 문장이 성립합니다.

• $숫자$ ${\displaystyle {}^{}}$ ∈ R +${\display$ r\in \mathbb$${R} ^{+}는 양의 실수이며$행렬$ A ${\displaystyle$A}의 고유값입니다. 이를 페론-프로베니우스 고유값이라고 합니다.
• 페론-프로베니우스 $고유값{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ r$}$은(는) 단순합니다. $r{\displaystyle }$ ${\displayr}$과(와) 연결된 오른쪽 및 왼쪽 고유 공간은 모두 1차원입니다$$.
• ${\displaystyle A}$에는 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 및$$ w ${\$이$($가) 있고 $r$이 {\displaystyle $r}$이고 구성 요소가 모두 양수입니다. 또한 성분이 모두 양수인 유일한 고유 벡터는 $고유{\displaystyle }$ 값$r$ {\$displayr}$과(와) 연관된 고유 벡터입니다$.$
• 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $A$$}$에는 $절대값{\displaystyle }$ $r$이 ${\displaystyle$ $h$$}$인 복합 고유값이 정확히 h {\displaystyle h}($$여기서 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$는 주기) $있습니다$ 각각은 특성 다항식의 단순한 근이며 h$${\$displaystyle h$}번째 통일근을 $갖는$ r ${\displaystyle$ r$}$의 곱입니다.
• Let ${\displaystyle \omega =2\pi /h}$. Then the matrix ${\displaystyle A}$ is similar to ${\displaystyle e^{i\omega }A}$, consequently the spectrum of ${\displaystyle A}$ is invariant under multiplication by ${\displaystyle e^{i\omega }}$ (i.e. 각도$$ω ${\displaystyle$\omega })에 의해 복소 평면의 회전에 적용됩니다.
• > ${\displaystyle$ h$>1}$이면 다음과 같은$$ 순열 행렬 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$}$가 존재합니다.

${\displaystyle PAP^{-1}={\begin{pmatrix}O&A_{1}&O&O&\ldots &O\\O&O&A_{2}&O&\ldots &O\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\O&O&O&O&\ldots &A_{h-1}\\A_{h}&O&O&O&\ldots &O\end{pmatrix}},}$

여기서 $O{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ O$}$는 0 행렬을 나타내고$$ 주 대각선을 따른 블록은 정사각형 행렬입니다.

• 콜라츠–Wielandt formula: for all non-negative non-zero vectors ${\displaystyle \mathbf {x} }$ let ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ be the minimum value of ${\displaystyle [A\mathbf {x} ]_{i}/x_{i}}$ taken over all those ${\displaystyle i}$ such that ${\displaystyle$$x_{i}\n$$eq$ 0$\}.$ $그러면{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$는 페론-프로베니우스 고유값이 최대인 실제 값 함수입니다.

• 페론-프로베니우스 고유값은 부등식을 만족합니다.

${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$

예제 =( 0 0 0 1 1 1 1 0) {\displaystyle A =\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&1&1\1&1&0\end{smallmatrix}\right)}는 대각선을 따라 (정사각형) 0 matrices가 다른 크기일 수 있고, 블록 A는 정사각형일 필요가 없으며, h는 n을 나눌 필요가 없음을 보여줍니다.

추가 속성

A를 환원 불가능한 음이 아닌 행렬이라고 하자.

