CW 콤플렉스

CW 콤플렉스는 대수적 위상에서 특히 중요한 위상 공간의 일종이다.^[1]J. H. C.에 의해 소개되었다. 호모토피 이론의 필요를 충족시키는 화이트헤드^[2].이 종류의 공간은 단순 복합체보다 더 넓고 더 나은 범주형 특성을 가지고 있지만, 여전히 연산이 가능한 결합체 성격을 유지하고 있다(종종 훨씬 더 작은 복합체를 가지고 있다).C는 "closure-finite"를, W는 "취약" 위상이다.^[2]CW 콤플렉스는 유도적으로 정의할 수 있다.^[3]

0차원 CW 콤플렉스는 0개 이상의 이산점 집합에 불과하다(이산 위상 포함).
1차원 CW 단지는 단위 간격이 하나 이상 복사된 0차원 CW 단지의 분리 유니언을 취합하여 시공한다.각 사본에 대해 경계(두 개의 끝점)를 0차원 복합체(점)의 요소에 "글링"하는 지도가 있다.CW 콤플렉스의 위상은 이러한 접착 맵에 의해 정의된 몫 공간의 위상이다.
일반적으로 n차원 CW 콤플렉스는 n차원 공의 1개 이상의 복사본으로 k차원 CW 콤플렉스(일부 $k<n$ < $k<n$ ${\displaystyle k<n$ 의 분리조합을 취함으로써 구성된다.각 사본에 대해 경계 $(n-1)$ - 1 $(n-1)$ ) ${\displaystyle(n-1$ )} -차원 $(n-1)$ 구를 $k$ $k$ -dension $k$ complex의 요소에 "글링"하는 지도가 있다.CW 복합체의 위상은 이러한 접착 지도에 의해 정의되는 지수 위상이다.
무한 차원 CW 콤플렉스는 위의 과정을 카운셀링할 수 있을 정도로 반복하여 구성할 수 있다.

n차원 CW 복합체에서, 모든 $k\leq n$ $k\leq n$ $k\leq n$ 에 대해 $k\leq n$ k-cell은 k-th 단계에서 추가된 k-차원 공의 내부다.이 단지의 k-skeleton은 모든 k-cells의 조합이다.

예

위에서 언급한 바와 같이 이산점들의 모든 집합은 CW 복합체(차원 0)이다.

1차원 CW 복합체

1차원 CW 복합체의 몇 가지 예는 다음과 같다.^[4]

간격.B의 한쪽 끝점이 x에 붙고 다른 한쪽 끝점이 y에 붙는 2점(x와 y)과 1차원 볼 B(간격)로 구성될 수 있다.두 점 x와 y는 0 셀이고, B의 내부는 1 셀이다.또는 0셀이 없는 단일 간격에서만 구성할 수 있다.
동그라미.단일점 x와 1차원 볼 B로 구성하여 B의 양쪽 끝점이 x에 붙도록 할 수 있으며, 또는 A의 끝점이 x와 y에 붙도록 2점 x와 y와 1차원 볼 A와 B의 끝점이 x와 y에 붙도록 만들 수 있다.
그래프.0셀이 정점이고 1셀이 가장자리인 1차원 CW 콤플렉스다.각 가장자리의 끝점은 그것과 인접한 정점으로 식별된다.
- 3-정규 그래프는 일반적인 1차원 CW 콤플렉스로 간주할 수 있다.Specifically, if X is a 1-dimensional CW complex, the attaching map for a 1-cell is a map from a two-point space to X, $f:\{0,1\}\to X$ . This map can be perturbed to be disjoint from the 0-skeleton of X if and only if $f(0)$ and $f(1)$ are not 0-vX의 만점
The standard CW structure on the real numbers has as 0-skeleton the integers $\mathbb {Z}$ and as 1-cells the intervals $\{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}$ . Similarly, the standard CW structure on $\mathbb {R} ^{n}$ has cubical cells that are pr $\mathbb {R}$ ${\$ 에서 0과 1 셀의 oducts $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ { $R}^{n$ 에 있는 표준 입방 격자 셀 구조다.

