아메나블군

수학에서 어메니블 그룹은 그룹 요소에 의한 번역에 따라 불변하는 경계함수에 대한 일종의 평균 연산작용을 수행하는 국소적 소형 위상학군 G이다. G의 하위 집합에 대한 정밀하게 첨가된 측정(또는 평균)의 관점에서 본래의 정의는 바나흐-타스키 역설에 대응하여 독일어 이름 "메스바"("영어로는 측정 가능한")로 1929년 존 폰 노이만에 의해 도입되었다. 1949년 말론 M. 데이는 영어 번역 "아멘어블"을 소개했는데, 분명히 "미언"^[a]에 대한 말장난으로 보인다.

어메니빌리티 속성은 상당수의 등가 제형을 가지고 있다. 분석 분야에서 정의는 선형 함수에 관한 것이다. 이 버전을 이해하기 위한 직관적인 방법은 정규 표현에 대한 지원은 되돌릴 수 없는 표현의 전체 공간이라는 것이다.

G가 이산 위상을 갖는 이산 그룹 이론에서는 보다 간단한 정의를 사용한다. 이 설정에서, 주어진 부분집합이 G의 어떤 비율을 차지하는지 말할 수 있다면, 그룹은 수용할 수 있다.

만약 어떤 그룹이 Følner 시퀀스를 가지고 있다면 그것은 자동적으로 순응할 수 있다.

로컬 압축 그룹에 대한 정의

G를 지역적으로 콤팩트한 하우스도르프 그룹이 되게 하라. 그 후, 그것은 독특하고, 최고 수준의 좌(우) 번역 불변적인 비종교적 고리 척도인 하르 측정치를 가지고 있다는 것은 잘 알려져 있다. (G가 2차 카운트 가능한 경우 보렐 정규 척도로, G가 압축된 경우 좌우 측도가 모두 있다.) 이 측정 공간 내에서 본질적으로 경계된 측정 가능한 함수의 바나흐 공간 L^∞(G)을 고려하십시오(Haar 측정의 척도와 분명히 무관함).

정의 1. Hom(L^∞(G) R)의 선형 함수 λ은 λ이 규범 1을 가지고 있고 음이 아닌 경우 평균이라고 한다. 즉, f implies a.e.는 ≥(f) implies 0을 내포한다.

정의 2. A mean Λ in Hom(L^∞(G), R) is said to be left-invariant (respectively right-invariant) if Λ(g·f) = Λ(f) for all g in G, and f in L^∞(G) with respect to the left (respectively right) shift action of g·f(x) = f(g⁻¹x) (respectively f·g(x) = f(xg⁻¹)).

정의 3. 국소적으로 콤팩트한 하우스도르프 집단은 좌(또는 우)인바리안트 평균을 인정하는 경우 어메니블(amenable)이라고 불린다.

어메니빌리티에 대한 등가 조건

교각(1984)은 어메니빌리티에 해당하는 두 번째 카운트 가능한 로컬 컴팩트 그룹 G의 조건에 대한 포괄적인 설명을 포함한다.^[2]