1. (I+A)ⁿ⁻¹는 포지티브 매트릭스(positive matrix)입니다(마이어[12] 청구 8.3.5 페이지 672). 음이 아닌 A의 경우, 이것도 충분한 조건입니다.^[16]
2. 윌란트의 정리.^{[17][clarification needed]} If B <A, then ρ(B)≤ρ(A). 만약 등호가 성립한다면 (즉, μ= ρ(A)e가 B에 대하여 고유값이면), 어떤 대각 유니트 행렬 D에 대하여 B = e D AD (즉, D의 대각 원소는 e와 같고, 비 diagonal은 0입니다).
3. 만약 어떤 거듭제곱 A가 감소 가능하다면, 그것은 완전히 감소 가능합니다. 즉, 어떤 치환 행렬 P에 대하여, 과 같은 것은 사실입니다: - 1= ( 1 … O A 2 O … O ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ OO … A ) {\displaystyle PA$^{$q}P^{-1} = {\begin{pmatrix}$A_{1}&O&O&\dots &O\\O&$$A_{2}&O&\dots$& O$\\\\vdots &\vdots$ &\\vdots $&\\vdots &\\dots$&$A_{d}\\end{pmatrix$ 여기서_i A는 동일한 최대 고유값을 갖는 환원 불가능한 행렬입니다. 이 행렬들의 수 d는 q와 h의 최대 공약수이며, 여기서 그의 주기는 A입니다.^[19]
4. If c(x) = xⁿ + c_k1 x^n-k₁ + c_k2 x^n-k₂ + ...+ c_ks x는^n-k_s 0이 아닌 항만 나열된 A의 특성 다항식이고, A의 주기는 k₁₂, k, ..., k의_s 최대 공약수와 같습니다.^[20]
5. Cesaro 평균: ${\displaystyle 림}$ → ∞ 1 / ${\displaystyle \underset{}{k}}$ ∑${\displaystyle \underset{}{i}}$ = ${\displaystyle 0{}^{}}$ k Ai / ri = (vw T ), {\displaystyle \lim_{k\rightarrow \infty }1/k\sum _{i=0,...,k}A^{i}/r^{i}=(vw^{T}), A에 대한 왼쪽 및 오른쪽 고유 벡터가 wv = 1이 되도록 정규화됩니다. 또한, 행렬 vw는 r에 해당하는 스펙트럼 투영이며, 페론 ^[21]사영
6. 페론-프로베니우스 고유값이라고 하면 (r-A)에 대한 인접 행렬은 양수입니다.^[22]
7. A가 적어도 하나의 0이 아닌 대각선 원소를 가지면 A는 원시적입니다.^[23]
8. 0 ≤ A < B이면 r_A ≤ r_B. 더욱이 B가 환원 불가능하면 부등식은 엄격합니다_A: r_B < r.

행렬 A가 음이 아니고 어떤 m에 대하여 A가 양수이면 A는 모든 k개의 ≥ m에 대하여 양수입니다. 민감도를 확인하려면 A의 크기에 따라 최소 크기가 얼마나 클 수 있는지에 대한 한계가 필요합니다.^[24]

• A가 크기 n의 음이 아닌 원시 행렬이면 A는^{n2 − 2n + 2} 양수입니다. 또한 아래 행렬 M에 대해서는 (M) = 0이기 때문에 전력 M이 모든 k < n - 2n + 2에 대해 양수가 아니므로 가능한 최상의 결과입니다.

${\displaystyle M=\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0&\cdots &0\\0&0&1&0&\cdots &0\\0&0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&0&\cdots &1\\1&1&0&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right)}$

적용들

음이 아닌 행렬을 주제로 수많은 책이 집필되었고, 페론-프로베니우스 이론은 변함없이 핵심적인 특징입니다. 아래에 제시된 예는 방대한 애플리케이션 도메인의 표면만 긁을 뿐입니다.

음이 아닌 행렬

페론-프로베니우스 정리는 음이 아닌 행렬에는 직접 적용되지 않습니다. 그럼에도 불구하고, 임의의 축소 가능한 정사각형 행렬 A는 (축소 가능 행렬의 정규 형태로 알려진) 상위 삼각형 블록 형태로 쓰여질 수 있습니다.^[25]

PAP⁻¹ = ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}B_{1}&*&*&\cdots &*\\0&B_{2}&*&\cdots &*\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &*\\0&0&0&\cdots &B_{h}\end{smallmatrix}}\right)}$

여기서 P는 순열 행렬이고 각 B는_i 축소 불가능하거나 0인 정방 행렬입니다. 이제 A가 음이 아닌 경우 PAP의⁻¹ 각 블록도 마찬가지이며, 더욱이 A의 스펙트럼은 B의_i 스펙트럼의 결합일 뿐입니다.

A의 가역성도 연구할 수 있습니다. PAP의⁻¹ 역수(존재하는 경우)는 B_i⁻¹ 형태의 대각선 블록을 가져야 하므로 B가_i 가역적이지 않으면 PAP도⁻¹ A도 아닙니다. 반대로 D를 PAP에⁻¹ 해당하는 블록 대각 행렬, 즉 별표가 0인 PAP로⁻¹ 지정합니다. 각 B가_i 가역적이면 D와⁻¹ D(PAP⁻¹)는 항등식에 영점 행렬을 더한 값과 같습니다. 그러나 이러한 행렬은 항상 가역적이므로(N = 0인 경우 1 - N의 역수는 1 + N + N + ... + N) PAP와 A는 둘 다 가역적입니다.

따라서 A의 많은 스펙트럼 특성은 그 정리를 환원 불가능한 B에_i 적용하여 추론할 수 있습니다. 예를 들어, 페론 근은 ρ(B)의 최대값입니다. 음이 아닌 성분을 가진 고유 벡터는 여전히 존재하지만 이들 중 어느 것도 양이 아닐 가능성이 높습니다.

