고전파

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

수학에서 고전적인 단체들은 특별한 선형 그룹들은 reals R복소수 C도 주고 사원 법 H에 따라 달라져함께 또는 비대칭의 대칭 쌍일차 방정식의 형태와 에르 미트 행렬의. 또는skew-Hermitiansesquilinear 형태, 복잡하고,quaternionic 진정한 유한 차원의. 벡터에 정의된 special[1]자기 동형 단체들과. 스파ces.^[2] 이 중 복잡한 고전적 거짓말 그룹은 4개의 무한 거짓말 그룹이다. 예외적인 그룹과 함께 단순한 거짓말 그룹의 분류를 소모한다. 콤팩트한 클래식 그룹은 콤팩트한 실제 형태의 복잡한 클래식 그룹이다. 고전파 그룹들의 유한한 유사성은 리 유형의 고전파 그룹이다. "클래식 그룹"이라는 용어는 헤르만 바일이 1939년 쓴 모노그래프 The Classic Groups의 제목이다.^[3]

고전 그룹들은 선형 눕는 그룹의 주제에서 가장 깊고 유용한 부분을 형성한다.^[4] 대부분의 고전 그룹들은 고전 물리학과 현대 물리학에 응용할 수 있다. 몇 가지 예는 다음과 같다. 회전 그룹 SO(3)는 유클리드 공간과 모든 물리학의 기본 법칙의 대칭이며, 로렌츠 그룹 O(3,1)는 특수 상대성의 스페이스타임의 대칭 그룹이다. 특수 단일 그룹 SU(3)는 양자 색역학의 대칭 그룹이며, 공통 그룹 Sp(m)는 해밀턴 역학과 그것의 양자 기계적 버전에서 응용을 찾는다.

고전파 그룹

고전 그룹들은 정확히 R, C, H 위에 있는 일반 선형 그룹과 함께 아래에서 논의되는 비 탈구형 형태의 자동 형태 그룹이다.^[5] 이러한 그룹은 대개 결정인자가 1인 하위그룹으로 추가적으로 제한되어 그 중심이 분리된다. 결정인자 1 조건을 가진 고전 그룹들은 아래 표에 열거되어 있다. 후속편에서 결정요인 1 조건은 더 큰 일반성을 위해 일관성 있게 사용되지 않는다.

이름	그룹	밭	형태	막시말 콤팩트 부분군	거짓말 대수학	루트 시스템
특수선형	SL(n, R)	R	-	SO(n)
복합특수선형	SL(n, C)	C	-	SU(n)	콤플렉스	${\displaystyle \color {Blue}A_{m},n=m+1}$
쿼터니온 특수 선형	SL(n, H) = SU∗(2n)	H	-	Sp(n)
(무정) 특수직교	SO(p, q)	R	대칭	S(O(p) × O(q)
복합특수직교	SO(n, C)	C	대칭	SO(n)	콤플렉스	${\displaystyle \color {Blue}{\begin{case}B_{m},&n=2m+1\\\D_{m},&n=2m\end{case}}}$
심플렉틱	Sp(n, R)	R	스큐 대칭	U(n)
복합공감소학	Sp(n, C)	C	스큐 대칭	Sp(n)	콤플렉스	${\displaystyle \color {Blue}C_{m}n=2m}$
(무정) 특수 단일병리	SU(p, q)	C	에르미트어	S(U(p) × U(q)
(무정) 쿼터니온 단일하수체	Sp(p, q)	H	에르미트어	Sp(p) × Sp(q)
쿼터니온직교	SO∗(2n)	H	스큐헤르미티안	SO(2n)

복합 클래식 그룹은 SL(n, C), SO(n, C), Sp(n, C)이다. 그룹은 그것의 리 대수학이 복잡한지에 따라 복잡하다. 어떤 리 대수학이라도 실제 대수학이기 때문에 진정한 고전 그룹은 모든 고전 그룹들을 가리킨다. 콤팩트한 클래식 그룹은 콤팩트한 실제 형태의 복잡한 클래식 그룹이다. 이들은 차례로 SU(n), SO(n), Sp(n)이다. 콤팩트 리얼 형태의 한 가지 특성화는 리 대수 g에 관한 것이다. g = u + iu, u의 복잡화, 그리고 {exp(X): X ∈ u}이(가) 생성한 연결된 그룹 K가 콤팩트하면 K는 콤팩트한 실체형이다.^[6]

고전 그룹들은 실제 형태를 사용하여 한결같이 다른 방식으로 특징지어질 수 있다. 고전적 그룹(여기에 결정요인 1 조건이 있지만 이 조건은 필요하지 않음)은 다음과 같다.