• L^∞(G)에 왼쪽(또는 오른쪽) 불변 평균의 존재. 선택의 공리에 따라 달라지는 원래의 정의.
• 좌불안정한 상태의 존재. G의 경계 연속함수의 분리 가능한 좌변위 유니탈 C*-하위함수에 좌변위 상태가 있다.
• 고정 지점 속성. (분리 가능한) 국소 볼록한 위상 벡터 공간의 콤팩트 볼록 부분 집합에 연속적으로 부착하여 집단의 어떤 작용도 고정점을 가진다. 국지적으로 콤팩트한 아벨리아 집단의 경우, 마르코프-카쿠타니 고정점 정리의 결과로 이 속성이 충족된다.
• 불가해한 이중. 모든 되돌릴 수 없는 표현은 왼쪽 정규 표현 representation on L²(G)에 약하게 포함되어 있다.
• 사소한 표현. G의 사소한 표현은 왼쪽 정규 표현에 약하게 포함되어 있다.
• godment 조건. G의 모든 경계 양수 측정 μ는 μ(1) μ 0을 만족한다. 발렛은 G의 모든 연속적인 양수-적합하게 지원되는 함수 f에 대해 Δ가 모듈 함수를 나타내는 Haar 측정과 관련하여 Δf 함수가 비 음의 적분을 갖는 것을 질문하기에 충분하다는 것을 보여줌으로써 이 기준을 개선했다.^[3]
• 하루의 무증상 불협화음 상태. L¹(G)의 약한 위상에서는 ((g_n) - - φ이_n 0을 보이는 경향이 있는 것과 같이 G의 적분 1과 통합 가능한 비 음함수의 순서가_n 있다.
• 반복의 조건. G의 모든 유한(또는 소형) 부분집합 F에 대해 λ(g)φ - φ은 F의 G에 대해¹ L(G)에서 임의로 작도록 적분 1을 갖는 통합 가능한 비 음 함수 φ이 있다.
• 딕스미어의 상태. G의 모든 유한(또는 소형) 부분집합 F에 대해 L²(G)에는 단위 벡터 F가 있는데, 이렇게 하면 λ(g)f - f는 F에서 G의 L²(G)에서 임의로 작다.
• 글릭스버그-리터 조건. L¹(G)의 f에 대해 왼쪽 L¹(G)의 0과 닫힌 볼록 선체의 거리는 λ(g)f와 같다.
• ø너 조건. G의 모든 유한(또는 소형) 부분집합 F에 대해 유한 양 하르 측정치를 가진 G의 측정 가능한 부분집합 U가 존재하며, 따라서 m(U Δ gU)/m(U)은 F에서 임의로 작다.
• 렙틴의 상태. G의 모든 유한(또는 소형) 부분집합 F에 대해 유한 양 하르 측정치를 가진 G의 측정 가능한 부분집합 U가 있어 m(FU Δ U)/m(U)이 임의로 작다.
• 케스틴의 상태. G에 대한 대칭 확률 측정에 의한² L(G)에 대한 좌경련은 연산자 규범 1을 제공한다.
• 존슨의 코호몰로지 상태. 바나흐 대수 A = L¹(G)는 바나흐 대수로서 어메인할 수 있다. 즉, 바나흐 A-비모듈의 이중으로 A를 경계가 있는 파생은 내부에 있다.

이산형 그룹의 경우

어메니빌리티의 정의는 이산형 그룹의 경우, ^[4]즉 이산형 위상이 장착된 집단의 경우에 더 단순하다.^[5]

정의. 이산형 그룹 G는 다음과 같이 G의 각 하위 집합에 0부터 1까지의 숫자를 할당하는 함수인 정밀하게 첨가된 측정(평균이라고도 함)이 있는 경우 수용할 수 있다.

1. 측정치는 확률 측정값이다. G군 전체의 측정치는 1이다.
2. 이 측정치는 정밀하게 첨가된다. G의 절연 부분 집합이 상당히 많음을 감안할 때, 집합 조합의 측정치는 측정값의 합이다.
3. 측정은 좌변량이다. 부분 집합 A와 G의 요소 g가 주어진 경우, A의 측정치는 gA의 측정과 같다. (gA는 A에서 각 요소에 대한 요소 ga의 집합을 의미한다.) 즉, A의 각 요소는 왼쪽에 g로 번역된다.)

이 정의는 다음과 같이 요약할 수 있다: G는 정밀하게 첨가된 좌변량 확률 측정치를 가지고 있다면 수용할 수 있다. G의 부분집합 A를 주어진다면, 이 측정치는 질문에 답하는 것으로 생각할 수 있다: G의 무작위 요소가 A에 있을 확률은 얼마인가?

이 정의가 L^∞(G)의 정의와 같다는 것은 사실이다.

G에 측정 μ를 가지면 G에 대한 경계함수의 통합을 정의할 수 있다. 경계함수 f: G → R, 적분함수

${\displaystyle \int _{G}f\,d\mu }$

르베그 통합에서와 같이 정의된다. (Lebesgue 적분 성질의 일부는 여기서 고장나는데, 이는 우리의 측정이 미세하게 첨가되었을 뿐이기 때문이다.)

집단이 좌변량 측정치를 갖는 경우 자동으로 바이변량 측정치를 가진다. 좌변량 측정 μ를 주어진 경우 함수 μ⁻(A) = μ(A⁻¹)는 우변량 측정이다. 이 두 가지를 조합하면 다음과 같은 이항력 측정이 가능하다.

