수렴군

수학에서 융합 그룹 또는 이산 융합 그룹은 이상적인 경계 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$}에서 Möbius 변환에 의한 클라인 그룹 작용의 속성을 일반화하는 방식으로$$, 콤팩트 메트리즈 가능 공간 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 대해 동형화 작용을 하는$$ $그룹{\displaystyle \mathrm{}}$acting{\$displaystyle \m.$$atsb{S} ^{2$}} 쌍곡선 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $H{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 3 ${\$ .융합 그룹의 개념은 게링과 마틴(1987)에 의해 도입되었으며, 이후 기하학적 위상, 퀘이콘 형식 분석, 기하학적 그룹 이론에서 광범위한 응용을 찾아냈다.

형식 정의

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$을(를) 콤팩트 메트리징 가능한 $공간{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$에서 동형체들에 의해 작용하는 그룹이 되게$$ 하라$.$ 이 동작을 컨버전스 동작 또는 이산 컨버전스 동작이라고 한다(다음 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은 모든 infin에 대해 이산 컨버전스 그룹 또는 이산 컨버전스 그룹이라고 한다$$).ite distinct sequence of elements ${\displaystyle \gamma _{n}\in \Gamma }$ there exist a subsequence ${\displaystyle \gamma _{n_{k}},k=1,2,\dots }$ and points ${\displaystyle a,b\in M}$ such that the maps ${\displaystyle \gamma _{n_{k}}{\big$$}_{M\setminus \{a\}}}$ converge uniformly on compact subsets to the constant map sending ${\displaystyle M\setminus \{a\}}$ to ${\displaystyle b}$. Here converging uniformly on compact subsets means that for every open neighborhood ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle M}$and every compact ${\displaystyle K\subset M\setminus \{a\}}$ there exists an index ${\displaystyle k_{0}\geq 1}$ such that for every ${\displaystyle k\geq k_{0},}$ ${\displaystyle \gamma _{n_{k}}(K)\subseteq U}$. Note that the "poles" ${\displays$${\displaystyle {\gamma n{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$ ${\$과(와) 관련된$$ $a,b\in M}$은(는) 구별할 필요가 없다$$.

세쌍둥이에 대한 작용의 측면에서 재조정

The above definition of convergence group admits a useful equivalent reformulation in terms of the action of ${\displaystyle \Gamma }$ on the "space of distinct triples" of ${\displaystyle M}$. For a set ${\displaystyle M}$ denote ${\displaystyle \Theta (M):=M^{3}\setminus \Delta (M)}$, whe$\Delta {\displaystyle \mathrm{}(M}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle }$( ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ c${\displaystyle }$)${\displaystyle }$∈ M ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}\mathrm{\#}}$ #${\displaystyle }${ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \}}$ {\$displaystyle$ $} {\delta (M)=\{(a,b,c)\in M^{3}\mid \{a,b,c\}\leq$ 2$\backslash \}\}\}\}.$$\theta {\displaystyle \mathrm{}(M}$) ${\displaystyle \Theta(M)}$ $집합$은 M$${\$displaystyle M}$에 대한 "특이한 세 쌍의 공간"이라고 불린다$$$.$

그러면 다음과 같은 등가성이 유지되는 것으로 알려져 있다.^[2]

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$을(를) 최소 2개의 포인트가 있는$$ 콤팩트 메트리징 $공간{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$에서 동종 형상에 의해 작용하는 그룹이 되도록$$ 한다.그러면 이 $동작$은 ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle M}$) {\$displaystyle$ \$Gamma }$의 action (M ) {\$displaystyle \Theta (M)}$의 유도 동작이 적절하게 불연속인 경우에만 이산 수렴 작용이다.

예

• 뫼비우스 변환에 ${\displaystyle {}^{}}$ 클라인 그룹 ${\displaystyle \Gamma }$ =${\displaystyle {}^{}\mathrm{\partial }}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 동작은 융합 그룹 동작이다.
• 이상적인 경계${\displaystyle \mathrm{}}$transl ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \partial G}$에 대한 번역에 의한$$ 단어-hyperbolic 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 동작은 융합 그룹 동작이다$$.
• Bowditch 경계 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \partial G}$에 대한 번역에 의한$$ 비교적 쌍곡선 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 동작은 융합 그룹 동작이다$$.
• Let ${\displaystyle X}$ be a proper geodesic Gromov-hyperbolic metric space and let ${\displaystyle \Gamma }$ be a group acting properly discontinuously by isometries on ${\displaystyle X}$. Then the corresponding boundary action of ${\displaystyle \Gamma }$ on ${\displaystyle \partial X}$ is a discrete con검증 작용(의 Lema 2.11).