복합 선형 대수학에서는 SL(n, C), SO(n, C), Sp(n, C)를 실제 형태와 함께 분류한다.^[7]

예를 들어 SO^∗(2n)는 SO(2n, C)의 실제 형태, SU(p, q)는 SL(n, C)의 실제 형태, SL(n, H)은 SL(2n, C)의 실제 형태다. 결정 요인 1 조건이 없으면 특수 선형 그룹을 특성화에서 해당 일반 선형 그룹으로 교체하십시오. 문제의 대수학 그룹은 리 그룹이지만, "실제 형태"라는 올바른 개념을 얻기 위해서는 "알제브라틱" 한정자가 필요하다.

이선형 및 육선형

고전 그룹은 Rⁿ, C, H에ⁿⁿ 정의된 형태로 정의되며, 여기서 R과 C는 실제와 복잡한 숫자의 영역이다. 쿼터니온인 H는 곱셈이 통근하지 않기 때문에 필드를 구성하는 것이 아니다; 그들은 분할 링이나 꼬치 필드 또는 비확정 필드를 형성한다. 그러나 매트릭스 쿼터니온 그룹을 정의하는 것은 여전히 가능하다. 이러한 이유로, 벡터 공간 V는 아래의 H뿐만 아니라 R, C에 걸쳐 정의될 수 있다. H의 경우, V는 R과 C와 마찬가지로 왼쪽에서 매트릭스 곱셈으로 그룹 작용을 표현할 수 있도록 하는 오른쪽 벡터 공간이다.^[8]

형식 φ: F = R, C 또는 H에 대한 일부 유한 차원 우측 벡터 공간의 V × V → F가 이선형인 경우

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}$ and if

${\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}$

이 경우 sesquilinar라고 한다.

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )={\bar {\alpha }}\varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}$ and if :${\displaystyle \phi (x_1+x_2,y_1+y_2)=\phi (x_1,y_1)+\phi (x_1,y_2)+\phi (x_2,y_1)+\phi }$${\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2})\forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}$

이러한 관습은 고려된 모든 경우에 적용되기 때문에 선택된다. φ의 자동형성은 V의 선형 연산자 집합에서 다음과 같은 방법으로 지도 α이다.

${\displaystyle \varphi(Ax,Ay)=\varphi(x,y)\quad \all x,y\in.}$

(1)

autom의 모든 자동화 집합은 그룹을 형성하며, Aut(오토피즘)을 나타내는 autom의 자동화 집단이라고 불린다. 이는 고전적 집단의 예비적 정의로 이어진다.

고전 그룹은 R, C 또는 H에 걸쳐 유한 차원 벡터 공간에 이선형 또는 이선형 형태를 보존하는 그룹이다.

이 정의에는 약간의 중복성이 있다. F = R의 경우 이린어는 sesquinerine과 동일하다. F = H의 경우 0이 아닌 이선형식이 없다.^[9]

대칭, 스큐 대칭, 에르미트어 및 스큐-헤르미티아어

형태는 다음과 같은 경우 대칭이다.

$\displaystyle \varphi(x,y)=\varphi(y,x)}$

다음과 같은 경우 스큐 대칭이다.

$\displaystyle \varphi(x,y)=-\varphi(y,x)}$

라고 하면 에르미트인이다.

${\displaystyle \varphi(x,y)={\overline {\varphi(y,x)}}$

마지막으로 skew-Hermitian 입니다.

