그룹의 끝에 대한 스톨링 정리

집단 이론의 수학적 주제에서, 집단의 끝에 관한 스털링스 정리에서는 집단의 G가 비경쟁적 분해를 유한한 부분군에 대한 HNN 연장이나 혼합된 자유 상품으로 인정할 경우에만 그리고 그 경우에만 정확히 생성된 집단의 G는 한 쪽 끝을 가지고 있다고 기술하고 있다.배스-세레 이론의 현대 언어에서 정리는 G가 유한한 에지 안정제 및 에지-반전이 없는 단순화 트리에 대해 비극성(즉, 글로벌 고정점 없음) 작용을 허용하는 경우에만 미세하게 생성된 그룹 G가 한 쪽 이상의 끝을 갖는다고 말한다.

그 정리는 존 R에 의해 증명되었다. 스톨링, 처음에는 비틀림 없는 경우(1968년)^[1]에서, 다음에는 일반적인 경우(1971년)^[2]에서.

그래프의 끝

모든 꼭지점의 정도가 유한한 연결된 그래프가 γ이 되게 한다.1차원 세포단지의 자연구조를 부여함으로써 Ⅱ를 위상학적 공간으로 볼 수 있다.그렇다면 γ의 끝은 이 위상학적 공간의 끝이다.완전성을 위해 그래프의 끝 수에 대한 보다 명확한 정의가 아래에 제시되어 있다.

n ≥ 0을 음이 아닌 정수로 한다.γ의 가장자리의 모든 유한집합 F에 대해 그래프 γ - F가 최대 n개의 무한연결 구성요소를 갖는 경우, 그래프 γ은 e(γ) ≤ n을 만족한다고 한다.정의에 따르면 e(γ) = m if e(γ) ≤ m, 매 0 ≤ n < m에 대해 e(γ) ≤ n은 거짓이다.따라서 e(γ) = m이 e(γ) ≤ n과 같은 가장 작은 비 음의 정수 n인 경우 m. e(γ) ≤ n과 같은 정수 n ≥ 0이 없으면 e()) = ∞을 넣는다. e(γ)는 γ의 끝수라고 한다.

비공식적으로 e(E()는 γ의 "무한에서 연결된 구성요소"의 수입니다.e(γ) = m < ∞, 그렇다면 γ의 가장자리의 유한 집합 F에 대해 F ⊆ K를 가진 γ의 가장자리의 유한 집합 K가 존재하여 γ - F는 정확히 m 무한 연결 구성요소를 가진다.e(γ) = ∞인 경우, γ의 가장자리의 유한 집합 F와 정수 n 0 0의 경우 γ의 가장자리의 유한 집합 K가 존재하여 γ - K는 최소한 n개의 무한 연결 구성요소를 가진다.

그룹 끝

G는 잘 생성되는 그룹이 되도록 하자.S ⊆ G를 G의 유한 생성 집합으로 하고, γ(G, S)을 S에 관한 G의 Cayley 그래프로 한다.G의 끝의 수는 e(G) = e(G, S)로 정의된다.집단의 종말론에서 기본적인 사실은 e(G, S)가 G의 유한생성 집합 S의 선택에 의존하지 않기 때문에 e(G)가 잘 정의되어 있다고 말한다.

기본적인 사실 및 예

• 미세하게 생성된 그룹 G의 경우, G가 유한한 경우에만 e(G) = 0이 있다.
• 무한 순환 그룹 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ $e{\displaystyle }$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$)${\displaystyle }$= 2.${\displaystyle e(\mathb {Z} )=2$가 있다$$$.$$}$
• $2위{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ Z ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle \mathb {Z} ^2}}:$ e$$${\displaystyle }$( $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= 1${\displaystyle e(\mathb {Z} ^{2}=$1)가 있다$.$$}$
• 자유 그룹 F(X)의 경우, 1 < X < ∞ 우리는 e(F(X) = ∞을 가지고 있다.

프로이덴탈-홉프 이론

한스 프로이덴탈과^[3] 독립적으로 하인츠 홉프는^[4] 1940년대에 다음과 같은 두 가지 사실을 확립했다.

• 정확하게 생성된 G 그룹에 대해 e(G) ∈ {0, 1, 2, ∞}이(가) 있다.
• G가 사실상 무한 순환인 경우에만(즉, G는 유한 지수의 무한 순환 부분군을 포함한다) 미세 생성 그룹 G에 대해 e(G) = 2가 있다.

찰스 T. C. 월은 1967년에 다음과 같은 보완적 사실을 증명했다.^[5]

• 그룹 G는 G/W가 무한 주기 또는 무한 이면체일 정도로 유한한 정규 부분군 W를 갖는 경우에만 사실상 무한 주기이다.

절단 및 거의 변함없는 세트

G를 정밀하게 생성된 그룹으로 하고, S g G는 G의 유한 생성 집합으로 하며, S에 관해서 = = ((G, S)을 G의 Cayley 그래프로 한다.부분 집합 A의 경우 A에^∗ 의한 G의 보완 G - A in G를 나타낸다.

