톰슨 그룹

수학에서 톰슨 그룹(톰슨의 그룹, 방랑자 그룹 또는 카멜레온 그룹이라고도 함)은 리차드 톰슨이 1965년 폰 네우만 추측에 대한 가능한 반증으로서 출판되지 않은 일부 자필 메모에서 소개한 $F\subseteq T\subseteq V$ $F\subseteq T\subseteq V$ $F\subseteq T\subseteq V$ $F\subseteq T\subseteq V$ $F\subseteq T\subseteq V$ ${\displaystystyle F\subseteq T\subseteq V}$ 로 일반적으로 표기된 세 그룹이다 $F\subseteq T\subseteq V$ 셋 중 F는 가장 널리 연구되고 있으며, 때로는 톰슨 그룹이나 톰슨 그룹이라고 일컬어지기도 한다.

톰슨 그룹, 특히 F는 그룹 이론에서 많은 일반적인 추측을 뒷받침하는 특이한 성질의 집합체를 가지고 있다.톰슨 그룹 세 개 모두 무한하지만, 훌륭하게 제시되어 있다.T 그룹과 V 그룹은 무한하지만 정밀하게 표현된 단순 그룹의 예다.F 그룹은 단순하지 않지만 파생된 하위 그룹[F,F]이 있으며, 파생된 하위 그룹에 의한 F의 지수는 2등급의 자유 아벨리아 그룹이다.F는 완전히 순서가 정해지고 기하급수적으로 성장하며 2등급의 자유 그룹에 대한 부분군 이형성을 포함하지 않는다.

F가 순응할 수 없는 것으로 추측되며, 따라서 근래에 정밀하게 표현된 집단에 대한 오래되었지만 반증된 폰 노이만 추측은 더 이상 순응할 수 없는 것으로 알려져 있다.

히그먼(1974년)은 톰슨의 그룹 V를 특수 케이스로 하는 등 정교하게 제시된 소박한 그룹의 무한가족을 소개했다.

프리젠테이션

F의 유한 표시는 다음 식에 의해 주어진다.

\langle A,B\mid \[AB^{-1},A^{-1}BA]=[AB^{-1},A^{-2}BA^{2}]=\mathrm {id} \rangele

여기서 [x,y]는 일반적인 집단 이론 정류자, xyxy이다⁻¹⁻¹.

F는 2개의 발전기와 2개의 관계를 가진 유한한 프리젠테이션을 가지고 있지만, 무한프레젠테이션에 의해 가장 쉽고 직관적으로 기술된다.

\langle x_{0},x_{1},x_{2},\mid \x_{k}^{-1}x_{n}x_{k}=x_{n+1}\mathrm {for} \k<n\angle .

두 개의 프레젠테이션은 x₀=A, x_n = n>0에 대한 ABA와¹⁻ⁿⁿ⁻¹ 관련이 있다.

기타 표현

톰슨 그룹 F는 바이너리 트리에서 이와 같은 작전에 의해 생성된다.여기서 L과 T는 노드지만 AB와 R은 더 많은 일반 나무로 대체될 수 있다.

그룹 F는 또한 순서에 따라 뿌리를 내린 이항 트리에 대한 운영 측면과 방향성을 보존하고 차별화할 수 없는 점이 dynadic rational이고 기울기가 모두 2의 힘인 단위 간격의 조각상 선형 동형성의 한 부분군으로서 실현된다.

또한 F조는 단위 간격의 두 끝점을 파악하여 단위 원에 작용하는 것으로 간주할 수 있으며, T조는 F에 동형성 x→x+1/2모드 1을 추가하여 얻은 단위 원의 자동화 그룹이다.이항 트리에서 이것은 뿌리 아래의 두 트리를 교환하는 것에 해당한다.그룹 V는 반개방간격[0,1/2)의 점을 수정하고 [1/2,3/4)]과 [3/4,1)을 명백한 방법으로 교환하는 불연속지도를 추가하여 T로부터 얻는다.이항 트리에서 이것은 루트(존재하는 경우)의 우측 하위 트리 아래에 있는 두 트리를 교환하는 것에 해당한다.

톰슨 그룹 F는 한 발전기에 있는 자유 조손-타르스키 대수학의 질서 유지 자동화 그룹이다.

어메니빌리티

F가 어메니블이 아니라는 톰슨의 추측이 R에 의해 더욱 대중화되었다.Geoghegan—Cannon-도 참조하십시오.플로이드-파리 기사는 아래 참고 문헌에 인용되었다.현재 상태: E.샤브굴리제는^[1] 2009년 논문에서 F가 수양 가능하다는 것을 증명한다고 주장했지만 MR 리뷰에서 설명한 것처럼 오류가 발견됐다.

F는 초등적 어메니블이 아닌 것으로 알려져 있다. 캐넌-4.10의 정리를 참조하라.플로이드-파리

만약 F가 순응할 수 없다면, 그것은 2등급의 자유 집단의 복사본을 포함하지 않는 경우에만 순정적으로 표현된 집단이 순응할 수 있다고 말하는, 현재 반증된 폰 노이만의 추측에 대한 또 다른 예일 것이다.

