바움-콘네스 추측

수학에서, 특히 연산자 K 이론에서, Baum-Connes 추측은 그룹의 축소된 C*-algebra의 K 이론과 그 그룹의 적절한 작용의 분류 공간에 대한 K-homology 사이의 연관성을 시사한다.그 추측은 수학의 서로 다른 영역들 사이에 일치성을 설정하는데, 분류 공간의 K-homology는 기하학, 미분 연산자 이론, 호모토피 이론과 관련이 있는 반면, 집단의 축소된 C*-algebra의 K-이론은 순전히 분석 대상이다.

만약 그 추측이 사실이라면, 그 결과로서 몇 가지 더 오래된 유명한 추측이 있을 것이다.예를 들어, 허탈성 부분은 이산 토션 없는 집단에 대한 카디슨-카플란스키 추측을 내포하고 있으며, 주입성은 노비코프 추측과 밀접한 관련이 있다.

이 추정은 조립지도 $\mu }$ 가 $\mu$ 일종의 지수로, 알랭 콘의 비확정 기하학 프로그램에 큰 역할을 하기 때문에 지수 이론과도 밀접한 관련이 있다.

이 추측의 기원은 많은 다른 동기 부여 대상들 중에서 브라운, 더글라스, 필모어의 작품에서 표현된 것과 같이 프레드홀름 이론, 아티야-싱어 지수 정리, 연산자 K-이론과의 기하학의 상호연동으로 거슬러 올라간다.

공식화

Ⅱ를 두 번째 카운트 가능한 로컬 컴팩트 그룹(예: 카운트 가능한 이산 그룹)으로 한다.형태론을 정의할 수 있다.

\displaystyle \mu :RK_{*}^{\감마 }({\underline {E\감마 }}})\to K_{*}(C_{r}^{*})(\감마 )),}

$[\displaystyle \Gamma }$ 이(가) 있는 등가 K-homology에서 적절한 조치 ${\underline {E\Gamma }}$ ${\underline {E\Gamma }}$ _ ${\$ 의 분류 공간을 콤팩트 $\Gamma$ 지원하여 of의 축소된 C*-algebra의 K-이론까지 ${\underline {E\Gamma }}$ 어셈블리 맵이라고 한다.첨자 지수는 0 또는 1일 수 있다.

폴 바움(Paul Baum)과 알랭 콘(Alain Connes)은 이러한 형태론에 대해 다음과 같은 추측(1982)을 소개했다.

바움-콘스 추측.조립지도

[\displaystyle \mu }}

는

\mu

이형상이다.

왼손이 오른손보다 쉽게 접근할 수 있는 경향이 있기 때문에, $∗{\$ C $^{*}}$ -algebra의 $C^{*}$ 일반적인 구조 이론이 거의 없기 때문에 보통 추측을 오른손의 "설명"으로 본다.

이등변동 K호몰로지라는 개념은 1982년에 아직 보편화되지 않았기 때문에, 추측의 원래 공식은 다소 달랐다.

$\Gamma$ $\Gamma$ 이 $\Gamma$ (가) 분리되어 비틀림이 없는 경우, $\Gamma$ 은 { $\Gamma$ {\ $displaystyle$ $B\$ $Gamma$ }의 $B\Gamma$ 일반 분류 $B\Gamma$ B $\Gamma$ $B\Gamma$ {\displaystyle B\Gamma $\Gamma$ $}$ 을(가) 콤팩트하게 지지하여 비등분 K-호몰로 감소한다 $\Gamma$

There is also more general form of the conjecture, known as Baum–Connes conjecture with coefficients, where both sides have coefficients in the form of a $C^{*}$ -algebra $A$ on which $\Gamma$ acts by $C^{*}$ -automorphisms.KK 언어로 조립지도라고 쓰여 있어.

\mu _{A,\Gamma }:RKK_{*}^{\감마 }({\underline {E\감마 }}}},A)\to K_{*}(A\rtimes _{\lambda }\감마 }),

사례 $A=\mathbb {C} .$ = $A=\mathbb {C} .$ . $A=\mathb {C$ 처럼 계수가 없는 사례를 포함하는 이형성이다 $.$

그러나 계수를 가진 추측에 대한 몇 가지 예는 나이젤 힉슨, 빈센트 라포르그, 조르주 스칸달리스에 의해 2002년에 발견되었다.그러나 계수를 이용한 추측은 고전적인 추측과 달리 특정 집단이나 집단에 관한 진술로 종종 보여지기 때문에 여전히 연구의 활성 영역으로 남아 있다.

예

$\Gamma$ $\Gamma$ 을(를) $\mathbb {Z}$ Z ${\$ 가) 되도록 $\Gamma$ 한다 $\mathbb {Z}$ 그러면 왼손은 원인 $B\mathbb {Z}$ $B\mathbb {Z}$ $B\mathbb {Z}$ ${\$ 의 K-homology가 된다.정수의 $∗{\$ -algebra는 $C^{*}$ 정류형 Gelfand-Naimark 변환에 의해 이루어지는데, 이 경우 푸리에 변환으로 감소하고, 원의 연속함수의 대수학으로 이형화된다.그래서 오른손은 원의 위상학 K이론이다.그러면 조립지도는 이형성인 게나디 카스파로프가 정의한 KK-테오레틱 푸앵카레 이중성이라는 것을 보여줄 수 있다.

결과.

계수가 없는 추측은 1982년부터 이 분야가 큰 주목을 받았음에도 불구하고 여전히 열려 있다.

이러한 추측은 다음과 같은 집단에 대해 증명된다.

