립스머신

기하학적 집단 이론에서 립스 기계는 R-tree에 대한 그룹의 작용을 연구하는 방법이다.1991년경 엘리야후 립스의 미발표작에 소개되었다.

R-트리는 모든 호가 어떤 실제 간격에 등각도를 갖는 독특한 호 연결 메트릭 공간이다.립스는 R-트리 위에서 자유롭게 행동하는 어떤 미세하게 생성된 집단이 자유 아벨리아인과 표면 집단의 자유로운 산물이라는 모건과 샬렌의^[1] 추측을 증명했다.^[2]

R-tree에서 표면 그룹의 작업

바스-세레 이론에 따르면, 단순한 나무 위에서 자유롭게 행동하는 그룹은 무료다.모건과 샬렌은 오일러 특성이 -1 미만인 표면의 기본 그룹도 R-트리에 자유롭게 작용한다는 것을 보여주었기 때문에 R-트리에 대해서는 더 이상 해당되지 않는다.^[1]이들은 S가 오일러 특성 ≥-1의 비방향성 표면 3개 중 하나가 아닌 경우에만 연결된 닫힌 표면 S의 기본 그룹이 R-트리 상에서 자유롭게 작용한다는 것을 입증했다.

적용들

립스 기계는 미세하게 생성된 그룹 G의 안정적인 등축 작용에 대해 단순화 트리에 대한 G의 안정적인 작용에 의해 그 작용의 특정한 "정상적 형태" 근사치를 할당하고, 따라서 Bass-Serre 이론의 의미에서 G의 분할에 의해 그러한 작용에 대한 특정한 "정상적 형태" 근사치를 부여한다.실제 나무들에 그룹 행동을 자연스럽게 여러 맥락에서 기하학적 토폴로지에:예를 들어 타이히 뮐러 space[3]의 경계 지점으로 자세한 내용은 타이히 뮐러 공간의 서스 튼 경계의 모든 점에서 표면에 측정된 측지 라미 네이션으로 나타냅니다;표면의 보편적인 뚜껑을 덮고 자연스럽게 이 비닐 코팅 리프트가 발생한다. (그 리프트에 대한 반대는 Gromov-Hausdorff의 한계, 적절한 재조정, 클라인 그룹 조치 ^[4]^[5]등과 같이 표면의 기본 그룹의 등축 작용이 부여된 $\mathbb {R}$ ${\$ }-tree이다 $\mathbb {R}$ . $\mathbb {R}$ ${\$ -trees $\mathbb {R}$ 기계의 사용은 Thurston의 Haken 3-manifolds에 대한 하이퍼볼라이제이션 정리 현대적 증명에서 상당한 지름길을 제공한다.^[5]^[6]마찬가지로 $\mathbb {R}$ ${\$ { $R}$ -tree는 $\mathbb {R}$ Culler-Vogtmann의 Outer space^[7]^[8] 연구뿐만 아니라 기하학적 그룹 이론의 다른 영역에서도 핵심적인 역할을 한다. 예를 들어 그룹의 점증상 원뿔은 종종 나무와 같은 구조를 가지고 실제 나무에서 집단 행동을 발생시킨다.^[9]^[10]실라의( 비틀리지 않는)word-hyperbolic 단체들을 위해 동형 이성 문제 해결에 대한 작업에 R{\displaystyle \mathbb{R}}-trees의 Bass–Serre 이론은 함께 사용하는 핵심 공구 JSJ-decomposition 이론과 실라의 타르 Conjecture에 자유 단체들을 위해 일과 한계 그룹 이론의 실라의 버전입니다.[11][12]