다차원 CW 복합체

다차원 CW 복합체의 몇 가지 예는 다음과 같다.^[4]

n차원 구체.0셀 1개와 n셀 1개, 2개의 셀을 가진 CW 구조를 인정한다.여기서 $S^{n-1}$ $D^{n}$ ${\$ $S^{n-1}$ $n}}$ 는 $S^{n-1}$ S - 1 ${\$ 에서 단일 $S^{n-1}$ 0-cell까지의 상수 매핑에 의해 부착된다 $D^{n}$ .대체 세포 분해는 1개의 (n-1)차원 구체("등분자")와 2개의 n세포("상단 헤미-sphere"와 "하단 헤미-sphere")가 붙어 있다. $0\leq k\leq n$ 으로, $0\leq k\leq n$ 은 $S^{n}$ {\ $displaystyle S^{n}}$ 0 $0\leq k\leq n$ } k dimension n ${\displaystyle 0\leq k\leq$ n $}$ 과 같이 모든 k 치수에 두 개의 셀이 있는 CW 분해를 $S^{n}$ 제공한다 $0\leq k\leq n$
n차원 실제 투영 공간.각 차원에 하나의 셀이 있는 CW 구조를 허용한다.
일반적인 2차원 CW 복합체의 용어는 그림자다.^[5]
다면체는 자연적으로 CW 복합체다.
그래스만 다지관은 슈베르트 세포라고 불리는 CW 구조를 인정한다.
차별화 가능한 다지관, 대수학 및 투영 품종은 CW 복합체의 호모토피 타입을 가진다.
쿠스페이드 쌍곡 다지관의 원 포인트 콤팩트화는 엡스타인-페너 분해라고 불리는 0셀(콤팩트화 포인트) 하나만 가진 표준 CW 분해법을 가지고 있다.그러한 세포 분해는 종종 이상적인 다면 분해라고 불리며 SnapPea와 같은 인기 있는 컴퓨터 소프트웨어에서 사용된다.

비 CW 복합체

무한 차원 힐버트 공간은 CW 콤플렉스가 아니다: 베이어 공간이기 때문에 n-골격의 계산 가능한 조합으로 쓸 수 없으며, 각각은 빈 내부가 있는 폐쇄형 세트다.이 주장은 다른 많은 무한 차원 공간에까지 확장된다.
The space $\{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subseteq \mathbb {C}$ has the homotopy-type of a CW complex (it is contractible) but it does not admit a CW decomposition, since it is not locally contractible.
하와이언 귀걸이는 CW 콤플렉스의 호모토피 타입이 없는 위상학적 공간의 예다.

공식화

대략적으로, CW 단지는 세포라고 불리는 기본적인 빌딩 블록들로 만들어진다.정확한 정의는 어떻게 세포들이 위상적으로 접착될 수 있는지를 규정한다.

n차원 폐쇄 셀은 부착 지도 아래 n차원 폐쇄 볼의 이미지다.예를 들어 심플렉스(simplex)는 닫힌 셀이고, 보다 일반적으로 볼록한 폴리토프는 닫힌 셀이다.n차원 오픈셀은 n차원 오픈볼에 동형인 위상학적 공간이다.0차원 열린(그리고 닫힌) 셀은 1톤 공간이다.폐쇄-마인이트는 각각의 닫힌 셀이 개방된 셀의 유한 결합에 의해 덮인다는 것을 의미한다(또는 미세하게 많은 다른^[6] 셀만 만난다).

CW 콤플렉스는 X의 분할과 함께 Hausdorff 스페이스 X를 오픈 셀(아마도 다양한 차원의)로 분할하여 다음 두 가지 추가 특성을 만족시킨다.

X의 칸막이에 있는 각 n차원 오픈 셀 C에 대해, 다음과 같이 n차원 폐쇄 공에서 X까지의 연속적인 맵프가 존재한다.
- 닫힌 공의 내부에 대한 f의 제한은 세포 C에 대한 동형상이며,
- 닫힌 공의 경계의 이미지는 칸막이의 유한한 수의 원소의 조합에 포함되며, 각각은 n보다 작은 셀 치수를 가진다.
X의 하위 집합은 닫힌 집합에서 각 셀의 폐쇄를 만족하는 경우에만 닫힌다.