확률행렬

행(열) 확률 행렬은 각 행(열)이 합이 단일인 음수가 아닌 실수로 구성된 정사각형 행렬입니다. 그 정리는 축소할 필요가 없기 때문에 그런 행렬에 직접 적용할 수 없습니다.

A가 행-정성이면 각 항목이 1인 열 벡터는 고유값 1에 해당하는 고유 벡터이며, 위의 언급에 의해 ρ(A)이기도 합니다. 단위 원 위의 고유 값이 유일한 것은 아닐 수도 있습니다. 그리고 연관된 고유 공간은 다차원일 수 있습니다. A가 행 확률적이고 축소할 수 없는 경우 페론 사영도 행 확률적이고 모든 행이 동일합니다.

대수 그래프 이론

이 정리는 대수 그래프 이론에서 특히 유용하게 사용됩니다. 음이 아닌 n제곱 행렬의 "기본 그래프"는 A가 ≠ 0인 경우에만 1, ..., n 및 arcij로 번호가 매겨진 그래프입니다. 이러한 행렬의 기본 그래프가 강하게 연결되어 있으면 행렬은 축소할 수 없으므로 정리가 적용됩니다. 특히, 강하게 연결된 그래프의 인접 행렬은 줄일 수 없습니다.^[26][27]

유한 마르코프 사슬

이 정리는 유한 마르코프 사슬 이론에서 자연스러운 해석을 가지고 있습니다(여기서 환원 불가능한 유한 마르코프 사슬의 정지 분포로의 수렴의 행렬 이론적 등가이며, 사슬의 전이 행렬 측면에서 공식화됩니다. 예를 들어, 유한 유형의 하위 이동에 대한 기사를 참조하십시오).

콤팩트 연산자

보다 일반적으로, 이는 많은 면에서 유한 차원 행렬과 유사한 음이 아닌 콤팩트 연산자의 경우로 확장될 수 있습니다. 이들은 일반적으로 물리학에서 전이 연산자라는 이름으로 연구되거나, 때로는 루엘-페론-프로베니우스 연산자(데이비드 루엘 이후)라는 이름으로 연구됩니다. 이 경우 선행 고유값은 동적 시스템의 열역학적 평형에 해당하고, 더 작은 고유값은 평형에 있지 않은 시스템의 붕괴 모드에 해당합니다. 따라서 이 이론은 점 집합 토폴로지의 관점에서 조사할 때 가역적이고 결정론적인 동적 과정으로 보이는 것에서 시간의 화살을 발견하는 방법을 제공합니다.^[28]

증명방법

많은 증명에서 흔히 볼 수 있는 실은 브루어 고정점 정리입니다. 또 다른 인기있는 방법은 Wielandt(1950)의 방법입니다. 그는 콜라츠를 사용했습니다.프로베니우스의 작업을 확장하고 명확히 하기 위해 위에서 설명한 빌란트 공식.^[29] 또 다른 증거는 논증의 일부를 차용한 스펙트럼 이론에^[30] 기반을 두고 있습니다.

페론 근은 양(및 원시) 행렬에 대해 엄밀하게 최대 고유값입니다.

A가 양(또는 더 일반적으로 원시적인) 행렬이면 다른 모든 고유값보다 절대값이 엄격하게 큰 실제 양의 고유값 r(페론-프로베니우스 고유값 또는 페론 근)이 존재하므로 r은 A의 스펙트럼 반지름입니다.

이 문장은 r과 동일한 절대 고유값을 갖는 고유값을 갖는 일반적인 음이 아닌 환원불가능한 행렬에 대해서는 성립하지 않습니다. 여기서 h는 A의 주기입니다.

양의 행렬에 대한 증명

A를 양의 행렬이라 하고, 스펙트럼 반지름이 ρ(A) = 1이라고 가정합니다(otherwise는 A/ρ(A)). 따라서 단위 원 위에 고유값 λ가 존재하며, 다른 모든 고유값은 절대값에서 1보다 작거나 같습니다. 다른 고유값 λ ≠ 1도 단위 원 위에 있다고 가정합니다. 그러면 A가 양의 행렬이고 λ의 실수 부분이 음이 되는 양의 정수 m이 존재합니다. ε를 A의 가장 작은 대각선 엔트리의 절반으로 하고 또 다른 양의 행렬인 T = A - εI를 설정합니다. 또한 Ax = λx이면 Ax = λx이므로 λ - ε는 T의 고유 값입니다. 이 점은 m의 선택 때문에 결과적으로 ρ(T) > 1이 됩니다. 반면에 T의 모든 원소는 양수이고 A의 원소보다 작거나 같으므로 겔판드의 공식 ρ(T) ≤ ρ(A) ≤ ρ(A) = 1입니다. 이 모순은 λ = 1이고 다른 고유값은 단위원에 존재할 수 없음을 의미합니다.

