더블그룹로이드

수학에서, 특히 고차원 대수학 및 호모토피 이론에서, 이중 집단체는 더 높은 차원으로 그룹형과 범주의 개념을 일반화한다.

정의

이중 그룹형 D는 '수평형'과 '수직형' 그룹형 구조를 모두 포함하는 고차원 그룹형이다.^[1] (이중 그룹형도 특정 고차원 집단의 일반화로 간주할 수 있다.)^[2]정사각형의 기하학적 구조와 그 구성은 다음 다이어그램에서 이중 그룹화(double groupoid)를 공통으로 표현한다.

여기서 M은 '점수'의 집합이고, H와 V는 각각 '수평'과 '수직' 조로이드, S는 두 개의 구성이 있는 '제곱' 집합이다.이중 그룹형 D의 구성법칙은 그룹형 D의 범주에 속하는 그룹형이라고도 기술할 수 있다.

세트 M에 2개의 groupoid H와 V가 주어지면 수평과 수직의 엣지 groupoid로 H,V가 있는$$ double groupoids${\displaystyle }$(${\displaystyle H}$, V$$) {\$displaystyle \Box (H,V)}$가 있고, 4배수의 제곱이 주어진다.

${\displaystyle {\pmatrix}&h&\\[-0.9ex]v&v'\\[-0.9ex]&h'&#end{pmatrix}}}$

여기서 h, h′는 H와 v, v′는 V, 그리고 이러한 가장자리의 초기 지점과 최종 지점은 표기법에 의해 제안된 대로 M에서 일치한다고 가정한다. 예를 들어 sh = sv, th = sv', ... 등.구성물은 H,V의 구성물로부터 물려받아야 한다. 즉, 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]v&&v'\\[-0.9ex]&h'&\end{pmatrix}}\circ _{1}{\begin{pmatrix}&h'&\\[-0.9ex]w&&w'\\[-0.9ex]&h''&\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]vw&&v'w'\\[-0.9ex]&h''&\end{pmatrix}}}$

그리고

${\displaystyle {\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]v&&v'\\[-0.9ex]&h'&\end{pmatrix}}\circ _{2}{\begin{pmatrix}&k&\\[-0.9ex]v'&&v''\\[-0.9ex]&k'&\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}&hk&\\[-0.9ex]v&&v''\\[-0.9ex]&h'k'&\end{pmatrix}}}$

이 구조는 위와 같이 이중 그룹사이드(double groupoid)를 갖는 망각성 펑터(functor)에 오른쪽 대칭으로, M 위에 있는 조로이드 H,V를 합성한 것이다.

다른 관련 구조는 연결부가^[3] 있는 이중 그룹오이드와 호모토피 이중 그룹오이드의 구조물이다.^[4]한 쌍의 뾰족한 공간의 호모토피 이중조형은 1978년 브라운과 히긴스에 의해 처음 증명되어 ^[5]이 책에서 폭넓은 대우를 받은 2차원 세이퍼트-반 캄펜 정리증명의 핵심 요소다.^[6]

예

쉬운 종류의 예들은 교차된 모듈을 고려함으로써 또는 동등하게 그룹의 형태론의 데이터를 고려함으로써 만들어질 수 있다.

${\displaystyle [G_{1}\x오른쪽 화살표 {\phi }G_{0}]}$

그룹 카테고리의 내부 그룹과 동등한 설명을 가진

$[\displaystyle s,t:G_{0}\time G_{1}\to{0}}$

어디에

${\displaystyle {\displaysty}s(g_{0},g_{1}=g_{0}&t(g_{0},g_{1}})=\phi(g_{0}g_{0}\end}}}}}}}}}}$

이 그룹형 구조 형태야그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) $범주{\displaystyle }$ B G ${\displaystyle {\textbf {B}G}$에 전송하는 groupoids 범주에 포함된 그룹이 단일 개체와 모형으로 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ G$}$을(를) 제공하므로 위의 구조는 이중 groupoid를 부여한다$.$명확한 예를 들어보자: 그룹 내선 번호에서.

${\displaystyle 1\to \mathb {Z} _{4}\to Q_{8}\to \mathb {Z} _{2}\to 1}$

$그리고{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ Z ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 4 ${\$을(를) 내장하고$,$ 두 용어의 그룹 콤플렉스에서 연결된 이중 그룹이 있다.

${\displaystyle Q_{8}\to \mathb {Z} _{4}}}$

kernel은 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 4$${\$displaystyle \mathb$ {$Z} _{4}$이고 ${\displaystyle {}_{}}$은 Z$$2 {\$displaystyle \mathb {$Z$} _$2}}. 이렇게 하면 연관된$$^[7] 호모토피 유형 $X{\displaystyle }$ ${\displaysty$ X$}와$

${\displaystyle {}_{}\pi }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle }$$_{2$}} 및$$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}(}$ X ) = Z ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$

Its postnikov invariant can be determined by the class of ${\displaystyle Q_{8}\to \mathbb {Z} _{4}}$ in the group cohomology group ${\displaystyle H^{3}(\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{4})\cong \mathbb {Z} /2}$. Because this is not a trivial crossed-module, it's postnikov불변성은 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ [\$displaystyle 1}$이며$$단순한 아벨 그룹의 기하학적 실현과 같지 않은 호모토피 타입을 제공한다$.$