X의 칸막이를 셀룰레이션이라고도 한다.

일반 CW 복합체

X의 칸막이에 있는 각각의 n차원 오픈 셀 C에 대해, n차원 클로즈드 볼에서 X까지의 연속 지도 f가 셀 C의 클로징에 대한 동형상이라면 CW 콤플렉스를 정규라고 부른다.이에 따라 X의 칸막이를 정규세포화라고도 한다.반복되지 않는 그래프는 일반 1차원 CW 복합체다.표면에 내장된 폐쇄형 2-셀 그래프는 일반 2차원 CW 복합체다.마지막으로, 3-sphere 정규 세포 추측 추측에 따르면, 모든 2-연결 그래프는 3차원 구(https://twiki.di.uniroma1.it/pub/Users/SergioDeAgostino/DeAgostino.pdf))에 있는 일반 CW 복합체의 1-162라고 한다.

상대 CW 복합체

대략적으로, 상대적인 CW 단지는 세포 구조를 반드시 소유하지 않는 하나의 추가 빌딩 블록을 허용한다는 점에서 CW 단지와 다르다.이 여분의 블록은 이전의 정의에서 (-1)차원 셀로 취급할 수 있다.^[7]^[8]^[9]

CW 복합체의 유도성 시공

세포 중 가장 큰 치수가 n이면 CW 복합체는 치수 n을 갖는다고 한다.세포 차원에 구속되지 않으면 무한 차원이라고 한다.CW 복합체의 n-골격은 치수가 최대 n인 세포의 결합이다.만약 세포 집합의 결합이 닫힌다면, 이 결합은 그 자체로 서브콤플렉스로 불리는 CW 콤플렉스다.따라서 n-skeleton은 차원 n 이하에서 가장 큰 하위 복합체다.

CW 콤플렉스는 종종 증가하는 치수의 셀을 '접착'하여 그것의 스케르타를 귀납적으로 정의함으로써 구성된다.위상학적 공간에 대한 n-셀의 '첨부'에 의해 X는 결합 $B\cup _{f}X$ B $B\cup _{f}X$ ∪ f $B\cup _{f}X$ $B\cup _{f}X$ 를 의미한다. 여기서 $B\cup _{f}X$ f는 닫힌 n-차원 $B\subseteq R^{n}$ B $B\subseteq R^{n}$ R n $B\subseteq R^{n}$ {\ $displaystyle B\subseteq$ R^{ $n}}}$ 의 $B\subseteq R^{n}$ 경계에서 X까지의 연속형 맵이다.To construct a CW complex, begin with a 0-dimensional CW complex, that is, a discrete space $X_{0}$ . Attach 1-cells to $X_{0}$ to obtain a 1-dimensional CW complex $X_{1}$ . Attach 2-cells to $X_{1}$ to obtain a 2-dimensionalCW complex $X_{2}$ . Continuing in this way, we obtain a nested sequence of CW complexes $X_{0}\subseteq X_{1}\subseteq \cdots X_{n}\subseteq \cdots$ of increasing dimension such that if $i\leq j$ then ${\displaystyle X_{$ $i}}$ 는 $X_{i}$ $X_{j}$ $X_{j}$ ${\$ 의 i-skeleton 입니다 $X_{j}$

최대 이형성까지 모든 n차원 CW 콤플렉스는 n-셀 부착을 통해 그것의 (n - 1)-골격으로부터 얻을 수 있으며, 따라서 모든 유한차원 CW 콤플렉스는 위의 과정에 의해 구축될 수 있다.무한 공정의 결과가 스켈레타의 직접 한계라는 이해와 함께, 한 세트가 닫힌 집합에서 각각의 골격을 만나는 경우에만 X로 닫힌다.