${\displaystyle \varphi(x,y)=-{\overline {\varphi(y,x)}}}$

이선형식 φ은 특이하게 대칭형식과 대칭형식의 합이다. φ을 보존하는 변환은 두 부분을 따로 보존한다. 따라서 대칭과 대칭대칭 형태를 보존하는 집단은 별도로 연구할 수 있다. 에르미트어 및 스큐-헤르미티아어 양식에도 동일한 내용을 준용한다. 이 때문에, 분류의 목적상, 순수하게 대칭, 스큐 대칭, 에르미티아어, 스큐-헤르미티아어 형식만 고려한다. 일반적인 형태의 형태는 특정한 적절한 베이스 선택과 일치한다. 이것들은 좌표에서 다음과 같은 정상적인 형태를 제공하는 베이스들이다.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\text{bilinar symmetric form in (pseudo-)정형 기준:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }\xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\pm \cdots \pm \xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {R} )\\{\text{Bilinear symmetric form in orthonormal basis:}}}\quad \varphi(x,y)={}&\xi _{1}\eta_{1}+\xi _{2}+\cdots +\xi _{n}\n}&(\mathbf {C})\\\text{Bilinere sk-sy-symmetric:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}+\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}\\&-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}-\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},&&(\mathbf {R} ,\mathbf {C} )\\{\text{Sesquilinear Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }{\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\pm \cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n},&&(\mathbf {C} ,\mathbf {H} )\\{\text{Sesquilinear skew-Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}+\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},&&(\mathbf {H} )\end{aligned}}}$

스큐-헤르미티아 형식에 있는 j는 이러한 기지의 존재 증명과 실베스터의 관성 법칙에 대한 기초(1, i, j, k)의 세 번째 기본 요소로서 대칭과 에르미타 형식에서 플러스 마이너스 부호, p, q의 수의 독립성은 물론 각 표현에서 필드의 유무도 로에서 찾아볼 수 있다.ssmann(2002년) 또는 Goodman & Wallach(2009년). 쌍(p, q)과 때로는 p - q를 양식의 서명이라고 한다.

필드 R, C, H의 발생에 대한 설명: H에 대한 비교 이선형식은 없다. 대칭 이선형의 경우 R 위에 있는 양식만 서명을 가진다. 즉, "서명"(p, q)이 있는 복잡한 이선형식은, 근거의 변경에 의해, 위의 표현에서 모든 기호가 "+"인 형태로 축소될 수 있는 반면, p - q가 이 형식에 넣을 때 근거와는 독립적으로 되는 실제의 경우에는 이것이 불가능하다. 그러나, 에르미타르의 형태는 콤플렉스 사례와 쿼터니온 사례에서 모두 기본 독립 서명이 있다. (실제 케이스는 대칭 케이스로 감소) 복잡한 벡터 공간에 있는 스큐-헤르미티아어 형태는 나에 의해 곱셈에 의해 에르미티아어로 표현되기 때문에 이 경우 H만이 흥미롭다.

자동형성군

첫 번째 절은 일반적인 틀을 제시한다. 다른 섹션은 R, C, H에 걸쳐 유한차원 벡터 공간에서 이린과 세실린의 자동형성 그룹으로 발생하는 질적으로 다른 사례들을 소진한다.

자동(자동) – 자동형성 그룹

φ은 R, C 또는 H 위에 있는 유한 차원 벡터 공간 V의 비감소 형태라고 가정한다. 자동형성 그룹은 조건 (1)에 근거하여 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathrm {Aut}(\varphi )=\{A\in \mathrm {GL}(V):\varphi(Ax,Aay)=\varphi(x,y),\quad \forall x,y\in V\}.}$

모든 A ∈ M_n(V)은 다음에 의해 정의된 φ과 관련하여 A를^φ 조정한다.

$\displaystyle \varphi(Ax,y)=\varphi(x,A^{\varphi }y)\qquad x,y\in V.}$

(2)

조건 (1)에서 이 정의를 사용하여 자동형성 그룹은 다음과 같이 주어지는 것으로 보인다.