부분 집합 A ⊆ G의 경우, A의 가장자리 경계 또는 공동 경계 ΔA는 A에서 정점과 A에서^∗ 정점을 연결하는 γ의 모든 (위상학) 가장자리로 구성된다.ΔA = ΔA^∗ 정의에 따라 ΔA.

순서쌍(A, A^∗)은 ΔA가 유한하면 Δ에서 절삭이라고 한다.컷(A^∗∗,A)은 세트 A와 세트 A가 모두 무한하면 필수로 불린다.

부분집합 A g G는 모든 ggG에 대해 A와 Ag의 대칭적 차이가 유한하면 거의 불변성이라고 불린다.(A, A^∗)는 A와 A가^∗ 거의 불변인 경우(A와 A가 거의 불변인 경우만 같음)에만 절단이 있음을 쉽게 알 수 있다.

절단 및 끝단

단순하지만 중요한 관찰 내용은 다음과 같다.

e(G) > 1 γ에 적어도 하나의 필수 절삭(A,A^∗)이 존재하는 경우에만.

유한한 그룹에 대한 절단 및 스플릿

If G = H∗K where H and K are nontrivial finitely generated groups then the Cayley graph of G has at least one essential cut and hence e(G) > 1. Indeed, let X and Y be finite generating sets for H and K accordingly so that S = X ∪ Y is a finite generating set for G and let Γ=Γ(G,S) be the Cayley graph of G with respect to S.렛 A는 사소한 요소와 G = H∗K에 대한 정상적인 형태 표현이 H의 비종속적인 요소로 시작되는 G의 모든 요소로 구성된다.따라서 A는^∗ G = H∗K에 대한 정상적인 형태 표현이 K의 비종속적인 요소로 시작하는 G의 모든 요소로 구성된다.e(G) > 1이 되도록 >에서 (A,A^∗)가 본질적인 삭감이라고 보는 것은 어렵지 않다.

이 인수의 보다 정확한 버전은 정밀하게 생성된 그룹 G:

• G = H∗_CK가 C ≠ H와 C ≠ K와 같이 유한한 집단인 경우 H와 K는 미세하게 생성되고 e(G)는 1이 되는 합병성 자유 제품이다.
• If ${\displaystyle \scriptstyle G=\langle H,t t^{-1}C_{1}t=C_{2}\rangle }$ is an HNN-extension where C₁, C₂ are isomorphic finite subgroups of H then G is a finitely generated group and e(G) > 1.

스탤링스의 정리는 그 역도 사실임을 보여준다.

스털링스의 정리 형식문

G는 잘 생성되는 그룹이 되도록 하자.

다음 중 하나가 유지되는 경우에만 e(G) > 1을 적용한다.

• 그룹 G는 C가 C h H와 C k K와 같은 유한 집단인 합병과 함께 G=H∗_CK를 자유 상품으로 인정한다.
• 그룹 G는 HNN 확장 $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle t{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ C ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= C ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ G$=\langle H,t^{-1}C_{1}t=C_{2}\rangele }$이며 여기서 및 C는₁₂ H의 이형 유한 부분군이다.

Bass-Serre 이론의 언어에서 이 결과는 다음과 같이 재작성될 수 있다.미세하게 생성된 그룹 G의 경우, G가 유한 에지 안정제 및 에지 변위가 없는 단순화 트리에 대해 비교(즉, 글로벌 고정 정점 없음) 작용을 허용하는 경우에만 e(G) > 1을 갖는다.

G가 비틀림 없는 미세 생성 그룹인 경우, 스털링스의 정리는 G가 A와 B가 모두 아닌 상태에서 적절한 자유 제품 분해 G = A bB를 승인하는 경우에만 e(G) = ∞임을 암시한다.

