도약대 통합

수치해석에서는 leapfrog 통합이 형태의 미분방정식을 수치적으로 통합하는 방법이다.

${\displaystyle \stackrel{}{x}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{¨}}$= d ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}^{}}$/ d ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle A(}$ x${\displaystyle }$) ${\ddtstyle${\$dot{$x}=$d^{2}x/dt^{2}=A(x$

또는 형식과 동등하게

${\displaystyle \stackrel{}{v}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$= ${\displaystyle d}$ v${\displaystyle }$/ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle t}$= ${\displaystyle A}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, x ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$= ${\displaystyle d\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle x}$/ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle t}$= ${\displaystyle v}$ ${\dot{v}}=dv/dt=A(x),\{\dot}=$dx$}=dx/dt=v$

특히 고전 역학의 역동적인 시스템의 경우.

그 방법은 분야별로 다른 이름으로 알려져 있다.특히 Verlet 통합의 변종인 Verlet 방식과 유사하다.Leapfrog 통합은 인터리브된 시점에서 위치$$ $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ x $(t)}$ 및$$ 속도 $v{\displaystyle }$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$( ${\displaystyle t}$) ${\dot v(t)={\dot{x}}}}}}}}$을(를) 업데이트하는 것과 동등하며, 서로 "lipfrog" 방식으로 비틀어진다.

퀵프록 통합은 1순위에 불과하지만 단계당 기능 평가 횟수가 동일한 오일러 통합과 대조적으로 2순서 방식이다.오일러 통합과는 달리, 시간 단계 ${\displaystyle \Delta }$t {\$displaystyle$ \$Delta t}$이(가) 일정하고${\displaystyle }\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ t ${\displaystyle \mathrm{t}}$ 2 /${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Delta t\leq 2/\omega }$이(가) 일정하다면 진동 동작에 안정적이다$.$^[1]

요시다 계수를 사용하여, 올바른 시간 스텝으로 도약대 통합자를 여러 번 적용하면 훨씬 더 높은 순서 통합자를 생성할 수 있다.

알고리즘.

leapfrog 통합에서 위치 및 속도를 업데이트하는 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}&=A(x_{i}),\\v_{i+1/2}&=v_{i-1/2}+a_{i}\,\Delta t,\\x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\,\Delta t,\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle x_{i}}$ is position at step ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle v_{i+1/2\,}}$ is the velocity, or first derivative of ${\displaystyle x}$, at step ${\displaystyle i+1/2\,}$, ${\displaystyle a_{i}=A(x_{i})}$ is the accelerat단계 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$및 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta t}$의 두 번째 파생 모델인 이온은 각 시간 단계의$$ 크기 입니다.이러한 방정식은 정수 단계에서 속도를 제공하는 형태로도 표현할 수 있다.^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i+1}&=x_{i}+v_{i}\,\Delta t+{\tfrac {1}{2}}\,a_{i}\,\Delta t^{\,2},\\v_{i+1}&=v_{i}+{\tfrac {1}{2}}(a_{i}+a_{i+1})\,\Delta t.\end{정렬}}}$

그러나 이러한 동기화된 형태에서도 안정성을 유지하기 위해서는 시간 단계 ${\displaystyle \Delta }$ t ${\displaystyle \Delta$ t$}$이(가)^[3] 일정해야 한다$$.

동기화된 폼은 '킥-드립-킥' 폼으로 다시 정렬할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i+1/2}&=v_{i}+a_{i}{\frac {\Delta t}{2}},\\x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\Delta t,\\v_{i+1}&=v_{i+1/2}+a_{i+1}{\frac {\Delta t}{2}},\end{aligned}}}$

주로 가변적인 시간 단계가 필요한 경우에 사용된다.가속도 계산이 스텝의 시작과 끝에 분리된다는 것은 시간 분해능이 2배(${\displaystyle \mathrm{}}$ t${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle t}$ /${\displaystyle }$Δ ${\displaystyle t}$ / ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta t\rightarrow \Delta t/2})$만큼 증가하면 1회의 추가(컴퓨팅 비용이 많이 드는) 가속도 계산이 필요하다는 것을 의미한다.

이 방정식의 한 가지 용도는 중력 시뮬레이션인데, 그 경우 가속도는 고차 통합자(예: 런지-쿠타 방법)가 더 자주 사용되지만 (속도에 따라가 아니라) 중력 질량의 위치에만 의존하기 때문이다.