${\displaystyle \operatorname {Aut}(\varphi )=\{A\in \operatorname {GL}(V):A^{\varphi }A=1\}}$[10]

(3)

V에 대한 기준을 정하십시오. 이 기준으로 볼 때, put

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sum \xi _{i}\varphi _{ij}\eta _{j}}}}$

여기서 ξ_i, η은_j x, y의 성분이다. 이것은 양면 형태에 적합하다. sesquilinar 형식은 유사한 표현을 가지고 있으며 나중에 별도로 처리된다. 행렬 표기법에서 찾을 수 있음

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T}}\Phi y}$

그리고

${\displaystyle A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T}}\Phi }$[11]

(4)

(2)부터 여기서 φ은 행렬( ()이다_ij. 비감소 조건은 φ이 정확하게 변위할 수 없으므로 조정은 항상 존재함을 의미한다. 이것으로 표현된 자동(초기화)이

${\displaystyle \operatorname {Aut}(\varphi )=\left\{A\in \operatorname {GL}(V):\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi A=1\right\}.}$

자동형 집단의 Lie 대수 aut(automorphism)은 즉시 기록할 수 있다. 추상적으로, X ∈ auto(complete) if and only if.

${\displaystyle (e^{tX})^{\varphi }e^{tX}=1}$

모든 t에 대하여, 리알헤브라의 지수적 매핑에 따른 (3)의 조건에 대응하여, 다음과 같이 한다.

${\displaystyle {\mathfrak {aut}(\varphi )=\왼쪽\{X\in M_{n}(V):X^{\varphi }=-X\right\}}}$

또는 어떤 기준으로

${\displaystyle {\mathfrak {aut}(\varphi )=\왼쪽\{X\in M_{n}(V):\Phi ^{-1}X^{\mathrm {T} }\Phi =-X\right\}}}$

(5)

지수 매핑의 파워 시리즈 확장 및 관련 연산의 선형성을 사용하는 것으로 보인다. 반대로 X ∈ auto(computer)라고 가정한다. 그런 다음 위의 결과를 사용하여 φ(Xx, y) = φ(x, Xy^φ) = -φ(x, Xy) = -φ(x, Xy)이다. 따라서 Lie 대수학은 다음과 같이 근거나 부차적인 것을 참조하지 않고 특징지어질 수 있다.

${\displaystyle {\mathfrak {aut}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\varphi(x,y)=-\varphi(x, Xy),\quad \forall x,y\in V\}.}$

φ의 정상적인 형태는 아래의 각 고전 그룹별로 주어질 것이다. 그 정상적인 형태에서 매트릭스 Ⅱ를 직접 읽어낼 수 있다. 따라서 조정과 리알헤브라의 표현은 공식 (4)과 (5)을 사용하여 얻을 수 있다. 이것은 대부분의 비종교적 사례에서 아래에 설명되어 있다.

바이린린 케이스

형태가 대칭일 때는 O(오토)라고 한다. 스큐 대칭인 경우, Aut(φ)를 Sp(φ)라고 한다. 이것은 실제 사례와 복잡한 사례에 적용된다. 쿼터니온 벡터 공간에는 0이 아닌 이선형식이 존재하지 않기 때문에 쿼터니온 케이스가 비어 있다.^[12]

리얼 케이스

실제의 경우는 대칭과 대칭형의 두 가지 경우로 나뉘는데, 대칭 형태는 별도로 취급해야 한다.

O(p, q) 및 O(n) – 직교 그룹

φ이 대칭이고 벡터 공간이 실제인 경우에는 다음과 같은 근거를 선택할 수 있다.

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm \xi _{1}\eta _{1}pm \cdots \pm \xi _{n}\eta _{n}.}$

플러스 부호와 마이너스 부호의 수는 특정 기준과 무관하다.^[13] V = R의ⁿ 경우 O(수치) = O(수치) = O(p, q)를 쓴다. 여기서 p는 더하기 부호의 수, q는 빼기 부호의 수, p + q = n. q = 0이면 표기법은 O(n)이다. 매트릭스 Ⅱ는 이 경우에 있다.

${\displaystyle \Phi =\왼쪽({\begin{matrix})I_{p}&0\\\0&-I_{q}\end{matrix}\오른쪽)\equiv I_{p,q}$

필요한 경우 기본값을 재주문한 후 그러면 조정 작업(4)이 다음이 된다.