수렴군 내 원소분류

Let ${\displaystyle \Gamma }$ be a group acting by homeomorphisms on a compact metrizable space ${\displaystyle M}$with at least three points, and let ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$. Then it is known (Lemma 3.1 in ^[2] or Lemma 6.2 in ^[3]) that exactly one of the following occurs:

(1) 요소 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma$}은$($는) $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$의 순서가 유한하다$.$ 이 경우 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$은(는) 타원체라고 한다.

(2) 요소 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$에서 무한 순서를 가지며$$$$, 고정된 ${\displaystyle {\mathrm{집합}}_{}}$ $Fix$ M$($ ( ${\displaystyle ))}$은$단일$ 지점이며$,$ 이 $경우{\displaystyle }$ {$$${\$$displaysty \gamma$$}$은$$포물선이라고 한다$$.

(3) 요소 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$gamma$$}$은(는) $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$의 무한 순서를 가지며$$$$, 고정 집합 ${\displaystyle {Fix}_{}}$ M${\displaystyle {}_{}}$⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle \gamma )}$ ${\displaysty \operatorname {Fix} _{M}(\gamma$)은 두 개의 고유한 지점으로 구성되며$$, 이 경우$\gamma$ ${\$displaystypatchstyption styption styption styption sty \down \day \down \down \

더욱이 $p{\displaystyle }$≠ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p\neq 0}$마다 원소 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$과 $\gamma {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$^{$p}$는 동일한 유형을 갖는다$$.Also in cases (2) and (3) ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )=\operatorname {Fix} _{M}(\gamma ^{p})}$ (where ${\displaystyle p\neq 0}$) and the group ${\displaystyle \langle \gamma \rangle }$ acts properly discontinuously on ${\displ$$aystyle M\setminus \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$. Additionally, if ${\displaystyle \gamma }$ is loxodromic, then ${\displaystyle \langle \gamma \rangle }$ acts properly discontinuously and cocompactly on ${\displaystyle M\setminus \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$.

If ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ is parabolic with a fixed point ${\displaystyle a\in M}$ then for every ${\displaystyle x\in M}$ one has ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma ^{n}x=\lim _{n\to -\infty }\gamma ^{n}x=a}$ If ${\di$$splaystyle \gamma \in \Gamma }$ is loxodromic, then ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$ can be written as ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )=\{a_{-},a_{+}\}}$ so that for every ${\displaystyle x\in M\setminus \{a_{-}\}}$one has ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma ^{n}x=a_{+}}$ and for every ${\displaystyle x\in M\setminus \{a_{+}\}}$ one has ${\displaystyle \lim _{n\to -\infty }\gamma ^{n}x=a_{-}}$, and these convergences are uniform on compact subs$M$ ${-}}$의 ets${a_${-},$a_{+}\}}}의$ets$.$

균일한 수렴 그룹

A discrete convergence action of a group ${\displaystyle \Gamma }$ on a compact metrizable space ${\displaystyle M}$ is called uniform (in which case ${\displaystyle \Gamma }$ is called a uniform convergence group) if the action of ${\displaystyle \Gamma }$ on ${\displaystyle \Theta (M)}$ is co-compact.따라서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle M}$) {\$displaystyle \Gamma}$은(는) $\theta {\displaystyle \mathrm{}}$(M ) ${\displaystyle \Theta (M)}$에 대한 동작이$$ 적절하게 불연속적이면서 동시에 합치되는 경우에만 균일한 수렴 그룹이다$$.

원뿔형 한계점

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$이(가) 개별 컨버전스 그룹으로$$ 컴팩트 메트리징 가능 공간 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 대해 작업하도록$$ 하십시오.A point ${\displaystyle x\in M}$ is called a conical limit point (sometimes also called a radial limit point or a point of approximation) if there exist an infinite sequence of distinct elements ${\displaystyle \gamma _{n}\in \Gamma }$ and distinct points ${\displaystyle a,b\in M}$ such that ${\displaystyle \underset{}{lim}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}x=a}$ and for every ${\displaystyle y\in M\setminus \{x\}}$ one has ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}y=b}$.