역학 문제에 적용할 때 비약적인 통합에는 두 가지 주요 강점이 있다.첫번째는 Leapfrog 방식의 시간역전성이다.전진 n단계를 통합한 다음 통합의 방향을 반대로 하고 거꾸로 n단계를 통합해 동일한 출발 위치에 도달할 수 있다.두 번째 강점은 그것의 동정적인 성질로서, 이것은 그것이 역동적인 시스템의 (약하게 변형된) 에너지를 보존한다는 것을 암시한다.이는 (주문 4) Runge-Kutta 방법과 같은 많은 다른 통합 체계들이 에너지를 보존하지 않고 시간이 지남에 따라 시스템이 실질적으로 표류할 수 있기 때문에 궤도 역학을 계산할 때 특히 유용하다.

그 시간역전성 때문에, 그리고 그것은 동정적 통합자이기 때문에, 전체적인 정상화를 알 수 없는 확률분포로부터 무작위 샘플을 끌어내는 방법인 해밀턴 몬테카를로에서도 approg 통합이 사용된다.^[4]

요시다 알고리즘

퀵프로그 통합자는 요시다 하루오 기법을 이용해 고차원의 통합자로 전환될 수 있다.이 접근법에서, 도약대는 많은 다른 시간대에 적용된다.정확한 시간 단계를 순서대로 사용하면 오류가 취소되고 훨씬 더 높은 주문 통합업체가 쉽게 생산될 수 있는 것으로 나타났다.^[5][6]

4차 요시다 통합자

제4차 요시다 통합자의 한 걸음은 4개의 중간 단계가 필요하다.위치와 속도는 다른 시간에 계산된다.가속도 계산은 3개(컴퓨터적으로 비싸다)만 하면 된다.

위치 및 속도를 업데이트하기 위한 4차 통합자의 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{1}&=x_{i}+c_{1}\,v_{i}\,\Delta t,\\v_{i}^{1}&=v_{i}+d_{1}\,a(x_{i}^{1})\,\Delta t,\\x_{i}^{2}&=x_{i}^{1}+c_{2}\,v_{i}^{1}\,\Delta t,\\v_{i}^{2}&=v_{i}^{1}+d_{2}\,a(x_{i}^{2})\,\Delta t,\\x_{i}^{3}&=x_{i}^{2}+c_{3}\,v_{i}^{2}\,\Delta t,\\v_{i}^{3}&=v_{i}^{2}+d_{3}\,a(x_{i}^{3})\,\Delta t,\\x_{i+1}&\equiv x_{i}^{4}=x_{i}^{3}+c_{4}\,v_{i}^{3}\,\Delta t,\\v_{i+1}&\equiv v_{i}^{4}=v_{i}^{3}\\end}}}}}}}}}$

여기서 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 시작 위치 및 속도, $x{\displaystyle {}_{}^{}}$ i ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $i는${\$displaystyle$ $x_{i}^{n$$}^{n}}}$은(는$)$ 중간 단계 $n{\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}^{}}$ $a{\displaystyle }$($x_{i}^{n}}}})$에서 $중간$ 위치 및 속도.${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ ${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\mathrm{v}}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$+ 1 ${\$은 요시다 단계 4번째의 최종 위치 및 속도다$$.

계수$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$c ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(c_{1},c_{2},c_{3},c_$${\displaystyle {}_{}}$$4}$ 및$$ $({\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle(d_{1$},$d_{2$},$d_{3})$이 에 유도된다$$(식 (4.6 참조).

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}&\equiv -{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},\\w_{1}&\equiv {\frac {1}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},\\c_{1}&=c_{4}\equiv {\frac {w_{1}}{2}},c_{2}=c_{3}\equiv {\frac {w_{0}+w_{12}}:{2}},\d_{1},\d_{1}&=d_{3}\equiv w_{1},d_{2}\equiv w_{0}\\end}}}}}}$

All intermediary steps form one ${\displaystyle \Delta t}$ step which implies that coefficients sum up to one: ${\textstyle \sum _{i=1}^{4}c_{i}=1}$ and ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}d_{i}=1}$. Please note that position and velocity are computed at different times and some중간 계단은 시간이 거꾸로 되어 있다.To illustrate this, we give the numerical values of ${\displaystyle c_{n}}$ coefficients: ${\displaystyle c_{1}=0.6756}$, ${\displaystyle c_{2}=-0.1756}$, ${\displaystyle c_{3}=-0.1756}$, ${\displaystyle c_{4}=0.6756.}$

참고 항목

• 일반 미분방정식의 수치적 방법
• 심플렉틱 통합
• 오일러 통합
• 베를레 통합
• 룬게-쿠타 통합

참조

외부 링크

• [1], Drexel University Physics