CW 복합체의 호몰로지 및 코호몰로지

CW 콤플렉스의 특이 동질학과 동질학은 세포 동질학을 통해 쉽게 계산할 수 있다.더욱이 CW 콤플렉스나 세포지도의 범주에서 세포 호몰로지 이론으로 해석할 수 있다.CW 복합체에 대한 비상한 (공)호몰로지 이론을 계산하기 위해, 아티야-히르제브루흐 스펙트럼 시퀀스는 세포 호몰로지(cellular homology )의 아날로그다.

몇 가지 예:

구체의 경우 $S^{n},$ , $S^{n}}$ 은(는) 하나의 0세포와 하나의 n세포라는 두 개의 세포로 세포분해를 취한다 $S^{n},$ .셀룰러 호몰로지 체인 복합체 $∗{\$ 와 호몰로지에는 $C_{*}$ 다음이 제공된다.

C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}\quad H_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}

모든 차이가 0이기 때문에.

또는 모든 차원에 두 개의 세포가 있는 적도분해를 사용한다면

C_{k}={\begin{case}\mathb {Z}^{2}&#0\leqslant k\leqslant n\\0&{\text}\otherwise}\case}}}}

미분류는 형식의 행렬

\left({\begin{smallmatrix}1&-1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right).

-

\left({\begin{smallmatrix}1&-1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right).

-

\left({\begin{smallmatrix}1&-1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right).

)이다

({\displaystyle \left

\left \

properties\{smallmatrix}1&-1\1&-1\end{smallmatrix}\right).

}}

체인

\left({\begin{smallmatrix}1&-1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right).

콤플렉스는

C_{0}

C_{0}

{\

과

C_{0}

(와)

C_{n}.

. {\

displaystyle

C_

{n}

을 제외한 모든 항에서 정확하므로 위의 호몰로지 연산은 동일하다.

}

$\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )$ $\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )$ ( $\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )$ ) ${\displaystyle \mathb {P} ^{n}(\mathb {C})$ 에 대해서도 비슷한 $\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )$ 결과를 얻을 수 있다.

H^{k}\왼쪽(\mathb {P}^{n})(\mathb {C}\오른쪽)={\begin}\casegin}\z} &0\leqslant k\leqslant 2n,{\text}\\ven}\\0&{\text}}}}}}}}}}{\case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\case}}}}}}}}}}}}

위의 두 예제는 모두 세포 수에 의해 동질학이 결정되기 때문에 특히 간단하다. 즉, 세포 부착 지도가 이러한 계산에 아무런 역할을 하지 않는다.이것은 매우 특별한 현상이며 일반적인 경우를 나타내지 않는다.

CW 구조 수정

화이트헤드가 개발한 CW 복합체를 보다 간단한 CW 분해의 호모토피 등가 CW 복합체로 대체하는 기술이 있다.

예를 들어, 임의의 CW 콤플렉스를 생각해 보자.그것의 1-골격은 상당히 복잡할 수 있으며, 임의의 그래프일 수 있다.이제 이 그래프에서 최대 포리스트 F를 생각해 보십시오.나무의 집합이며 나무는 수축이 가능하므로, 최대 숲 F의 공통 나무에 포함된 경우 $x\sim y$ $x\sim y$ ~ $x\sim y$ ${\displaystyle x\sim$ y $}$ 에 의해 동등성 관계가 생성되는 공간 $X/{\sim }$ $X/{\sim }$ / $X/{\sim }$ ~ ${\$ X $/{\sim }$ 을 고려하십시오.지수 지도 $X\to X/{\sim }$ → $X\to X/{\sim }$ / $X\to X/{\sim }$ ~ ${\$ X $/{\sim }}}}$ 은 $X\to X/{\sim }$ 호모토피 동등성이다.더욱이 $X/{\sim }$ / $X/{\sim }$ ~ ${\$ X $/{\sim }}}$ 은 $X/{\sim}$ (는) 자연스럽게 CW 구조를 계승하는데, F에 포함되지 않은 $X$ $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 의 세포에 해당하는 셀이 있다.특히 $X/{\sim }$ / $X/{\sim }$ ~ ${\$ 의 1-제골격은 원의 웨지(wedge)가 분리된 결합체다 $X/{\sim }$ .

위에 언급하는 또 다른 방법은 연결된 CW 콤플렉스를 0-골격은 단일 점으로 구성된 호모토피 등가 CW 콤플렉스로 대체할 수 있다는 것이다.