${\displaystyle A^{\varphi }=\왼쪽({\begin{matrix})I_{p}&0\\\0&-I_{q}\end{matrix}\오른쪽)\왼쪽({\begin{matrix}A_{11}&\cdots \\\cdots &A_{nn}\end{matrix}\오른쪽)^{\mathrm {T}}\왼쪽({\begin{matrix})I_{p}&0\\\0&-I_{q}\end{matrix}\오른쪽),}$

p 또는 q가 0일 때 일반적인 전치(transpose)로 감소한다. 리 대수학은 방정식 (5)과 적절한 안사츠를 사용하여 발견된다(이것은 아래의 Sp(m, R)의 경우에 상세하다).

${\displaystyle {\mathfrak{o}(p,q)=\왼쪽\{\왼쪽).\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Y_{p\times q}\\Y^{\mathrm {T} }&W_{q\times q}\end{matrix}\right)\오른쪽 X^{\mathrm {T}}=-X,\quad W^{\mathrm {}}=W\right\}}}}}$

그리고 (3)에 따른 그룹은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {O}(p,q)=\{g\in \mathrm {GL}(n,\mathb {R}) I_{p,q}^{-1g^{\mathrm {T}{{I_{p,q=I\}}}}}}$

그룹 O(p, q)와 O(q, p)는 지도를 통해 이형이다.

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)\rightarrow \mathrm {O} (q,p),\quad g\rightarrow \sigma g\sigma ^{-1},\quad \sigma =\left[{\begin{smallmatrix}0&0&\cdots &1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right].}$

예를 들어 로렌츠 그룹의 Lie 대수학(Lie 대수학)은

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)=\mathrm {span} \left\{\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{}smallmatrix 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 1\\0&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0&, 0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 1\\0&, 0&, 1&, 0\end{smallmatrix}}\right)\right\}.}$

자연스럽게 q 블록이 왼쪽(또는 다른 블록) 위가 되도록 재배열이 가능하다. 여기서 "시간 성분"은 물리적 해석에서 네 번째 좌표로 끝나며, 더 일반적인 첫 번째 좌표는 아니다.

Sp(m, R) – 실제 공감 그룹

φ이 스큐대칭이고 벡터공간이 실재하면 주기가 있다.

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}$

여기서 n = 2m. 자동(2m, R)의 경우 Sp(sp) = Sp(V)라고 표기한다. V = Rⁿ = R = R인^2m 경우 Sp(m, R) 또는 Sp(2m, R)로 표기한다. 일반적인 형태에서 읽으면 지워진다.

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}0_{m}&)I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}\오른쪽)=J_{m}}$

안사츠를 만들어서

${\displaystyle V=\왼쪽({\begin{matrix}X&)Y\\Z&W\end{매트릭스}\오른쪽),}$

여기서 X, Y, Z, W는 m-차원 행렬이며 (5)를 고려한다.

${\displaystyle \left({\begin{matrix}0_{m}&-I_{m}\\I_{m}&0_{m}\end{matrix}\오른쪽)\왼쪽({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}\오른쪽)^{\mathrm {T}}\왼쪽({\begin{matrix}0_{m}>I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}\right)=-\좌측({\begin{matrix}X>Y\\Z&W\end{매트릭스}\오른쪽)}$

Sp(m, R)의 Lie 대수학을 찾는다.

${\displaystyle {\mathfak {sp}(m,\mathb {R} )=\{X\in M_{n}(\mathb {R}):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\ft.\left({\begin{matrix}X&Y\\\Z&-X^{\mathrm {T}}\end{matrix}\right)\오른쪽 Y^{\mathrm {T}=Y,Z^{\mathrm {T}}}}=Z\right\}}}}\matrmatrmaterm {T}}}$

그리고 그 그룹은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {Sp}(m,\mathb {R})=\{g\in M_{n}(\mathb {R}) g^{\mathrm {T}{{m}g=J_{m}\}\}.}$

콤플렉스 케이스

실제 사례와 마찬가지로 각자가 고전파 집단을 형성하는 대칭과 대칭대칭의 두 가지 경우가 있다.

O(n, C) – 복합직교군

사례 φ이 대칭이고 벡터 공간이 복잡한 경우, 기초

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{1}\cdots +\xi _{n}\eta _{n}}}}$

오직 플러스 값만 사용할 수 있다. 자동형성 집단은 O(n, C)라고 하는 V = C의ⁿ 경우에 속한다. 거짓말 대수학은 o(p, q)에 대한 그것의 특별한 경우일 뿐이다.