$\d 디스플레이 스타일 \nu(A)=\int _{g\in G}\mu \left(Ag^{-1}\right)\,d\mu ^{-}}$

어메니빌리티에 대한 등가 조건도 계수 가능한 이산형 그룹 in의 경우 더 단순해진다. 그러한 그룹의 경우 다음과 같은 조건이 동일하다.^[2]

• γ은 순응할 수 있다.
• γ이 (분리할 수 있는) 바나흐 공간 E에서 등각계로 작용하여 E* 불변성의 닫힌 단위 볼의 약하게 닫힌 볼록 부분집합 C를 남기는 경우, γ은 C에 고정점을 가진다.
• μ(1) = 1의 μ^∞(γ)에 좌불변성 노르말-연속 기능 μ가 있다(이것은 선택의 공리가 필요하다).
• ℓ^∞(()의 좌측 불변성 분리 가능 유니탈 C*-하위골에 좌불변성 상태 μ가 있다.
• γ (M.M. Day)에서는 g · μ_n - μ가_n 각 g에 대해 0을 나타내는 확률 측정 μs가_n 있다.
• ℓ²(()에는 단위 벡터 x가_n 있어 m(J. Dixmier)의 각 g에_n 대해 g · x - x가_n 0을 경향이 있다.
• γ(Følner)의 각 g에 대해 g · S_n Δ_n S / S가_n 0을 경향이 있는 유한 부분 집합 S가_n 있다.
• μ가 μ를 생성하는 지원의 γ에 대한 대칭 확률 측정값인 경우, μ에 의한 콘볼루션은 ℓ²(γ)에 대한 norm(Kesten)에 대한 노르말 1의 연산자를 정의한다.
• If Γ acts by isometries on a (separable) Banach space E and f in ℓ^∞(Γ, E*) is a bounded 1-cocycle, i.e. f(gh) = f(g) + g·f(h), then f is a 1-coboundary, i.e. f(g) = g·φ − φ for some φ in E* (B.E. Johnson).
• 감소된 그룹 C*-알지브라(감소된 그룹 C*-알지브라 C_r*(G) 참조)는 핵이다.
• 감소된 그룹 C*-algebra는 Quasidiangle이다(J. Rosenberg, A). 티쿠이스, S. 화이트, W. 윈터).
• γ의 폰 노이만 그룹 대수(그룹과 연관된 폰 노이만 알헤브라스 참조)는 하이퍼피나이트(A. Connes)이다.

A에 유의하십시오. Connes는 또한 연결된 어떤 국소적 소형 그룹의 폰 노이만 그룹 대수학이 초피나이트라는 것을 증명하여, 연결된 그룹의 경우에는 더 이상 마지막 조건이 적용되지 않는다.

어메니빌리티는 특정 연산자의 스펙트럼 이론과 관련이 있다. 예를 들어, 닫힌 리만 다지관의 기본 그룹은 다지관의 범용 커버의 L2 공간에 있는 라플라시안 스펙트럼의 하단이 0인 경우에만 수용할 수 있다.^[6]

특성.

• 어메니블 그룹의 모든 하위 그룹은 어메니션 가능하다.
• 어필할 수 있는 집단의 모든 요인은 어필할 수 있다.
• 어메니블 그룹에 의한 어메니블 그룹의 그룹 확장이 다시 어메니블이 된다. 특히, 무한 생산물은 필요하지 않지만, 어메니블 그룹의 유한한 직접 생산물은 어메니티 할 수 있다.
• 수용 가능한 집단의 직접적인 한계는 수용할 수 있다. 특히 어떤 집단이 어메니블 하위집단의 지시된 조합으로 쓰여질 수 있다면 어메니블이 된다.
• 어메니블 그룹은 단위화할 수 있고, 그 반대는 공개적인 문제다.
• 셀 수 있는 이산적 어메니블 집단은 오렌슈타인 이소모르피즘의 정리를 따른다.^[7][8]