연결 사다리를 올라가는 것을 고려해 보십시오. X는 0-골격은 점으로 구성되는 단순 연결 CW 복합체라고 가정하십시오.적절한 수정을 통해 $X^{1}$ $X^{1}$ ${\$ 가 단일 점으로 구성된 $X^{1}$ 호모토피 등가 CW 복합체로 X를 대체할 수 있을까?답은 '그렇다'입니다.첫 번째 단계는 $X^{1}$ $X^{1}$ ${\$ $X$ $^{1}$ 과 $X^{1}$ X $X^{1}$ ${\$ X $^{1}$ 의 $X^{2}$ X $X^{2}$ ${\$ }}을 구성하기 위한 지도 부착이 그룹 프리젠테이션을 형성하는 $X^{1}$ 것을 관찰하는 것이다.그룹 프리젠테이션을 위한 티에체 정리는 이 그룹 프리젠테이션을 사소한 그룹 프리젠테이션으로 줄이기 위해 우리가 수행할 수 있는 일련의 움직임이 있다고 말한다.Tietze의 움직임은 두 가지다.

1) 발전기 추가/제거발전기를 추가하는 것은 CW 분해의 관점에서 첨부 지도가 새로운 1 셀로 구성되고 나머지 부착 지도가 X

X^{1}

{\

X

^{1}

에 있는 1 셀과 2 셀을 추가하는 것으로 구성된다

X^{1}

{\tilde {X}}

~

{\

를 해당하는 CW complex

{\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}

~

{\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}

=

{\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}

{\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}

{\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}

∪}가 되도록

{\tilde {X}}

하면

{\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}

{\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}

{\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}

{\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}

{\

e

^{1}\cup

e

^{2}}:

호모토피 동등성

{\tilde {X}}\to X

~

{\tilde {X}}\to X

→

{\tilde {X}}\to X

{\tile{X}}}}

이

{\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}

(가

)

새로 나온 2셀을 X에 밀어넣어

{\tilde {X}}\to X

주어진다.

2) 관계 추가/제거The act of adding a relation is similar, only one is replacing X by

{\tilde {X}}=X\cup e^{2}\cup e^{3}

where the new 3-cell has an attaching map that consists of the new 2-cell and remainder mapping into

X^{2}

. A similar slide gives a homotopy-equivalence

{\tilde {X}}\to X

{\tilde {X}}\to X

~

{\tilde {X}}\to X

→

{\tilde {X}}\to X

{\displaystyle {\tilde {X}\to

X

{\tilde {X}}\to X

CW 콤플렉스 X가 n-연결된 경우, n-skeleton $X^{n}$ {\ $displaystyle$ X $^{n}$ 가 ${\tilde {X}}$ 단일 점으로 구성된 $X^{n}$ 호모토피 등가 CW 콤플렉스 X $~{\$ $X$ $}}}$ 를 찾을 수 있다. $H_{n}(X;\mathbb {Z} )$ $n\geq 2$ $n\geq 2$ ${\displaystyle n\geq 2$ $}$ 에 대한 인수는 $n=1$ = 1 ${\displaystyle n=1$ } 사례와 $n=1$ 유사하며 $n\geq 2$ , $H_{n}(X;\mathbb {Z} )$ n ( $H_{n}(X;\mathbb {Z} )$ ; Z $H_{n}(X;\mathbb {Z} )$ ) ${\displaystystyle H_{n}(X$ ;\ $mathb$ {Z $})$ 에 대한 기본 그룹 표시에 대한 티에체 이동을 하나만 대체한다. $H_{n}(X;\mathbb {Z} )$ 세포 호몰로지(cell homology)에서 비롯된다. 즉, 셀의 추가/배열 또는 첨부 지도에 적합한 호모토피(homotopies)를 통해 기본 매트릭스 운영을 유사하게 실현할 수 있다.