${\displaystyle {\mathfrak {o}(n,\mathb {C})={\mathfrak{so}}(n,\mathb {C})=\X^{\mathrmat{T}}}}=-X\}}}$

그리고 그 그룹은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {O}(n,\mathb {C} )=\{gg^{\mathrm {T}}}}g=I_{n}\}.}$

단순 리알헤브라의 분류에 있어서, so(n)는 루트 시스템_n B가 있는 n 홀수와 루트 시스템 D가_n 있는 n의 부류로 나뉜다.

Sp(m, C) – 복합 공감 그룹

φ skew-symmetric과 벡터 공간 콤플렉스의 경우, 동일한 공식,

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}$

실제 사례와 같이 적용된다. 자동(2m, for)의 경우 Sp(φ) = Sp(V)를 쓴다. V = ℂⁿ = ℂ = ℂ인^2m 경우 Sp(m, ℂ) 또는 Sp(2m, ℂ)를 쓴다. Lie 대수학은 sp(m, Ⅱ)와 유사하다.

${\displaystyle {\mathfak {sp}(m,\mathb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathb {C}):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\ft.\left({\begin{matrix}X&Y\\\Z&-X^{\mathrm {T}}\end{matrix}\right)\오른쪽 Y^{\mathrm {T}=Y,Z^{\mathrm {T}}}}=Z\right\}}}}\matrmatrmaterm {T}}}$

그리고 그 그룹은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {Sp}(m,\mathb {C})=\{g\in M_{n}(\mathb {C}) g^{\mathrm {T}{{m}g=J_{m}\}\}.}$

세스키린 케이스

분할된 경우, 기초적인 관점에서 형태에 대해 약간 다른 접근방식을 취한다.

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sum {\bar {\xi }}{i}\varphi _{i}\ij}\eta _{j}.}$

수정되는 다른 표현들은

$\displaystyle \varphi (x,y)=x^{*}\Phi y,\qquad A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{*}\Phi ,}$^[14]

${\displaystyle \operatorname {Aut}(\varphi )=\{A\in \operatorname {GL}(V):\Phi ^{-1}A^{*}\Phi A=1\}}$

${\displaystyle {\mathfrak {aut}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\Phi ^{-1}X^{*}\Phi =-X\}.}$

(6)

물론 실제 사례는 새로운 것을 제공하지 않는다. 콤플렉스와 쿼터니오닉 케이스는 아래에서 검토될 것이다.

콤플렉스 케이스

질적인 관점에서 보면, 스큐-헤르미티아 형식에 대한 고려는 새로운 집단을 제공하지 않는다; 나에 의한 곱셈은 스큐-헤르미티아 형식을 렌더링하며, 그 반대의 경우도 마찬가지다. 따라서 은둔자의 경우만 고려할 필요가 있다.

U(p, q) 및 U(n) – 단일 그룹

퇴화되지 않은 은둔자의 형태는 정상적인 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle \varphi(x,y)=\pm {\xi _{1}\eta_{1}pm {\bar {\xi _{2}}\eta_{2}\cdots \pm {\bar _{n}}\cdata _{n}.}$

이선형 사례에서와 같이 서명(p, q)은 근거와 무관하다. 자동형성 그룹은 U(V), 또는 V = Cⁿ, U(p, q)로 표시된다. q = 0이면 표기법은 U(n)이다. 이 경우 φ은 형식을 취한다.

${\displaystyle \Phi =\왼쪽({\begin{matrix}1_{p}&0\\\0&-1_{q}\end{matrix}\오른쪽)==I_{p,q}}$

그리고 Lie 대수학은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\mathfrak{u}(p,q)=\왼쪽\{\왼쪽).\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Z_{p\times q}\\{\overline {Z_{p\times q}}}^{\mathrm {T} }&Y_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right {\overline {X}}^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=-Y\right\}.}$

그룹은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {U}(p,q)=\{g I_{p,q}^{-1}g^{*}}I_{p,q=I\}}$

여기서 g는 일반 n x n 복합 행렬이고 $g{\displaystyle {}^{}}$∗ ${\$는 g의 결합 전치(congate transpose)로 정의되는데$$, 물리학자들은 $이$를 g ${\displaystyle {†}^{}}$ ${\$ g$^{\property }$라고 부른다$.$

비교로서, 유니티 매트릭스 U(n)는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathrm {U}(n)=\{gg^{*g=I\}}$

$U{\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \mathrm {U}(n)}$이(가) U ${\displaystyle (\mathrm{n}}$, 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrmat {U}(n,0)}$과(와) 같다는$$ 점에 유의하십시오.