위상이 있는 연결

F 그룹은 1970년대에 토폴로지스트들에 의해 적어도 두 번 재발견되었다.훨씬 후에야 출판되었지만 그 당시 선인으로서 유통되고 있던 논문에서 P. 프레이드와 A.헬러는 F의 시프트 맵이 에일렌베르크-마클레인 공간 K(F,1)에 복제할 수 없는 호모토피 idempotent를 유도하고 있으며 이는 흥미로운 의미에서 보편적이라는 것을 보여주었다.이는 Geoghegan의 저서에 자세히 설명되어 있다(아래 참조 참조).독립적으로 J. Dydak과 P.민크는 모양 이론의 문제와 관련하여 덜 알려진 F 모델을 만들었다.

1979년, R.Geoghegan은 F에 대해 네 가지 추측을 했다: (1) F는 타입 FP를_∞ 가지고 있고, (2) 무한대에서 F의 모든 호모토피 그룹은 사소한 것이다; (3) F는 비아벨리안 자유 하위그룹이 없다; (4) F는 비아모니아적인 것이다. (1)은 K. S. Brown과 R에 의해 증명되었다.강한 형태의 지오헤간: 각각의 양차원에 두 개의 세포가 있는 K(F,1)가 있다.^[4] (2) 또한 이전의 M의 정리 이후, 코호몰로지 H*(F,ZF)가 사소한 것으로 보인다는 의미에서 브라운과 지오헤간에 의해 증명되었다.Mihalik은 F가 단순히 무한대로 연결되어 있다는 것을 암시하고, 명시된 결과는 무한대의 모든 호몰로지들이 사라지며, 호모토피 그룹에 대한 주장이 뒤따른다는 것을 암시한다. (3)은 M. Brin과 C에 의해 증명되었다.더럽게.^[7](4)의 상태는 위에서 논한다.

F가 패럴-존스의 추측을 만족시킬지는 알 수 없다.F의 화이트헤드 그룹(Whitehead torsion 참조)이나 F의 투영 클래스 그룹(Wall의 미세성 장애물 참조)이 사소한 것인지는 F가 강력한 배스 추측을 만족한다는 것을 쉽게 보여주었지만 알 수 없다.

D. Farley는 F가 국소적으로 유한한 CAT(0) 입체 복합체(필요적으로 무한 치수가 필요함)에서 데크 변환의 역할을 한다는 것을 보여주었다.그 결과 F는 바움-콘의 추측을 만족시킨다.

참고 항목

참조

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Cannon, J.W.; Floyd, W.J. (September 2011). "WHAT IS...Thompson's Group?" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 58 (8): 1112–1113. ISSN 0002-9920. Retrieved December 27, 2011.
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Higman, Graham (1974), Finitely presented infinite simple groups, Notes on Pure Mathematics, vol. 8, Department of Pure Mathematics, Department of Mathematics, I.A.S. Australian National University, Canberra, ISBN 978-0-7081-0300-5, MR 0376874

[1] Shavgulidze, E. (2009), "The Thompson group F is amenable", Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 12 (2): 173–191, doi:10.1142/s0219025709003719, MR 2541392

[2] Freyd, Peter; Heller, Alex (1993), "Splitting homotopy idempotents", Journal of Pure and Applied Algebra, 89 (1–2): 93–106, doi:10.1016/0022-4049(93)90088-b, MR 1239554

[3] Dydak, Jerzy; Minc, Piotr (1977), "A simple proof that pointed FANR-spaces are regular fundamental retracts of ANR's", Bulletin de l'Académie Polonaise des Science, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques, 25: 55–62, MR 0442918

[4] Brown, K.S.; Geoghegan, Ross (1984), An infinite-dimensional torsion-free FP_infinity group, vol. 77, pp. 367–381, Bibcode:1984InMat..77..367B, doi:10.1007/bf01388451, MR 0752825

[5] Brown, K.S.; Geoghegan, Ross (1985), "Cohomology with free coefficients of the fundamental group of a graph of groups", Commentarii Mathematici Helvetici, 60: 31–45, doi:10.1007/bf02567398, MR 0787660

[6] Mihalik, M. (1985), "Ends of groups with the integers as quotient", Journal of Pure and Applied Algebra, 35: 305–320, doi:10.1016/0022-4049(85)90048-9, MR 0777262

[7] Brin, Matthew.; Squier, Craig (1985), "Groups of piecewise linear homeomorphisms of the real line", Inventiones Mathematicae, 79 (3): 485–498, Bibcode:1985InMat..79..485B, doi:10.1007/bf01388519, MR 0782231

[8] Farley, D. (2003), "Finiteness and CAT(0) properties of diagram groups", Topology, 42 (5): 1065–1082, doi:10.1016/s0040-9383(02)00029-0, MR 1978047

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