$SO(n,1)$ $SO(n,1)$ $SO(n,1)$ 1 $SO(n,1)$ ) $SO(n,1)$ 및 $SU(n,1)$ $SU(n,1)$ , $SU(n,1)$ ) ${\displaystyle SU(n,1)$ 의 이산 하위 그룹 $SU(n,1)$
해거업 속성을 가진 그룹, a-T-메뉴블 그룹이라고도 함.These are groups that admit an isometric action on an affine Hilbert space $H$ which is proper in the sense that $\lim _{n\to \infty }g_{n}\xi \to \infty$ for all $\xi \in H$ and all sequences of group elements $g_{n}$ $g_{n}$ $\lim _{n\to \infty }g_{n}\to \infty$ → $\lim _{n\to \infty }g_{n}\to \infty$ $\lim _{n\to \infty }g_{n}\to \infty$ $\lim _{n\to \infty }g_{n}\to \infty$ → $\lim _{n\to \infty }g_{n}\to \infty$ $\displaystyle \lim _{n\to \fty }g_{n}\to \fty }.$ a-T-menable 그룹의 예로는 단순히 연결된 $CAT(0)$ $CAT(0)$ T $CAT(0)$ ( $CAT(0)$ ) ${\displaysty CAT(0)$ 입체복합체에서 $CAT(0)$ 적절하게 작용하는 그룹, Coxeter 그룹 등이 있다 $\lim _{n\to \infty }g_{n}\to \infty$
하나의 관계만으로 유한한 표시를 인정하는 그룹.
실제 순위 1의 실제 거짓말 그룹의 이산 코콤팩트 하위 그룹.
$SL(3,\mathbb {R} ),SL(3,\mathbb {C} )$ L ( 3, R ) $SL(3,\mathbb {R} ),SL(3,\mathbb {C} )$ , S $SL(3,\mathbb {R} ),SL(3,\mathbb {C} )$ ( $SL(3,\mathbb {R} ),SL(3,\mathbb {C} )$ , $SL(3,\mathbb {R} ),SL(3,\mathbb {C} )$ ) ${\displaystyle SL(3,\mathb {R}), SL(3,\$ mathb {R $}),$ $SL(3,\mathbb {Q} _{p})$ (3 $SL(3,\mathbb {Q} _{p})$ $mathb {C}$ ) 또는 S $SL(3,\mathbb {Q} _{p})$ ( $SL(3,\mathbb {Q} _{p})$ $SL(3,\mathbb {Q} _{p})$ $){\displaysty SL(3,\mathb$ { $Q} _{p$ 의 C}.그것을 만족시키는 하나의 무한 재산 T-그룹을 폭로하는 것은 추측의 첫날부터 오랜 문제였다.그러나 $SL(3,\mathbb {R} )$ 집단은 $SL(3,\mathbb {R} )$ V $SL(3,\mathbb {R} )$ 라포르게가 S L (3, $){\displaystyle SL (3,\mathb {R})}$ 의 cocompact lattles가 급속한 붕괴의 속성을 가지고 $SL(3,\mathbb {R} )$ 있어 추정을 만족시킨다는 것을 보여주었기 때문에 주어졌다.
그로모프 쌍곡선 그룹과 그 하위 그룹.
비구체 집단 중에서, 이러한 추측은 J. 샤베르트, S. 에히터호프, R에 의해 2003년에 보여졌다. $거의$ 연결된 모든 그룹(예 $:$ cocompact 연결 구성요소를 가진 그룹)의 방대한 클래스와 $k=\mathbb {Q} _{p}$ 0의 $k$ $k=\mathbb {Q} _{p}$ 필드 $k$ $displaystyle k}$ 에 걸쳐 선형 대수 그룹의 $모든$ k ${\displaysty$ k $} -rational$ $k=\mathbb {Q} _{p}$ 의 모든 그룹을 위한 내포 $.$ 실제 환원집단의 중요한 하위계급에 대해서는 그 추측이 이미 1987년에 안토니우스 와세르만에 의해 보여진 바 있었다.^[1]

주사율은 디락-듀얼-디락 방식 덕분에 훨씬 더 큰 부류의 그룹으로 알려져 있다.이것은 마이클 아티야(Michael Atiyah)의 아이디어로 거슬러 올라가며, 1987년 겐나디 카스파로프에 의해 크게 보편적으로 개발되었다.주입도는 다음과 같은 등급으로 알려져 있다.

연결된 Lie 그룹 또는 가상으로 연결된 Lie 그룹의 이산 하위 그룹.
p-adic 그룹의 이산 하위 그룹.
볼릭 그룹( 쌍곡선 그룹의 특정 일반화).
컴팩트한 공간에서 어메니쉬한 액션을 인정하는 그룹.

추측을 만족하는지 여부를 알 수 없는 그룹의 가장 간단한 예는 $SL_{3}(\mathbb {Z} )$ $SL_{3}(\mathbb {Z} )$ $SL_{3}(\mathbb {Z} )$ ( $SL_{3}(\mathbb {Z} )$ ) $SL_{3}(\mathb {Z} )$ 이다 $SL_{3}(\mathbb {Z} )$

참조

^ MathSciNet 서지 데이터

Mislin, Guido & Valette, Alain (2003), Proper Group Actions and the Baum–Connes Conjecture, Basel: Birkhäuser, ISBN 0-8176-0408-1.
Valette, Alain (2002), Introduction to the Baum-Connes Conjecture, Basel: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6706-0.

외부 링크

드미트리 마츠네프의 바움-콘의 추측에 대해서.

[1] MathSciNet 서지 데이터

[1]

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