쿼터니온 케이스

공간 H는ⁿ H에 대한 우측 벡터 공간으로 간주된다. 이렇게 하면, A(vh) = (Av)h는 quaternion h, quaternion column v 및 quaternion matrix A에 대한 것이다. 만약ⁿ H가 H에 대한 좌 벡터 공간이라면, 선형성을 유지하기 위해서는 오른쪽의 행 벡터로부터 행렬 곱셈이 필요할 것이다. 이것은 기본이 주어질 때 벡터 공간에 있는 그룹의 일반적인 선형 연산과 일치하지 않는데, 이것은 열 벡터의 왼쪽에서 매트릭스 곱셈이다. 따라서 V는 H에 대한 우측 벡터 공간이다. 그렇더라도 H의 비확실성 때문에 주의해야 한다. 복잡한 표현이 사용될 것이기 때문에 (대부분 명백하게) 세부사항은 생략된다.

쿼터니온 그룹을 다룰 때 복잡한 2×2 매트릭스를 사용하여 쿼터니온을 표현하는 것이 편리하다.

${\displaystyle q=a\mathrm {1} +b\mathrm {i} +c\mathrm {j} +d\mathrm {k} =\alpha +j\beta \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}=Q,\quad q\in \mathbb {H} ,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {C} .}$[15]

(7)

이 표현과 함께, 퀀터니온의 곱셈은 행렬의 곱셈이 되고, 퀀터니온의 결합은 은둔자의 연대가 된다. 더욱이 복잡한 인코딩 q = x + jy에 따른 쿼터니온이 컬럼 벡터(x, y)로 주어진다면 쿼터니온의 행렬 표현에 의한 왼쪽으로부터의 곱셈은 정확한 쿼터니온을 나타내는 새로운 컬럼 벡터를 생성한다.^T 이 표현은 쿼터니언 기사에서 발견되는 더 일반적인 표현과는 약간 다르다. 더 일반적인 관습은 같은 것을 성취하기 위해 행 매트릭스 위에서 오른쪽의 곱셈을 강요할 것이다.

우발적으로 위의 표현은 단위 쿼터니온 그룹(αα + β = 1 = det Q)이 SU(2)에 대해 이형성이라는 것을 분명히 한다.

quaternionic n×n-매트릭스는, 명백한 확장에 의해, 복잡한 숫자의 2n×2n 블록 매트릭스로 표현될 수 있다.^[16] 위의 인코딩에 따라 복잡한 숫자의 2n×1 열 벡터에 의해 quaternionic n×1 열 벡터를 나타내는데 동의한다면, 상위 n 번호는 α이고_i 하위 n β는_i β인 quaternionic n×n-matrix가 위에 주어진 형태의 복합 2n×2n-matrix가 되지만, 지금은 α와 βn-matris가 된다. 좀 더 형식적으로

${\displaystyle \left(Q\right)_{n\time n=\left(X\right)_{n\time n}+\mathrm {j}\j}\reft(Y\right)_{n\be{matrix}X&-{\bar}\\\\\\\\\\}Y&{\bar {{X}\end{matrix}\오른쪽)_{2n\time 2n}.}$

(8)

매트릭스 T gl GL(2n, C)은 JT_n = TJ인_n 경우에만 (8)에 표시되는 형태를 가진다. 이런 신분증들로는

${\displaystyle \mathb {H} ^{n}\mathb {C} ^{2n},M_{n}(\mathb {H})\mattle \{\left.T\in M_{2n}(\mathb {C})\오른쪽 J_{n}T={\overline{T}J_{n},\quad J_{n}=\left({\begin{matrix}0>I_{n}\\-I_{n}&0\end{매트릭스}\right\}\right\}}$

공간 M_n(H) ⊂ M_2n(C)은 실제 대수학이지만, M_2n(C)의 복잡한 하위공간은 아니다. 항목별 쿼터니온 곱셈을 사용한_n 다음 M_2n(C)의 이미지에 매핑하는 M(H)에서 i에 의한 곱셈(왼쪽부터)은_2n M(C)에서 직접 항목별 곱셈과는 다른 결과를 산출한다. 쿼터니온 곱셈 규칙은 새로운 X와 Y가 괄호 안에 있는 i(X + jY) = (iX) + j(-iY)를 준다.