원시 행렬의 경우에도 동일한 주장이 적용될 수 있습니다. 원시 행렬의 특성을 설명하는 다음과 같은 간단한 보조정리만 언급하면 됩니다.

보조개

음이 아닌 A가 주어졌을 때, A가^m 양수이고, A^m+1, A^m+2m+3, A,... 모두 양수인 m이 존재한다고 가정합니다.

A = AA이므로 A의 일부 행이 완전히 0일 경우에만 0 요소를 가질 수 있지만, 이 경우 A의 동일한 행은 0이 될 것입니다.

기본 행렬에 대해 위와 같은 논법을 적용하여 주요 주장을 증명합니다.

멱승법과 양의 고유쌍

양(또는 일반적으로 환원 불가능한 비음) 행렬 A의 경우, 지배 고유 벡터는 실수이고 엄밀하게 양(각각 비음)입니다.

이것은 충분히 일반적인 (아래 의미에서) 행렬 A에 대해 벡터 b = Ab / Ab의 수열이 최대 고유값을 갖는 고유 벡터로 수렴한다는 것을 나타내는 거듭제곱 방법을 사용하여 확립할 수 있습니다. (초기 벡터 b는₀ 일부 측도 0 집합을 제외하고 임의로 선택할 수 있습니다.) 음이 아닌 벡터 b로₀ 시작하면 음이 아닌 벡터 b의_k 시퀀스가 생성됩니다. 따라서 한계 벡터도 음수가 아닙니다. 거듭제곱법에 의해 이 한계 벡터는 A의 지배적인 고유 벡터이며 주장을 증명합니다. 해당 고유값은 음수가 아닙니다.

증명에는 두 가지 추가 논거가 필요합니다. 먼저 검정력 방법은 최대값과 동일한 절대값의 고유값이 여러 개 없는 행렬에 대해 수렴합니다. 앞 절의 주장은 이를 보장합니다.

둘째, 환원 불가능한 행렬의 경우 고유 벡터의 모든 구성 요소의 엄격한 양의 값을 보장합니다. 이것은 독립적인 이해관계가 있는 다음과 같은 사실에서 비롯됩니다.

보조정리: A에 대하여 양의(또는 일반적으로 환원 불가능한 비음의) 행렬 A와 v가 임의의 음이 아닌 고유 벡터로 주어지면, 그것은 반드시 엄밀하게 양의 값이고 대응하는 고유 값 또한 엄밀하게 양의 값입니다.

증명. 음이 아닌 행렬에 대한 환원불가능성의 정의 중 하나는 모든 인덱스 i,j에 대하여 m이 존재하므로 (A^m)_ij가 엄밀하게 양수라는 것입니다. 음이 아닌 고유 벡터 v가 주어지고 그 성분 중 적어도 하나가 j번째가 엄격하게 양수라고 말하는 경우, 해당 고유 값은 실제로 (A) >0인 n이 주어지면 엄격하게 양수이므로 rv = Av ≥ (A)v >0입니다. 따라서 r은 엄밀하게 양수입니다. 고유 벡터는 엄격한 양성입니다. 그런 다음 m이 주어지면 (A) >0이 되므로 rv = (Av) ≥ (A)v >0이 되므로 v는 엄밀하게 양수, 즉 고유 벡터는 엄밀하게 양수입니다.

다중도 1

이 절에서는 페론-프로베니우스 고유값이 행렬의 특성 다항식의 단순한 근임을 증명합니다. 따라서 페론-프로베니우스 고유값 r과 관련된 고유 공간은 1차원입니다. 여기서의 주장들은 마이어의 주장들과 비슷합니다.^[12]

r에 해당하는 엄밀하게 양의 고유벡터 v와 동일한 고유값을 갖는 다른 고유벡터 w가 주어졌을 때. (A와 r은 둘 다 실수이므로 A-r의 널 공간은 실수 벡터로 구성된 기저를 갖기 때문에 벡터 v와 w는 실수로 선택될 수 있습니다.) w의 성분 중 하나 이상이 양수라고 가정합니다(그렇지 않으면 w에 -1을 곱합니다). u=v-α w가 음수가 아닌 최대 가능한 α가 주어지면 u의 성분 중 하나는 0이고, 그렇지 않으면 α는 최대가 아닙니다. 벡터 u는 고유 벡터입니다. 음이 아니므로 앞 절에서 설명한 보조정리에 의해 음이 아닌 것은 모든 고유 벡터에 대해 엄격한 양을 의미합니다. 한편, 위와 같이, u의 적어도 하나의 성분은 0입니다. 모순은 w가 존재하지 않음을 의미합니다.