'더' 호모토피 카테고리

CW 단지의 호모토피 카테고리는 일부 전문가의 견해에 따르면 호모토피 카테고리(기술적인 이유로 인해 특정 공간에 대한 버전이 실제로 사용된다)의 유일한 후보가 아니라면 최고라고 한다.^[10]CW 콤플렉스가 아닌 공간을 산출하는 보조 시공은 반드시 수시로 사용해야 한다.한 가지 기본적인 결과는 호모토피 범주에 있는 표현 가능한 펑커스는 단순한 특성화(갈색 표현성 정리)를 가지고 있다는 것이다.

특성.

CW 단지는 현지에서 계약할 수 있다.
CW 콤플렉스는 화이트헤드 정리를 만족시킨다: CW 콤플렉스 사이의 지도는 모든 호모토피 그룹에 이형성을 유도하는 경우에만 호모토피 동등성이다.
두 개의 CW 단지의 제품은 CW 단지로 만들 수 있다.구체적으로 X와 Y가 CW 콤플렉스인 경우, 각 셀이 X의 셀과 Y의 셀의 산물인 CW 콤플렉스 X × Y를 형성할 수 있으며, 위상이 약하다.X × Y의 기본 세트는 예상대로 X와 Y의 데카르트 제품이다.또한 이 집합의 약한 위상은 예를 들어 X 또는 Y가 유한한 경우 X × Y에서 보다 친숙한 제품 위상과 일치한다.그러나 약한 위상은 예를 들어 X와 Y가 국소적으로 압축되지 않은 경우 제품 위상보다 미세할 수 있다.이 불리한 경우, 제품 위상에서의 제품 X × Y는 CW 콤플렉스가 아니다.한편, 콤팩트하게 생성된 공간의 범주에서 X와 Y의 산출물은 약한 위상과 일치하므로 CW 콤플렉스를 정의한다.
X와 Y를 CW 콤플렉스가 되게 하라.그러면 함수 공간 Hom(X,Y) (콤팩트 오픈 토폴로지를 사용한)은 일반적으로 CW 콤플렉스가 아니다.X가 유한하면 Hom(X,Y)은 John Milnor(1959년)의 정리에 의해 CW 콤플렉스에 상당하는 호모토피다.^[11]X와 Y는 압축적으로 생성된 Hausdorff 공간이기 때문에 Hom(X,Y)은 콤팩트하게 생성된 변종인 콤팩트 오픈 토폴로지와 함께 사용되는 경우가 많다. 위의 문장은 참이다.^[12]
CW 단지의 커버 공간도 CW 단지다.
CW 단지는 파라콤팩트다.유한 CW 단지는 소형이다.CW 단지의 콤팩트한 서브공간은 항상 유한 서브콤플렉스에 포함되어 있다.^[13]^[14]

참고 항목

추상세포복합체
CW 콤플렉스의 개념은 손잡이 분해라고 하는 매끄러운 다지관에 적응하는 것이 있는데, 이는 수술 이론과 밀접한 관련이 있다.

참조

메모들

^ Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. 본 교재는 1장에 CW 콤플렉스를 정의하고 이를 전체적으로 사용하며, CW 콤플렉스의 토폴로지에 관한 부록이 포함되어 있다.저자의 홈페이지에서 무료 전자 버전을 이용할 수 있다.
^ ^a ^b Whitehead, J. H. C. (1949a). "Combinatorial homotopy. I." Bulletin of the American Mathematical Society. 55 (5): 213–245. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09175-9. MR 0030759. (열린 액세스)
^ Ghostarchive 및 Wayback Machine에 보관:
^ ^a ^b Ghostarchive 및 Wayback Machine에 보관:
^ Turaev, V. G. (1994). Quantum invariants of knots and 3-manifolds". De Gruyter Studies in Mathematics. Vol. 18. Berlin: Walter de Gruyter & Co. ISBN 9783110435221.
^ 해처, 앨런, 대수학 위상, 페이지 520, 캠브리지 대학 출판부(2002)ISBN 0-521-79540-0
^ Davis, James F.; Kirk, Paul (2001). Lecture Notes in Algebraic Topology. Providence, R.I.: American Mathematical Society.
^ "CW complex in nLab".
^ "CW-complex - Encyclopedia of Mathematics".
^ 예를 들어, "CW 복합체의 등급(또는 CW 복합체와 동일한 호모토피 유형의 공간 등급)은 호모토피 이론과 관련하여 위상학적 공간의 가장 적합한 등급"이라는 의견이 에 나타난다.
^ Milnor, John (1959). "On spaces having the homotopy type of a CW-complex". Trans. Amer. Math. Soc. 90 (2): 272–280. doi:10.1090/s0002-9947-1959-0100267-4. JSTOR 1993204.
^ "Compactly Generated Spaces" (PDF).
^ 해처, 앨런, 케임브리지 대학 출판부(2002)의 대수학 토폴로지.ISBN 0-521-79540-0저자의 홈페이지에서 무료 전자 버전을 이용할 수 있다.
^ Hatcher, Allen, Vector 번들 및 K-이론, 예비 버전 작성자 홈페이지에서 이용 가능