애플리케이션 및 일반화

• 스털링스의 정리의 즉각적인 적용들 중에는 모든 미세하게 생성된 코호몰로지 차원 1의 집단은 자유롭고 모든 토션 없는 사실상 자유 집단은 자유롭다는 오랜 추측의 스털링스의^[6] 증거가 있었다.
• 스톨링의 정리는 또한 미세하게 생성되는 집단의 끝의 수가 준등계 불변성으로 쉽게 보여지기 때문에 유한 부분군에 대한 비등계 분열을 갖는 속성이 정밀하게 생성된 집단의 준등계 불변성임을 암시한다.이러한 이유로 스털링스의 정리는 기하학적 집단 이론의 첫 번째 결과 중 하나로 간주된다.
• 스탤링스의 정리는 던우디의 접근성 이론의 출발점이었다.유한 부분군에 대한 G의 반복적인 비경쟁적 분할 과정이 항상 한정된 수의 단계로 종료되는 경우, 정밀하게 생성된 G 그룹은 접근할 수 있다고 한다.Bass-Serre 이론 용어에서, 유한한 에지 그룹을 가진 그룹의 그래프의 기본 그룹으로서 G의 감소된 분할에 있는 에지 수는 G에 따라 일정하게 경계된다.던우디는 모든 정밀하게 제시된 그룹이 접근 가능하지만 접근 불가능한 정밀하게 생성된 그룹이 존재한다는 것을 증명했다^[7].^[8]Linnell은^[9] 스플릿이 차지하는 유한 부분군의 크기를 제한한다면 이러한 의미에서 모든 정밀하게 생성된 그룹에 접근할 수 있다는 것을 보여주었다.이러한 결과는 차례로 Bestvina-Feighn 접근성^[10]( 소위 "소형" 분할을 고려하는 그룹), 동역학적 접근성,^[11][12] 강한 접근성 ^[13]등과 같은 다른 버전의 접근성을 야기했다.
• 스톨링의 정리는 모든 정점과 가장자리 그룹이 유한한 그룹의 유한한 그래프의 기본 그룹으로 G를 나타낼 수 있는 경우에만 정밀하게 생성된 그룹 G가 사실상 자유롭다는 것을 증명하는 핵심 도구다(예: 참조).^[14]
• 던우디의 접근성 결과를 사용하여 그룹의 목적에 대해 스톨의 정리에 실제로는 점근 치수 1와 함께 G는 유한하게 제시된 공동 G이 실질적으로 free[15]다 만일 G사실상은 유한하게 제시되word-hyperbolic 그룹 G를 G의 하이퍼볼릭 경계 위상 차원 0이[16]을 보여 줄 수 있다.무료.
• 스털링스의 정리의 상대적 버전과 부분군과 관련하여 정밀하게 생성된 그룹의 상대적 종료도 고려되었다.정밀하게 생성된 그룹 G의 부분군 HgG의 경우, 상대적 종말 수 e(G,H)를 H에 대한 상대적 Cayley 그래프(슈레이어 코제트 그래프)의 끝 수로 정의한다.e(G,H)>1을 H에 대한 G의 반분열이라 부르는 경우. 스털링스의 정리에서 영감을 얻은 반분열조기 작업은 1970년대와 1980년대에 스콧,^[17] 스와업 ^[18]등에 의해 이루어졌다.^[19][20]Sageev[21]과 Gerasimov[22]의 1990년대에 그 일은 서브 그룹 H≤G는 조건 e(G,H)>그룹 G로 1과 일치한 CAT(0)-cubing이 하위 그룹 H과 같은 필수적인"초평면"이 hyperplanes 있(컴퓨터 단층(0의 단체의. 나무가 예다)-cubing 안정화에 필수적인 등축 액션 인정하는 것을 보여 주었다. 그 midpo가장자리 안쪽).특정 상황에서 그러한 반분할은 H가 유한한 경우(Stallings의 정리)와 같이 일반적으로 H에 상응할 수 있는 부분군에 걸쳐 실제 대수적 분할로 촉진될 수 있다.실제 분할을 얻을 수 있는 또 다른 상황(예외 몇 가지)은 가상 다순환 하위군에 대한 반분할이다.여기서 두 개의 끝 부분군(사실상 무한 순환)에 걸쳐 단어-하이퍼볼릭 집단의 반분할 사례는 스콧-스워럽과^[23] 보우디치가 처리했다.^[24]가상 다순환 하위그룹과 관련하여 미세하게 생성된 집단의 반분할 사례는 던우디-스웬슨의 대수적 토러스 정리에 의해 처리된다.^[25]

• 스털링스의 정리에 대한 많은 새로운 증명들이 스털링스의 원래 증명 이후에 다른 사람들에 의해 얻어졌다.던우디는 엣지 컷의 아이디어에 근거한 증거를^[26] 제시했다.후에 던우디는 유한 2-복합체에 대한 "트랙"의 방법을 사용하여 정밀하게 제시된 그룹에 대한 스털링스의 정리 증거를 제시하기도 했다.^[7]니블로는 세이지프의 CAT(0)-쿠빙 상대 버전의 결과로 스털링스의 정리 증거를 얻었는데^[27], 여기서 CAT(0)쿠빙은 결국 나무로 승격된다.니블로의 논문은 또한 반분할로부터 실제 분할을 얻기 위한 추상적인 집단-이론적 방해(G에서 H의 이중 코세트의 결합)를 정의하고 있다.또한 최소 표면의 리만 기하학적 기법을 사용하여 정밀하게 제시된 집단에 대한 스털링스의 정리를 증명할 수도 있다. 여기서 사람들은 먼저 정교하게 제시된 집단을 콤팩트한 4-매니폴드의 기본 집단으로 깨닫는다(예를^[28] 들어, 월의 조사 기사에서 이 주장의 스케치 참조).그로모프는 최소 표면의 주장이 더 쉬운 조화 분석 논리로 대체되고 이 접근법은 정확하게 생성된 그룹의 원래 사례를 다루기 위해 카포비치에 의해 더욱 추진되는 증거(의 228–230 페이지 참조).^[15][29]

참고 항목

• 합병을 포함한 무료 제품
• HNN 확장
• 베이스-세레 이론
• 그룹 그래프
• 기하군 이론

메모들