경우: 페론-프로베니우스 고유값 r과 절대값이 같은 다른 모든 고유값에 해당하는 요르단 셀은 없습니다.

요르단 셀이 있는 경우 무한대 노름(A/r)은 k → ∞에 대해 무한대인 경향이 있지만, 이는 양의 고유 벡터의 존재와 모순됩니다.

Given r = 1, or A/r. v를 페론-프로베니우스 엄밀하게 양의 고유 벡터, 즉 Av=v라고 하면 다음과 같습니다.

${\displaystyle \ v\ _{\infty }=\ A^{k}v\ _{\infty }\geq \ A^{k}\ _{\infty }\min _{i}(v_{i}),~~\Rightarrow ~~\ A^{k}\ _{\infty }\leq \ v\ /\min _{i}(v_{i})}$ So A^k_∞ is bounded for all k. 이것은 페론-프로베니우스 1보다 큰 절대값을 갖는 고유값이 없다는 또 다른 증거를 제공합니다. 또한 절대값이 1인 모든 고유값(특히 페론-프로베니우스의 경우)에 대한 요르단 셀의 존재와 모순됩니다. 왜냐하면 요르단 셀의 존재는 A가^k_∞ 무한대라는 것을 의미하기 때문입니다. 2 x 2 행렬의 경우:

${\displaystyle J^{k}={\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}}^{k}={\begin{pmatrix}\lambda ^{k}&k\lambda ^{k-1}\0&\lambda ^{k}\end{pmatrix}}}$

따라서 J = k + λ(λ = 1의 경우)이므로 k가 그렇게 되면 무한대가 되는 경향이 있습니다. J = C AC, 그러면 A는 J/(CC) ≥이므로 무한대로 가는 경향이 있습니다. 결과적으로 모순은 해당 고유값에 대한 Jordan 셀이 없음을 의미합니다.

위의 두 주장을 결합하면 페론-프로베니우스 고유값 r이 특성 다항식의 단순한 근임을 알 수 있습니다. 원시 행렬이 아닌 경우에는 r과 같은 절대값을 갖는 다른 고유값이 존재합니다. 그들에게도 같은 주장이 맞지만 더 많은 작업이 필요합니다.

다른 음이 아닌 고유 벡터 없음

양의 (또는 일반적으로 환원 불가능한 비음의 행렬) A가 주어졌을 때, 페론-프로베니우스 고유 벡터는 A에 대한 유일한 (상수에 의한 곱셈까지) 비음의 고유 벡터입니다.

서로 다른 고유값에 대한 고유벡터는 어떤 의미에서는 직교하기 때문에 다른 고유벡터는 음의 성분이나 복잡한 성분을 포함해야 하지만 두 개의 양의 고유벡터는 직교할 수 없으므로 동일한 고유값에 대응해야 하지만 페론-프로베니우스의 고유공간은 1차원입니다.

A에 대한 고유 쌍(λ, y)이 존재하므로 벡터 y는 양수이고, 주어진 (r, x), 여기서 x - 는 A에 대한 왼쪽 페론-프로베니우스 고유 벡터(즉, A에 대한 고유 벡터), rxy = (x A) y = x (Ay) = λxy, 또한 x y > 0이므로 다음과 같이 됩니다. 페론-프로베니우스 고유값 r에 대한 고유 공간은 1차원이므로, 음이 아닌 고유 벡터는 페론-프로베니우스의 배수입니다.^[31]

콜라츠–빌란트 공식

양의 (또는 일반적으로 환원 불가능한 비음의 행렬) A가 주어지면, 함수 f를 모든 비음의 비영점 벡터 x의 집합에 정의하여 f(x)가 [Ax] / x가 x ≠ 0인 모든 i의 최소값이 되도록 합니다. 그러면 f는 실제 값 함수이며, 그 최대 값은 페론-프로베니우스 고유값입니다.

증명의 경우 우리는 최대 off를 값 R로 표시합니다. 증명은 R = r을 보여야 합니다. 페론-프로베니우스 고유 벡터 v를 f에 삽입하면 f(v) = r을 얻고 r ≤ R로 결론을 내립니다. 반대 부등식의 경우 임의의 음이 아닌 벡터 x를 고려하고 ξ = f(x)로 합니다. f의 정의는 0 ≤ ξx ≤ Ax(성분별)를 제공합니다. 이제 페론-프로베니우스 고유값 r에 대하여 A에 대하여 양의 오른쪽 고유벡터 w를 사용하고, 그다음에 ξ w x = w ξ x ≤ w (Ax) = (w A)x = r w x를 사용합니다. 따라서 f(x) = ξ≤ r이며, 이는 R ≤ r을 의미합니다.