참조

^ ^a ^b Morgan, John W.; Shalen, Peter B. (1991), "Free actions of surface groups on R-trees", Topology, 30 (2): 143–154, doi:10.1016/0040-9383(91)90002-L, ISSN 0040-9383, MR 1098910
^ Bestvina, Mladen; Feighn, Mark (1995), "Stable actions of groups on real trees", Inventiones Mathematicae, 121 (2): 287–321, doi:10.1007/BF01884300, ISSN 0020-9910, MR 1346208, S2CID 122048815
^ Skora, Richard (1990), "Splittings of surfaces", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 23 (1): 85–90, doi:10.1090/S0273-0979-1990-15907-5
^ Bestvina, Mladen (1988), "Degenerations of the hyperbolic space", Duke Mathematical Journal, 56 (1): 143–161, doi:10.1215/S0012-7094-88-05607-4
^ ^a ^b Kapovich, Michael (2001), Hyperbolic manifolds and discrete groups, Progress in Mathematics, vol. 183, Birkhäuser, Boston, MA, doi:10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN 0-8176-3904-7
^ Otal, Jean-Pierre, The hyperbolization theorem for fibered 3-manifolds, SMF/AMS Texts and Monographs, vol. 7, American Mathematical Society, Providence, RI and Société Mathématique de France, Paris, ISBN 0-8218-2153-9
^ Cohen, Marshall; Lustig, Martin (1995), "Very small group actions on $\mathbb {R}$ -trees and Dehn twist automorphisms", Topology, 34 (3): 575–617, doi:10.1016/0040-9383(94)00038-M
^ Levitt, Gilbert; Lustig, Martin (2003), "Irreducible automorphisms of F_n have north-south dynamics on compactified outer space", Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu, 2 (1): 59–72, doi:10.1017/S1474748003000033
^ Druţu, Cornelia; Sapir, Mark (2005), "Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups (With an appendix by Denis Osin and Mark Sapir.)", Topology, 44 (5): 959–1058, doi:10.1016/j.top.2005.03.003
^ Druţu, Cornelia; Sapir, Mark (2008), "Groups acting on tree-graded spaces and splittings of relatively hyperbolic groups", Advances in Mathematics, 217 (3): 1313–1367, doi:10.1016/j.aim.2007.08.012
^ Sela, Zlil (2002), "Diophantine geometry over groups and the elementary theory of free and hyperbolic groups", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. II, Beijing: Higher Education Press, Beijing, pp. 87–92, ISBN 7-04-008690-5
^ Sela, Zlil (2001), "Diophantine geometry over groups. I. Makanin-Razborov diagrams", Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques, 93: 31–105, doi:10.1007/s10240-001-8188-y

추가 읽기

Gaboriau, D.; Levitt, G.; Paulin, F. (1994), "Pseudogroups of isometries of R and Rips' theorem on free actions on R-trees", Israel Journal of Mathematics, 87 (1): 403–428, doi:10.1007/BF02773004, ISSN 0021-2172, MR 1286836, S2CID 122353183
Kapovich, Michael (2009) [2001], Hyperbolic manifolds and discrete groups, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi:10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN 978-0-8176-4912-8, MR 1792613
Shalen, Peter B. (1987), "Dendrology of groups: an introduction", in Gersten, S. M. (ed.), Essays in group theory, Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 8, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 265–319, ISBN 978-0-387-96618-2, MR 0919830

[MS1991-1] Morgan, John W.; Shalen, Peter B. (1991), "Free actions of surface groups on R-trees", Topology, 30 (2): 143–154, doi:10.1016/0040-9383(91)90002-L, ISSN 0040-9383, MR 1098910

[2] Bestvina, Mladen; Feighn, Mark (1995), "Stable actions of groups on real trees", Inventiones Mathematicae, 121 (2): 287–321, doi:10.1007/BF01884300, ISSN 0020-9910, MR 1346208, S2CID 122048815

[3] Skora, Richard (1990), "Splittings of surfaces", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 23 (1): 85–90, doi:10.1090/S0273-0979-1990-15907-5

[4] Bestvina, Mladen (1988), "Degenerations of the hyperbolic space", Duke Mathematical Journal, 56 (1): 143–161, doi:10.1215/S0012-7094-88-05607-4

[k-5] Kapovich, Michael (2001), Hyperbolic manifolds and discrete groups, Progress in Mathematics, vol. 183, Birkhäuser, Boston, MA, doi:10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN 0-8176-3904-7

[6] Otal, Jean-Pierre, The hyperbolization theorem for fibered 3-manifolds, SMF/AMS Texts and Monographs, vol. 7, American Mathematical Society, Providence, RI and Société Mathématique de France, Paris, ISBN 0-8218-2153-9

[7] Cohen, Marshall; Lustig, Martin (1995), "Very small group actions on $\mathbb {R}$ -trees and Dehn twist automorphisms", Topology, 34 (3): 575–617, doi:10.1016/0040-9383(94)00038-M

[8] Levitt, Gilbert; Lustig, Martin (2003), "Irreducible automorphisms of F_n have north-south dynamics on compactified outer space", Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu, 2 (1): 59–72, doi:10.1017/S1474748003000033

[9] Druţu, Cornelia; Sapir, Mark (2005), "Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups (With an appendix by Denis Osin and Mark Sapir.)", Topology, 44 (5): 959–1058, doi:10.1016/j.top.2005.03.003

[10] Druţu, Cornelia; Sapir, Mark (2008), "Groups acting on tree-graded spaces and splittings of relatively hyperbolic groups", Advances in Mathematics, 217 (3): 1313–1367, doi:10.1016/j.aim.2007.08.012

[11] Sela, Zlil (2002), "Diophantine geometry over groups and the elementary theory of free and hyperbolic groups", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. II, Beijing: Higher Education Press, Beijing, pp. 87–92, ISBN 7-04-008690-5

[12] Sela, Zlil (2001), "Diophantine geometry over groups. I. Makanin-Razborov diagrams", Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques, 93: 31–105, doi:10.1007/s10240-001-8188-y

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