호모토피 이중조형

1978년 브라운과 히긴스가 베이스 세트에 기초적인 그룹노이드의 치수 2에 대한 일반화를 다음과 같이 하였다.Let ${\displaystyle (X,A,C)}$ be a triple of spaces, i.e. ${\displaystyle C\subseteq A\subseteq X}$. Define ${\displaystyle \rho (X,A,C)}$ to be the set of homotopy classes rel vertices of maps of a square into X which take the edges into A and the vertices into C.이러한 두 방향의 정사각형의 자연적 구성이 이러한 호모토피 계급에 의해 계승되어 이중의 그룹화(double groupoid)를 주고 있다는 것을 증명하는 것은 전적으로 사소한 일이 아니며, 이중 그룹화(double groupoid)에 있는 공통 큐브 사상을 논하는 데 필요한 소위 연결의 추가적인 구조를 가지고 있기도 하다.이 이중 그룹형(double groupoid)은 교차 모듈의 일부로 두 번째 상대적 호모토피 그룹에 대한 새로운 정보와 연산을 제공하는 2차원 세이퍼트-반 캄펜 정리를 증명하는 데 필수적인 방법으로 사용된다.자세한 정보는 아래 나열된 브라운, 히긴스, 시베리아에 의한 책의 제1부를 참조하십시오.

콘볼루션 대수

이중 그룹오이드의 콘볼루션 C*-알지브라도 이중 그룹오이드의 사각 다이어그램 D를 사용하여 구성할 수 있다.^[8]

이중 그룹화 범주

이중 그룹오이드(double groupoids)의 개체와 형태변환이 이중 그룹오이드도(D) 펑터인 이중 그룹오이드 동형체(double groupoids)인 범주를 이중 그룹오이드 범주 또는 이중 그룹오이드 범주라고 한다.

참고 항목

• 2그룹
• 교차 모듈
• N-그룹(범주론)
• ∞-groupoid

메모들

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 고차원 대수학 자료가 통합되어 있다.

참조

• 브라운, 로날드, C.B.스펜서: "Double groupoids and crossed modules," Cahiers top. 검. 디프..17 (1976), 343–362.
• 브라운, R, 하디, K, 캄프, H., T.포터: 2002, "하우스도르프 공간의 호모토피 이중 그룹", 카테고리 이론 및 적용: 10,71–93
• 브라운, 로날드, 1987년 "그룹에서 집단으로: 간단한 조사" 런던 수학. Soc. 19:113–34.브란트의 이차적 형태 작업을 시작으로 1987년까지의 그룹오이드의 역사를 검토한다.다운로드 가능한 버전은 많은 참고 자료를 업데이트한다.
• 브라운, 로날드, 2006년위상 및 그룹형.북서지.1968년과 1988년에 이전에 출판된 책의 개정판과 연장판.조로이드는 위상학적 적용의 맥락에서 도입된다.
• 브라운, 로날드, 고차원 집단 이론.그룹노이드 개념이 어떻게 고차원적인 호모토피 그룹화(homotophy groupoids)로 이어지게 되었는지 설명하며, 호모토피 이론과 그룹 코호몰로지(cohomology)에 응용한다.
• F. Borceux, G. Janelidze, 2001, Galois 이론.케임브리지 유니브언론. 갈루아 이론의 일반화가 어떻게 갈루아 집단으로 이어지는지를 보여준다.
• 카나스 다 실바, A, 그리고 A. 웨인슈타인, 알제브라를 위한 기하학적 모델.특히 6부.
• Golubitsky, M, Ian Stewart, 2006, "네트워크의 비선형 역학: 그룹형 형식주의" Bull. 아머. 수학. Soc. 43: 305–64
• 히긴스, P.J. "그룹 그래프의 기본 그룹화", J.런던 수학.Soc. (2) 13 (1976년) 145–149.
• 히긴스, P.J., 테일러, J. "기본적인 그룹형과 호모토피가 궤도 공간의 콤플렉스를 교차했다." 범주 이론(Gumbersbach, 1981), 렉처 노트 인 수학 962권.스프링거, 베를린 (1982년), 115–122.
• 히긴스, P. J. 1971년범주 및 그룹화.수학의 반 노스트랜드 노트.카테고리 이론 및 적용에 대한 재인쇄본, No. 7(2005) 페이지 1-195에 재출판됨. 무료로 다운로드 가능.그룹노이드를 특별히 강조하는 범주 이론에 대한 실질적인 도입.그룹 이론, 예를 들어 그루시코의 정리의 일반화, 위상(예: 기본 그룹화)에 그룹오이드의 응용을 제시한다.
• http://planetphysics.org/encyclopedia/DoubleGroupoidWithConnection.html^{[permanent dead link]} "Double Groupoid with Connection".
• 와인스타인, 앨런, "Groupoids: 내외부 대칭 통일 – 몇 가지 예를 들더라도 투어"또한 포스트스크립트, AMS 통지서, 1996년 7월, 페이지 744–752에서도 이용할 수 있다.