한계로서 페론투영^k: A/r^k

A를 양의 행렬(또는 일반적으로 원시 행렬)이라 하고, 그것의 페론-프로베니우스 고유값이라 합니다.

1. k → ∞에 대한 A/r 한계가 존재하며, 이를 P로 표시합니다.
2. P는 A: AP = PA로 통근하는 투영 연산자 P = P입니다.
3. P의 영상은 1차원이며 페론-프로베니우스 고유 벡터 v(각각^T P의 경우 페론-프로베니우스 고유 벡터 w, A의^T 경우 페론-프로베니우스 고유 벡터 w)에 의해 스팬됩니다.
4. P = vw, 여기서 v,w는 wv = 1이 되도록 정규화됩니다.
5. 따라서 P는 양의 연산자입니다.

따라서 P는 페론-프로베니우스 고유값 r에 대한 스펙트럼 사영이며, 페론 사영이라고 합니다. 위의 주장은 음이 아닌 일반적인 환원 불가능 행렬에 대해서는 사실이 아닙니다.

실제로 위의 주장은 절대값에서 다른 고유값보다 엄격하게 크고 특성 다항식의 단순한 근인 고유값 r이 존재하는 행렬 M에 대해 유효합니다. (이러한 요구 사항은 위와 같은 기본 행렬에 적용됩니다.)

M이 대각화가 가능하다고 할 때, M은 대각선 위의 고유값 r, ..., r을 갖는 대각행렬(denote r = r)에 켤레입니다. 행렬 M/r은 (1, (r/r), ..., (r/r)이며, k → ∞의 경우 (1,0,0,...,0) 경향이 있으므로 한계가 존재합니다. M이 대각화 가능하다고 가정하지 않고 일반 M에서도 동일한 방법이 사용됩니다.

투영 및 교환성 특성은 정의의 기본적인 상관 관계(MM/r = M/r M; P = lim M/r = P)입니다. 세 번째 사실도 기본입니다: M(Pu) = Mlim M/ru = lim m/ru이므로 한계를 취하면 M(Pu) = r(Pu)가 산출되므로 P의 이미지는 가정에 의해 1차원인 M에 대한 r-eigen 공간에 있습니다.

M에 대한 r-eigenvector를 v로 표시합니다(M에 대한 w로 표시^T). P의 이미지는 그것에 의해 스팬되기 때문에 P의 열은 v의 배수입니다. 각각 w행. 그래서 P는 a에 대해 형태(vw^T)를 취합니다. 따라서 추적은 (aw^T v)와 같습니다. 프로젝터의 트레이스는 이미지의 치수와 동일합니다. 그것이 1차원 이상이 아니라는 것은 이전에 증명되었습니다. 정의로부터 P가 M에 대한 r-eigen 벡터에 동일하게 작용한다는 것을 알 수 있습니다. 그래서 그것은 1차원입니다. 따라서 (wv) = 1을 선택하면 P = vw를 의미합니다.

페론-프로베니우스 고유값에 대한 부등식

음이 아닌 행렬 A의 경우 페론-프로베니우스 고유값 r은 다음과 같은 부등식을 만족합니다.

${\displaystyle r\;\leq \;\max _{i}\sum _{j}a_{ij}}$

이것은 음수가 아닌 행렬에만 국한되지 않습니다. $고유값$λ가 ${\$displaystyle $\scriptstyle$\lambda }인 모든 행렬 A에 대해 λ ≤${\displaystyle {\mathrm{최대}}_{}}$ i ∑$ja {\$displaystyle $\lambda \;\$leq \;\max _{i}\sum _{j} a_{ij}인${\displaystyle \underset{}{것}}$은 ${\displaystyle 사실}$입니다. 이것은 거슈고린 원 정리의 즉각적인 상관 관계입니다. 그러나 또 다른 증거는 보다 직접적입니다.

임의의 행렬 유도 노름은 ${\displaystyle 부등식}$ ‖ $A$를 만족시킵니다. 임의의$고유값$λ ${\displaystyle$\scriptstyle \$A$\ $\$geq \lambda }에 대한 ‖ ≥ λ {\displaystyle$$\lambda }은 x {\displaystyle \scriptstyle x}가 대응하는 고유 벡터이면, ${\displaystyle \scriptstyle \ A\ \geq Ax / x = \lambda x / x = \lambda }$. The infinity norm of a matrix is the maximum of row sums: ${\displaystyle {\Vert A\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le m}{max}\sum _{j=1}^n{a}_{ij}.}$${\displaystyle \scriptstyle \left\A\right\_{\infty$} =\$max \limits$_{1$\leq$ i\$leq$ m}\sum$$_{j=1}^{n} a_{ij}.} 따라서 원하는 부등식은 $정$확히 ‖입니다$. ‖ ∞$ ≥ λ {\displaystyle \scriptstyle \ A\_{\infty }\g$eq \lam$bda }는 음이 아닌 행렬 A에 적용됩니다.

