대수 구조 개요
Outline of algebraic structures| 대수 구조 |
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수학에서, 연구되는 많은 종류의 대수 구조들이 있다.추상대수는 주로 특정 대수구조와 그 특성에 대한 연구이다.대수 구조는 다른 방법으로 볼 수 있지만, 대수 텍스트의 공통적인 출발점은 대수 객체가 공리의 집합을 만족시키는 하나 이상의 이진 연산 또는 단항 연산을 포함하는 것이다.
보편 대수학으로 알려진 수학의 또 다른 분야는 일반적으로 대수 구조를 연구한다.보편 대수학의 관점에서, 대부분의 구조는 사용된 공리에 따라 다양성과 준분할 수 있다.변종도 준변종도 아닌 일부 자명한 형식체계는 전통에 따라 대수적 구조에 포함된다.
각 구조물의 구체적인 예는 나열된 기사에서 찾을 수 있습니다.
오늘날 대수적 구조가 너무 많아서 이 기사는 불완전할 수밖에 없다.이 외에도, 때로는 같은 구조에 여러 개의 이름이 있고, 때로는 다른 저자들에 의해 서로 다른 공리에 의해 하나의 이름이 정의될 수 있다.이 페이지에 나와 있는 대부분의 구조는 대부분의 저자가 동의하는 일반적인 구조입니다.알파벳 순으로 정리된 대수 구조의 다른 웹 목록에는 집센과 PlanetMath가 있습니다.이들 목록은 아래에 포함되지 않은 많은 구조물을 언급하고 있으며, 여기에 제시된 것보다 일부 구조물에 대한 더 많은 정보를 제공할 수 있다.
대수 구조 연구
대수 구조는 수학의 대부분의 분야에서 나타나며, 사람들은 다양한 방법으로 그것들을 만날 수 있다.
- 시작 스터디:미국 대학에서, 그룹, 벡터 공간 그리고 장은 일반적으로 선형 대수학과 같은 과목에서 가장 먼저 마주치는 구조이다.이들은 보통 특정 공리를 가진 집합으로 소개됩니다.
- 고급 연구:
대수 구조의 종류
완전 일반론에서, 대수 구조는 그 정의에서 임의의 수의 집합과 공리를 사용할 수 있다.그러나 가장 일반적으로 연구되는 구조에는 대개 한 두 집합과 한 두 개의 이진 연산만 포함됩니다.다음 구조는 관련된 집합의 수와 사용되는 이진 연산의 수에 따라 구성됩니다.움푹 패인 부분이 늘어나는 것은 보다 이국적인 구조를 의미하며, 움푹 패인 부분이 가장 기본적입니다.
1개의 세트에 1개의 바이너리 연산
| 그룹형 구조 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 토탈리티α | 연관성 | 신원 | 나누기 | 정류성 | |
| 반군체 | 불필요. | 필수의 | 불필요. | 불필요. | 불필요. |
| 소분류 | 불필요. | 필수의 | 필수의 | 불필요. | 불필요. |
| 그룹상 | 불필요. | 필수의 | 필수의 | 필수의 | 불필요. |
| 마그마 | 필수의 | 불필요. | 불필요. | 불필요. | 불필요. |
| 준군 | 필수의 | 불필요. | 불필요. | 필수의 | 불필요. |
| 유니탈 마그마 | 필수의 | 불필요. | 필수의 | 불필요. | 불필요. |
| 세미그룹 | 필수의 | 필수의 | 불필요. | 불필요. | 불필요. |
| 고리 | 필수의 | 불필요. | 필수의 | 필수의 | 불필요. |
| 모노이드 | 필수의 | 필수의 | 필수의 | 불필요. | 불필요. |
| 그룹. | 필수의 | 필수의 | 필수의 | 필수의 | 불필요. |
| 가환성 모노이드 | 필수의 | 필수의 | 필수의 | 불필요. | 필수의 |
| 아벨 군 | 필수의 | 필수의 | 필수의 | 필수의 | 필수의 |
| ^α 많은 선원에 의해 사용되며 다르게 정의되는 폐쇄 공리는 동등하다. | |||||
다음 구조는 이진 연산을 사용하는 집합으로 구성됩니다.가장 일반적인 구조는 그룹의 구조입니다.다른 구조는 그룹의 공리를 약화시키거나 강화하는 것을 포함하며, 추가로 단항 연산을 사용할 수 있다.
한 세트에 2개의 이진 연산
두 개의 이진 연산을 가진 하나의 집합이 있는 구조의 주요 유형은 링과 격자입니다.다른 많은 구조를 정의하는 공리는 링과 격자에 대한 공리의 수정입니다.링과 격자의 주요 차이점은 두 연산이 서로 다른 방식으로 관련되어 있다는 것입니다.링 모양 구조에서는 두 연산이 분배 법칙에 의해 연결되고 격자 모양 구조에서는 연산이 흡수 법칙에 의해 연결된다.