예

• 유한 집단은 순응할 수 있다. 개별 정의와 함께 카운팅 측정을 사용하십시오. 더 일반적으로, 콤팩트한 그룹은 순응할 수 있다. 하르 측정치는 불변 평균(총 측정치 1)이다.
• 정수 집단은 수용할 수 있다(무한에 대한 길이 간격의 순서는 Følner 시퀀스). 그룹 Z에 시프트 인바리어트, 정밀하게 첨가된 확률 측정치의 존재도 이러한 방식으로 한-바나흐 정리로부터 쉽게 따라온다. (Sx)_i = 모든 x x^∞(Z)에 대해 x로_i+1 정의된 시퀀스 공간 space^∞(Z)에서 S를 시프트 연산자로 하고, u ∈(Z^∞)를 모든 i ∈ Z에 대해 u_i = 1로 일정 시퀀스 u = 1로 한다. y 원소 y ∈ Y:=범위(S - I)는 u로부터 1보다 크거나 같은 거리를 가진다(그렇지 않으면 y_i = x_i+1 - x는_i 양수이고 0에서 경계로 떨어져 있을 때 x는_i 경계할 수 없음). 이는 tu + y to t를 취하는 서브 스페이스 Ru + Y에 잘 정의된 노르말 원 선형 형태가 있음을 의미한다. 한-바나흐 정리에 의해 후자는 ℓ^∞(Z)에 대한 표준-원 선형 확장을 인정하며, 이는 Z에 대한 시프트-인바리ant 미세첨가 확률 측정치를 건설하는 것이다.
• 지역적으로 콤팩트한 그룹의 모든 결합 클래스에 콤팩트한 폐쇄가 있는 경우, 그 그룹은 수용할 수 있다. 이 속성을 가진 그룹의 예로는 콤팩트 그룹, 로컬 컴팩트 아벨 그룹 및 유한 결합 클래스를 가진 이산 그룹이 있다.^[9]
• 위의 직접 제한 속성에 의해, 집단은 그 집단의 모든 미세하게 생성된 하위집단이 있는 경우 충족될 수 있다. 즉, 지역적으로 적응할 수 있는 집단은 적응할 수 있다.
  • 미세하게 생성된 아벨리아 집단의 근본적인 정리에 의해 아벨리아 집단은 순응할 수 있다는 것을 따른다.
• 위의 확장 속성에서 집단이 유한 지수 어메니블 서브그룹을 가지고 있다면 어메니션할 수 있다는 것을 따른다. 즉, 사실상 순응할 수 있는 집단은 순응할 수 있다.
• 게다가, 모든 해결 가능한 집단은 순응할 수 있다.

위의 모든 예는 기본적인 수긍이 가능하다. 아래 제1종류의 예시는 중간 성장의 집단이 존재하기 때문에 비원소적 어메니션 예시를 나타내는데 사용할 수 있다.

• 최종적으로 생성된 하위 성장 그룹은 수용할 수 있다. 볼의 적절한 반복은 ø너 시퀀스를 제공할 것이다.^[10]
• 정확히 생성된 무한 단순 그룹은 기본 어메니블 그룹을 구성하는 데 사용되는 부트스트랩 구조로는 얻을 수 없다. 주스첸코와 모노드 때문에, 이러한 단순한 집단이 존재하기 때문에,^[11] 이것은 다시 비원소적인 어메니블의 예를 제공한다.

무표본

계산할 수 있는 이산형 그룹이 두 개의 발전기에 a (아벨라벨이 아닌) 자유 하위 그룹을 포함하는 경우, 이는 수정할 수 없다. 이 진술의 반대는 1980년 올샨스키가 타르스키 몬스터를 이용해 반증한 이른바 폰 노이만 추측이다. 아디얀은 그 후 무료 번사이드 집단은 주기적이기 때문에 두 개의 발전기에 있는 자유 집단을 포함할 수 없다는 것을 보여주었다. 이 그룹들은 미세하게 생성되지만, 미세하게 제시되지는 않는다. 그러나 2002년에 사피르와 올샨스키이는 정확하게 제시된 백반샘플을 발견했다: 정수와 함께 주기적인 정규 부분군을 가지는 비아멘틱 그룹이다.^[12]

그러나 미세하게 생성된 선형 그룹의 경우, 폰 노이만 추측은 Tits 대안에 의해 참이다:^[13] k 필드가 있는 GL(n,k)의 모든 부분군은 유한 지수의 정규적인 해결 가능한 부분군을 가지고 있거나(따라서 조정 가능), 두 개의 발전기에 자유 그룹을 포함하고 있다. 비록 Tits의 증거는 대수 기하학을 사용했지만, 기바르크는 나중에 V에 기초한 분석적 증거를 발견했다. 오셀레데트의 승법적 에고다이크 정리.^[14] Tits 대안의 유사성은 비양성 곡률의 2차원 단순화 콤플렉스의 기본 그룹과 같은 많은 다른 종류의 그룹들에 대해 입증되었다.^[15]

참고 항목

• 균일 경계 표현
• 카즈단 재산(T)
• 폰 노이만 추측

메모들

인용구

원천

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 어메니블 그룹의 자료가 통합되어 있다.

외부 링크

• 테리 타오의 어메니빌리티에 대한 몇 가지 참고 사항