또 다른 불평등은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\;\leq \;r.}$

이 사실은 음이 아닌 행렬에 한정됩니다. 일반 행렬의 경우 유사한 것이 없습니다. A가 양이면 (음이 아닌), Aw = rw이고 w의 최소 성분이 1이 되는 양의 고유 벡터 w가 존재합니다. 그러면 r = (Aw)는 A의 i행에 있는 숫자들의 합을 ≥. 따라서 최소 행 합은 r에 대한 하한을 제공하며 이 관측치는 연속성에 의해 모든 음이 아닌 행렬로 확장될 수 있습니다.

그것을 주장하는 또 다른 방법은 콜라츠-윌란트 공식을 통해서입니다. 한 사람은 벡터 x = (1, 1, ..., 1)을 취하고 즉시 부등식을 얻습니다.

추가 증명

페론 사영

이제 증명은 스펙트럼 분해를 사용하여 진행됩니다. 여기서 요령은 다른 고유값에서 페론 근을 나누는 것입니다. 페론 근과 관련된 스펙트럼 사영을 페론 사영이라고 하며 다음과 같은 성질을 가지고 있습니다.

환원 불가능한 비음의 정방 행렬의 페론 투영은 양의 행렬입니다.

페론의 발견과 정리의 (1)-(5)도 이 결과의 상관 관계입니다. 핵심은 양의 사영이 항상 1순위를 갖는다는 것입니다. 이것은 A가 환원 불가능한 음이 아닌 정방행렬이면 페론 근의 대수적 및 기하적 다중성은 둘 다 1임을 의미합니다. 또한 P가 페론 사영인 경우 AP = PA = ρ(A)P이므로 P의 모든 열은 A의 양의 오른쪽 고유벡터이고 모든 행은 양의 왼쪽 고유벡터입니다. Moreover, if Ax = λx then PAx = λPx = ρ(A)Px which means Px = 0 if λ ≠ ρ(A). 따라서 유일한 양의 고유 벡터는 ρ(A)와 관련된 벡터입니다. A가 ρ(A) = 1인 원시 행렬이면 A = P + (1 - P)A가 되도록 P ⊕ (1 - P)A로 분해할 수 있습니다. n이 이 항들 중 두 번째 항을 0으로 증가시키면 P는 A의 극한으로 n → ∞로 남게 됩니다.

파워 메소드는 원시 행렬의 페론 프로젝션을 계산하는 편리한 방법입니다. v와 w가 생성되는 양의 행과 열 벡터라면 페론 사영은 wv/vw에 불과합니다. 스펙트럼 프로젝션은 조던 형태처럼 깔끔하게 차단되지 않습니다. 여기서 이들은 겹쳐지고 각각은 일반적으로 정사각형 행렬의 네 모서리 모두로 확장되는 복잡한 항목을 갖습니다. 그럼에도 불구하고, 그들은 분해를 촉진하는 상호 직교성을 유지합니다.

주변투영

A가 환원 불가능한 경우와 음이 아닌 경우의 분석은 대체로 유사합니다. 페론 사영은 여전히 양수이지만 이제 ρ(A) = 1일 때마다 원시적인 경우처럼 (1 - P)A의 거듭제곱이 붕괴되는 것을 방지하는 모듈러스 ρ(A)의 다른 고유값이 있을 수 있습니다. 그래서 우리는 주변 사영을 고려합니다. 모듈러스 ρ(A)을 갖는 모든 고유값에 해당하는 A의 스펙트럼 투영입니다. 그런 다음 환원 불가능한 비음의 정방 행렬의 주변 투영이 양의 대각선을 갖는 비음의 행렬임을 보여줄 수 있습니다.

순환성

또한 ρ(A) = 1과 A가 단위 원 위에서 고유값을 갖는다고 가정합니다. P가 주변 사영이면 행렬 R = AP = PA는 음이 아니고 환원 불가능하며, R = P이며, 순환군 P, R, R, ..., R은 A의 조화를 나타냅니다. 단위 원의 고유값 λ에서 A의 스펙트럼 투영은 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{공식}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ - ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ∑ $1시간$ λ - k R ${\displaystyle \scriptstyle h$^{-1$}\sum _{$1$\}^\{$h}\lambda ^{-k}R^{k${\displaystyle {}^{}}$에 의해 제공됩니다. 이 모든 투영(페론 투영 포함)은 동일한 양의 대각선을 갖습니다. 또한 그들 중 하나를 선택한 다음 모든 항목의 모듈러스를 취하면 항상 페론 사영을 얻을 수 있습니다. 순환 특성(6)-(8)을 설정하기 위해서는 여전히 당나귀 작업이 필요하지만, 이는 본질적으로 핸들을 돌리는 것에 불과합니다. A의 스펙트럼 분해는 A = R ⊕ (1 - P)A에 의해 주어지므로 A와 R 사이의 차이는 A - R = (1 - P)A로 결국 0으로 붕괴됩니다. P는 A의 극한으로 n → ∞로 계산될 수 있습니다.

