연산자 K이론

수학에서 연산자 K-이론은 바나흐 알헤브라에 대한 위상학 K-이론의 비확정적 아날로그로 C*-알제브라에 대부분의 응용이 사용된다.

개요

연산자 K 이론은 대수학 K 이론보다 위상학 K 이론과 더 닮았다. 특히 Bott의 주기성 정리는 유지된다. 그래서 K군은 대수학 K와₀ 같은₀ K와₁ K 두 그룹밖에 없다. 주기성 정리의 결과로서 분리를 만족시킨다. 즉, C*알게브라의 확장과 긴 정확한 시퀀스를 연결하며, Bott 주기성에 의해 정확한 주기적 6개월 시퀀스로 감소한다.

연산자 K 이론은 위상학 K 이론의 일반화로서, 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간의 벡터 번들을 이용하여 정의된다. 여기서 위상학적 공간 X 위에 있는 벡터 번들은 ${\displaystyle {매트릭스-값}_{}}$의 C* 대수(${\displaystyle M\mathbb{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( C${\displaystyle }$) ${\displaystyle$M_${n$}(\$mathb$ {$C} )}$ -값-X에 대한 연속 함수의 투영에 연관된다. 또한 벡터 번들의 이형성은 K ⊗ C(X)에서 관련 투영법의 Murray-von Neumann 동등성을 의미한다고 알려져 있는데, 여기서 K는 분리 가능한 힐버트 공간의 콤팩트 연산자다.

따라서 (반복적이지 않은) C*-algebra A의 K 그룹은₀ K ⊗ C(X)에서 투영의 Murray-von Neuman 동등성 등급에 의해 생성된 Grotherndeck 그룹으로 정의된다. K는₀ C*알게브라와 *동형체 범주에서 아벨 그룹과 집단 동형체 범주로 이어지는 펑터다. 높은 K-기능은 서스펜션의_n C*-버전을 통해 정의된다: K(A) = K(Sⁿ) = K(A)이며₀, 여기서 SA = C₀(0,1) ⊗ A.

그러나 Bott periodicity에 따르면, 각 n에 대해 K_n+2(A)와 K_n(A)가 이형성이기 때문에, 이 공사에서 생산되는 그룹은₀ K와₁ K뿐이다.

K-이론적 방법을 C*-알제브라의 연구에 도입한 주요 이유는 프레드홀름 지수였다: 유한차원 커널과 코커넬을 가진 힐버트 공간의 경계 선형 연산자를 감안할 때, 그것에 정수를 연관시킬 수 있으며, 이는 알고 보니 연산자에 대한 '결함'을 반영하고 있다. 즉, 그것이 어느 정도인가에 해당하지 않는 정도를 반영한다.현기증이 있는 프레드홀름 지수 지도는 칼킨 대수학에서 주어진 6개월의 정확한 순서에 나타난다. 다지관 분석에서 이 지수와 그 일반화는 다지관의 위상학적 지수를 그 위에 있는 타원 연산자의 지수를 통해 표현할 수 있는 아티야와 싱어의 지수 이론에 결정적인 역할을 했다. 나중에 브라운, 더글러스, 필모어는 프레드홀름 지수가 본질적으로 정상 연산자를 특정 자연 동등성까지 분류하는 데 누락된 성분이라고 관찰했다. 이러한 생각들은 엘리엇이 K-이론을 통해 AF C*-algebras를 분류한 것과 함께 대수학적 위상에서 연산자 알헤브라의 연구로 K-이론과 같은 방법을 적응시키는 데 많은 관심을 가져왔다.

이것은 차례로 K-homology, Kasparov의 바이바리안트 KK-이론, 그리고 더 최근에는 Connes와 Higson의 E-이론으로 이어졌다.

참조

• Rordam, M.; Larsen, Finn; Laustsen, N. (2000), An introduction to K-theory for C^∗-algebras, London Mathematical Society Student Texts, vol. 49, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78334-7