또한 보우디치가 독자적으로 획득한 ^[4]투키아의 중요한 결과는 다음과 같다.^[2][5]

소형 미터기 공간 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 있는 그룹 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$의 이산형 수렴 그룹 동작은 $M{\displaystyle }${\$displaystyle M$}의 모든 비절연 점이$$ 원뿔형 한계점인 경우에만 균일하다$$.

단어-하이퍼볼릭 그룹 및 그 경계

그 경계^[6] ${\displaystyle \mathrm{boundary}}{\displaystyle \mathrm{}}$G ${\displaystyle \partial G}$에 있는 단어-하이퍼볼릭 $그룹{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle G}$의 번역에 의한 자연 작용이 균일한 수렴 작용이라는$$ 것은 그로모프에 의해 이미 관찰되었다(공식적인 증거는 참조^[2]).Bowditch는^[5] 중요한 역설을 증명하여 단어-hyperbolic 그룹의 위상학적 특성을 얻었다.

정리.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$$}$이(가) 격리된 지점이$$ 없는 컴팩트 $메트리징{\displaystyle }$공간 M {\$displaystyle$ M}에서 이산형 균등 수렴 그룹 역할을 하도록$$ 한다.그러면 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$$}$이(가) $단어-하이퍼볼릭$이고$$G {\$displaystyle$ G} -등가변$$ ${\displaystyle \mathrm{동형상}}$ $M{\displaystyle }$→$\$ G {\$displaystyle M\to$ \$partial$ G$}$이(가) 존재한다$.$

원의 수렴 작용

쌍곡면 $H{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 등축 작용이 적절하게 불연속적이고 cocompact이면 기하학이라고 한다.G{G\displaystyle}의 H2{\displaystyle \mathbb{H}^{2}의 모든 기하학적 행동}는 평등 수렴 조치의 G{G\displaystyle}에 S1)∂ H2≈ ∂ G{\displaystyle \mathbb{S}^{1}=\partial H^{2}\approx\partial G}. 중요한 결과의 Tukia(1986년)[7]Gabai(1992년)[8]Casson–J.ungre(1994년)^[9]이며, 프레든(1995)^[10]은 컨버스에도 다음과 같은 내용이 있음을 보여준다.

정리.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) $S{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^$1}{1$}의 이산형 균일 수렴 그룹 역할을 하는 그룹이라면$$ 이 동작은$$ 위상학적으로 $H{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ by$$ 등각형에서$$ ${\$displaysplay}의 기하학적 $작용$에 의해 유도되는 작용이다.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$^{$2}}$에서 기하학적으로 작용할$$ 때마다$$G ${\displaystyle G}$ 그룹은 사실상 쌍곡선 표면 그룹, 즉 G ${\displaysty G}$은 닫힌 쌍곡선의 기본 그룹에 유한 지수 부분군 이형태를 포함한다$$.

2-sphere의 수렴 작업

어느 캐넌의 추측은 동일한 reformulations의, 원래 제임스 W. 캐넌에 의해word-hyperbolic 그룹의{\displaystyle \mathbb{S}^{2}},[11]경계 S2에homeomorphic을 보면서 제기가 S2에서 G{G\displaystyle}은 그룹 분리된 평등 수렴 단체로 연기{\displaysty 말한다.르)$mathbb {S} ^2}}:$ 그러면$$ 이 동작은 ${\displaystyle {}^{}}$으로 $H{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 3 ${\$에 있는$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 기하학적 작용에 의해 유도되는 작용에 결합된다.이 추측은 아직 미해결로 남아 있다.

애플리케이션 및 추가 일반화

• 야마나는 보우디치가 단어-하이퍼볼릭 집단을 균일한 융합 집단으로 특징짓는 것을 ^[12]일반화하면서 융합 작용의 측면에서 비교적 쌍곡성 집단을 특성화했다.
• 불분명한 가정 없이 "융합 속성"을 가진 집단 행동의 더 일반적인 버전을 고려할 수 있다.^[13]
• 캐논-캐논 개념의 가장 일반적인 버전원래 클라인어와 단어-하이퍼볼릭 그룹의 맥락에서 정의되었던 Thurston map은 융합 그룹의 설정의 맥락에서 정의되고 연구될 수 있다.^[14]

참조