반례

The matrices L = ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0\\1&0&0\\1&1&1\end{smallmatrix}}\right)}$, P = ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0\\1&0&0\\\!$$\!\!-1&1&1\end{smallmatrix}\right$ T $=$( 1 0 1 $)$ {\$displaystyle \$$begin$$\$$({$${smallmatrix}0&1\\1&$1$&1\$1&1\1&1&0\$end{smallmatrix$right)}, M =( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 {\$displaystyle \left$({\begin${smallmatrix}0&1&1&0&0&0\1&0&0$\1&$0$&$0$\$0&0&1\0$&0$&1\$0&1\$0&$1&0\$end{smallmatrix}\$right}는 필요한 조건이 충족되지 않으면 무엇이 잘못될 수 있는지에 대한 간단한 예를 제공합니다. L의 페론과 주변 사영은 모두 P와 같다는 것을 쉽게 알 수 있으므로 원래 행렬을 축소할 수 있을 때 사영은 음이 아닐 수 있으며 이를 거듭제곱의 한계로 표현할 가능성이 없습니다. 행렬 T는 대각선이 0인 원시 행렬의 예입니다. 환원 불가능한 음이 아닌 정사각형 행렬의 대각선이 0이 아닌 경우 행렬은 원시 행렬이어야 하지만 이 예는 그 반대가 거짓임을 보여줍니다. M은 몇 개의 누락된 스펙트럼 톱니가 있는 행렬의 예입니다. ω = e이면 ω = 1이고 M의 고유값이 +1에 대한 차원 2 고유 공간을 갖는 {1, ω, ω =-1, ω}이므로 ω와 ω는 모두 없습니다. 좀 더 정확하게 말하면, M은 블록 대각 순환이므로 고유값은 첫 번째 블록의 경우 {1,-1}이고, 아래 블록의 경우 {1, ω, ω}입니다.

용어.

혼란을 일으키는 문제는 정의의 표준화 부족입니다. 예를 들어, 일부 저자는 각각 > 0과 ≥ 0을 의미하는 엄격한 양과 양의 용어를 사용합니다. 이 글에서 양수는 > 0을 의미하고 음수가 아닌 것은 ≥ 0을 의미합니다. 또 다른 불편한 부분은 분해성과 환원성에 관한 것입니다. 환원 불가능은 과부하된 용어입니다. 의심을 피하기 위해 1 + A가 원시인 0이 아닌 비음의 정방행렬 A가 연결되어 있다고 합니다. 그리고 환원 불가능한 음이 아닌 제곱 행렬과 연결된 행렬은 동의어입니다.^[33]

음이 아닌 고유 벡터는 구성 요소의 합이 일치하도록 정규화되는 경우가 많습니다. 이 경우 고유 벡터는 확률 분포의 벡터이며 확률 고유 벡터라고 불리기도 합니다.

페론-프로베니우스 고유값과 우성 고유값은 페론 근의 대체 이름입니다. 스펙트럼 프로젝션은 스펙트럼 프로젝터 및 스펙트럼 idempotent라고도 합니다. 주기는 임피던스의 지수 또는 순환의 순서로 불리기도 합니다.

참고 항목

• 최소-최대 정리 – 힐베르트 공간상에서 콤팩트 에르미트 연산자의 고유값의 변분 특성화
• Z 행렬(수학) – 대각선을 벗어난 항목이 양이 아닌 정방 행렬
• M행렬
• P-행렬 – 모든 주소항이 양수인 복소수 정방행렬
• 후르비츠 행렬 – 다항식을 계수로 분석하는 대수 행렬 요소
• 메츨러 행렬(Quasipositive matrix)
• 양의 연산자 – C*-대수 A의 자기접합(또는 에르미트) 요소 A의 스펙트럼 σ(A)가 음이 아닌 실수로 구성된 경우 양이라고 합니다. 위키데이터 설명을 폴백으로 표시하는 페이지
• 크레인-루트만 정리 – 페론-프로베니우스 정리를 바나흐 공간에 일반화

메모들

참고문헌

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더보기

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