그룹 그래프

Graph of groups

기하학적 그룹 이론에서 그룹의 그래프는 그래프의 꼭지점과 가장자리로 색인화된 그룹의 집합과 함께 가장자리 그룹의 정점 그룹들로 구성된 개체다.그룹의 각 유한 연결 그래프와 표준적으로 연관된, 기본 그룹이라고 불리는 독특한 그룹이 있다.그것은 나무에서 방향을 유지하는 작용을 인정한다: 그룹의 원래 그래프는 지수 그래프와 스태빌라이저 하위 그룹에서 복구할 수 있다.흔히 '바스-세레 이론'이라고 불리는 이 이론은 하이만 바스와 장 피에르 세레의 작품 때문이다.

정의

그래프 Y 위에 있는 그룹의 그래프는 그룹 G의x Y의 각 꼭지점 x와 그룹 G의y Y의 각 가장자리 Y에 대한 할당이며, 단모형 φ과y,0 φy,1 매핑 G는y 그 끝의 꼭지점에 할당된 그룹에 대한 할당이다.

기본군

T를 Y의 스패닝 트리가 되게 하고, 다음과 같은 관계를 가진 Y의 각 가장자리에 대해 꼭지 그룹 G와x 요소 y에 의해 생성되는 그룹이 되는 기본 그룹 define을 정의한다.

  • y = y가 역방향의 에지 y인 경우 y−1.
  • yy φy,0(x) y−1 = g의 모든 x에 대한 φy,1(x)
  • y = 1(Y가 T의 에지인 경우)

이 정의는 T의 선택과 무관하다.

히긴스(1976년)가 나타낸 것처럼 그룹 그래프의 기본 그룹노이드(groupoid)를 정의할 때의 이점은 기준점이나 나무와는 독립적으로 정의된다는 것이다.또한 근본적인 그룹화 원소들을 위한 좋은 정상적인 형태가 있다는 것이 증명되었다.여기에는 합병을 포함한 무료 제품과 HNN 확장(Bass 1993)에 대한 일반적인 형태의 이론이 포함된다.

구조 정리

γ을 신장 트리 T에 해당하는 기본 그룹이 되게 한다.모든 꼭지점 x와 에지 y에 대해 G와x G는y γ에서 그들의 이미지로 식별할 수 있다.모든 코제트 공간 //G와x //G의y 분리 결합을 각각 정점과 가장자리가 있는 그래프를 정의할 수 있다.이 그래프는 universal이 작용하는 범용 덮개 나무라고 불리는 나무다.그것은 그래프 Y를 기본 도메인으로 인정한다.기본 영역에서 스태빌라이저 하위 그룹이 제공한 그룹의 그래프는 그룹의 원래 그래프와 일치한다.

예

  • 한 개의 가장자리와 두 개의 꼭지점이 있는 그래프의 그룹 그래프는 결합이 있는 자유 상품에 해당한다.
  • 루프가 있는 단일 꼭지점의 그룹 그래프는 HNN 확장에 해당한다.

일반화

그룹의 그래프를 가장 간단하게 일반화하는 것은 2차원적인 그룹의 복합체다.이것들은 CAT(0) 공간의 구조를 가진 2차원 단순 복합체에서 개별 집단의 적절한 불연속 작용으로 발생하는 오비폴드를 모델로 한다.단순화 단지의 지수는 정점, 가장자리 및 삼각형에 부착된 유한 스태빌라이저 집단을 모든 단순화 포함에 대한 단모형과 함께 가지고 있다.복합단지는 CAT(0) 간이단지의 지수로 발생한다면 개발이 가능하다고 한다.개발가능성은 그룹의 복잡성에 대한 비양성 곡률 조건이다. 정점 링크에서 발생하는 모든 회로의 길이가 최소 6개인지 확인함으로써 국소적으로 검증할 수 있다.이러한 집단의 콤플렉스는 원래 2차원 브루하트–이론에서 생겨났다.건물들; 그들의 일반적인 정의와 지속적인 연구는 그로모프의 아이디어에 의해 영감을 받았다.

참고 항목

참조

  • Bass, Hyman (1993), "Covering theory for graphs of groups", Journal of Pure and Applied Algebra, 89 (1–2): 3–47, doi:10.1016/0022-4049(93)90085-8, MR 1239551.
  • Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999), Metric Spaces of Non-Positive Curvature, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 319, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64324-9, MR 1744486.
  • Dicks, Warren; Dunwoody, M. J. (1989), Groups Acting on Graphs, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 17, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-23033-0, MR 1001965.
  • Haefliger, André (1990), "Orbi-espaces [Orbispaces]", Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (Bern, 1988), Progress in Mathematics (in French), vol. 83, Boston, MA: Birkhäuser, pp. 203–213, ISBN 0-8176-3508-4, MR 1086659
  • Higgins, P. J. (1976), "The fundamental groupoid of a graph of groups", Journal of the London Mathematical Society, 2nd Series, 13 (1): 145–149, doi:10.1112/jlms/s2-13.1.145, MR 0401927
  • Scott, Peter; Wall, Terry (1979), "Topological Methods in Group Theory", Homological Group Theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 36, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 137–203, ISBN 0-521-22729-1, MR 0564422.
  • Serre, Jean-Pierre (2003), Trees, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-44237-5, MR 1954121. 존 스틸웰이 "아브레스, 아말게임스, SL2"에서 번역한 것으로 하이만 배스의 3판 아스테리스케 46(1983)의 합작으로 쓰여졌다.I.5장을 참조하십시오.