일반참조

Lundell, A. T.; Weingram, S. (1970). The topology of CW complexes. Van Nostrand University Series in Higher Mathematics. ISBN 0-442-04910-2.
Brown, R.; Higgins, P.J.; Sivera, R. (2011). Nonabelian Algebraic Topology:filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids. European Mathematical Society Tracts in Mathematics Vol 15. ISBN 978-3-03719-083-8. [1] 첫 번째 작성자 홈 페이지에 대한 자세한 내용]

[1] Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. 본 교재는 1장에 CW 콤플렉스를 정의하고 이를 전체적으로 사용하며, CW 콤플렉스의 토폴로지에 관한 부록이 포함되어 있다.저자의 홈페이지에서 무료 전자 버전을 이용할 수 있다.

[:2-2] Whitehead, J. H. C. (1949a). "Combinatorial homotopy. I." Bulletin of the American Mathematical Society. 55 (5): 213–245. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09175-9. MR 0030759. (열린 액세스)

[3] Ghostarchive 및 Wayback Machine에 보관:

[:1-4] Ghostarchive 및 Wayback Machine에 보관:

[5] Turaev, V. G. (1994). Quantum invariants of knots and 3-manifolds". De Gruyter Studies in Mathematics. Vol. 18. Berlin: Walter de Gruyter & Co. ISBN 9783110435221.

[:0-6] 해처, 앨런, 대수학 위상, 페이지 520, 캠브리지 대학 출판부(2002)ISBN 0-521-79540-0

[7] Davis, James F.; Kirk, Paul (2001). Lecture Notes in Algebraic Topology. Providence, R.I.: American Mathematical Society.

[8] "CW complex in nLab".

[9] "CW-complex - Encyclopedia of Mathematics".

[10] 예를 들어, "CW 복합체의 등급(또는 CW 복합체와 동일한 호모토피 유형의 공간 등급)은 호모토피 이론과 관련하여 위상학적 공간의 가장 적합한 등급"이라는 의견이 에 나타난다.

[milnor-11] Milnor, John (1959). "On spaces having the homotopy type of a CW-complex". Trans. Amer. Math. Soc. 90 (2): 272–280. doi:10.1090/s0002-9947-1959-0100267-4. JSTOR 1993204.

[12] "Compactly Generated Spaces" (PDF).

[13] 해처, 앨런, 케임브리지 대학 출판부(2002)의 대수학 토폴로지.ISBN 0-521-79540-0저자의 홈페이지에서 무료 전자 버전을 이용할 수 있다.

[14] Hatcher, Allen, Vector 번들 및 K-이론, 예비 버전 작성자 홈페이지에서 이용 가능

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v t 위상
필드	일반(포인트 세트) 대수학 콤비네토리얼 연속체 미분 기하학 저차원의 호몰로지 코호몰로지 세트-테오틱
주요개념	오픈 세트 / 클로즈드 세트 연속성 공간 작은 연결된 하우스도르프 미터법 획일적인 호모토피 호모토피 그룹 기본 집단 심플리컬 콤플렉스 CW 콤플렉스 다지관 세컨드 카운트 가능 공간
카테고리 수학포털 위키북 위키 다양성 주제 일반적 대수학의 기하학적 출판물

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