- 호출음: 보통 두 가지 연산을 덧셈과 곱셈이라고 합니다.교환 링은 곱셈 연산이 교환 연산을 하는 경우에 특히 중요한 링 유형입니다.적분 도메인과 필드는 특히 교환환의 중요한 유형입니다.
- 격자:통상, 2개의 조작을 meet and join이라고 부릅니다.
2개의 바이너리 연산과 2개의 세트
다음 구조는 A×A에서 A로, 또 다른 A×B에서 A로 두 가지 연산이 있다는 공통점을 가지고 있다.
- 벡터 공간:집합 A는 아벨 군이고 집합 B는 필드입니다.
- 모듈:집합 A는 아벨 군이지만, B는 일반 링일 뿐 필드일 필요는 없습니다.
- 연산자가 있는 그룹:이 경우 세트A는 그룹이고 세트B는 세트일 뿐입니다.
3개의 바이너리 연산과 2개의 세트
여기 있는 많은 구조물들은 실제로 앞서 언급한 구조물들의 하이브리드 구조물입니다.
- 필드에 대한 대수:이것은 필드 위의 벡터 공간이기도 한 링입니다.두 구조의 상호작용을 지배하는 공리들이 있다.곱셈은 보통 연관성이 있다고 가정합니다.
- 비연관 대수:이것들은 고리 곱셈의 연관성이 완화되는 대수이다.
- 콜게브라:이 구조는 그것의 곱셈을 연관대수의 곱셈과 이중으로 만드는 공리를 가지고 있다.
- 바이알게브라:이러한 구조는 연산 호환성이 있는 대수와 콜게브라이다.이 구조에는 실제로 4개의 연산이 있습니다.
비대수 구조를 가진 대수 구조
대수적 구조가 비 대수적 구조와 함께 존재하는 수학 구조에는 많은 예가 있다.
- 토폴로지 벡터 공간은 호환되는 토폴로지를 가진 벡터 공간입니다.
- 거짓말 그룹:이들은 호환되는 그룹 구조를 가진 위상 다양체입니다.
- 정렬된 그룹, 정렬된 링 및 정렬된 필드는 집합의 순서와 호환되는 대수 구조를 가집니다.
- 폰 노이만 대수: 이것들은 약한 연산자 위상을 갖춘 힐베르트 공간상의 *-대수이다.
다양한 분야의 대수 구조
어떤 대수적 구조들은 추상 대수학 외의 학문에서 활용된다.다음은 다른 분야의 특정 응용 프로그램을 시연하기 위한 것입니다.
물리:
- 거짓말 그룹은 물리학에서 광범위하게 사용된다.잘 알려진 몇 가지 그룹에는 직교 그룹과 유니터리 그룹이 있습니다.
- 리 대수
- 내부 제품 공간
- 카크-무디 대수
- 4분의 1과 보다 일반적으로 기하학적 대수학
수리 논리:
컴퓨터 사이언스:
「 」를 참조해 주세요.
레퍼런스
- 개럿 버크호프, 1967년라티스가론, 제3판, AMS 콜로키움 출판물 제25권미국 수학 협회
- - 및 Saunders MacLane, 1999(1967).대수학, 중등교육뉴욕: 첼시.
- 조지 불로스와 리처드 제프리, 1980년계산성과 논리성, 제2판케임브리지 대학교누르다.
- Dummit, David S. 및 Foote, Richard M., 2004.추상 대수학, 3차존 와일리와 아들들.
- 그레처, 조지, 1978년유니버설 대수학, 2학년스프링거.
- 데이비드 K. 루이스, 1991년클래스의 일부입니다.블랙웰이요
- Michel, Anthony N.과 Herget, Charles J., 1993(1981)응용 대수 및 함수 분석.도버.
- 포터, 마이클, 2004년이론과 그 철학을 설정하라, 제2판.옥스퍼드 대학교누르다.
- 1991년 크레이그, 스모린스키논리 번호 이론 I.스프링거-벨라그.
온라인상에서 무료로 이용할 수 있는 모노그래프:
- 버리스, 스탠리 N. 및 H.P. Sankapanavar, H.P., 1981.유니버설 대수학 강좌스프링거-벨라그. ISBN3-540-90578-2.
외부 링크
- 집센:
- 대수 구조의 알파벳 목록. 여기에 언급되지 않은 많은 것을 포함합니다.
- 온라인 책과 강의 노트.
- 약 50개의 구조물이 포함된 지도. 그 중 일부는 위에 표시되지 않습니다.마찬가지로 위의 대부분의 구조물은 이 지도에 없습니다.
- PlanetMath 토픽인덱스
- 헤이즈윙클, 미치엘(2001) 수학 백과사전.스프링거-벨라그.
- 추상대수에 관한 수학 페이지.
- 스탠포드 철학 백과사전: Vaughan Pratt의 대수학.