Quaternionic 벡터에 대한 Quaternionic 매트릭스의 작용은 현재 복잡한 양으로 표현되지만, 그렇지 않으면 "일반적인" 매트릭스 및 벡터에 대한 작용과 동일하다. 따라서 Quaternionic 그룹은 M_2n(C)에 내장되며, 여기서 n은 Quaternionic 행렬의 치수다.

이 표현에서 쿼터니온 행렬의 결정 인자는 대표 행렬의 일반적인 복합 결정 인자로 정의된다. 쿼터니온적 곱셈의 비확정적 성격은 행렬의 쿼터니온적 표현에서 모호할 것이다. M_n(H)이 M_2n(C)에 내장되는 방식은 고유하지 않지만, 그러한 임베딩은 모두 A(O) O(2n, C)에 대해 g ↦ AgA⁻¹, g ∈ GL(2n, C)을 통해 관련되므로 결정요인은 영향을 받지 않는다.^[17] 이 콤플렉스 복장의 SL(n, H)의 이름은 SU^∗(2n)이다.

C의 경우와는 반대로 에르미타인과 스큐-헤르미티아인 사건 모두 H를 고려할 때 새로운 것을 들여오기 때문에 이러한 사건들은 별도로 고려된다.

GL(n, H) 및 SL(n, H)

위와 같은 식별 하에,

${\displaystyle \mathrm {GL}(n,\mathb {H} )=\{g\in \mathrm {GL}(2n,\mathb {C})Jg={\overline {g}J,\mathrm {d g\neq 0\}\}\equiv \u}{U}(2n)^{{{{U}(2n)}$

그것의 Lie 대수 gl(n, H)은 위의 지도 M_n(H) £ M_2n(C) 영상에 있는 모든 행렬의 집합이다.

${\displaystyle {\mathfrak{gl}(n,\mathb {H})=\좌측\{\좌측).\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}\\\Y&{\{X}\end{matrix}\right)\오른쪽 X,Y\in {\mathfrak {gl}(n,\mathb {C})\right\}\equiv {\mathfak {u}^{*}(2n)}$

Qaternionic 특수 선형 그룹은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {SL}(n,\mathb {H})=\{g\in \mathrm {GL}(n,\mathb {H}) \mathrmartrm {det} \g=1\}\equiv \mathrmathrmat {SU}^{*}(2n),}},},},}}}}}}}$

C의²ⁿ 행렬에서 결정 인자를 구한다. Alternatively, one can define this as the kernel of the Dieudonné determinant ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\rightarrow \mathbb {H} ^{*}/[\mathbb {H} ^{*},\mathbb {H} ^{*}]\simeq \mathbb {R} _{>0}^{*}}$. The Lie algebra is

${\displaystyle {\mathfrak{sl}(n,\mathb {H})=\좌측\{\좌측).\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}\\\Y&{\{X}\end{매트릭스}\right)\right(\operatorname {Tr}X)=0\right\}\equiv{\mathfrak{su}^{*}(2n)}$

Sp(p, q) – Quaternionic 단일 군집

복합사례에서 위와 같이 정상적인 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle \varphi(x,y)=\pm {\xi _{1}\eta_{1}pm {\bar {\xi _{2}}\eta_{2}\cdots \pm {\bar _{n}}\cdata _{n}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}pm}$

그리고 플러스 알파의 수는 근거와 무관하다. 이 형식의 V = H일ⁿ 때 Sp(iii) = Sp(p, q) 표기의 이유는 위의 처방을 사용하여 그룹을 복합-허미티안 형태의 서명을 보존하는 Sp(2p, 2q)의 하위 그룹으로 나타낼 수 있기 때문이다(2p, 2q).^[18] p 또는 q = 0이면 그룹이 U(n, H)로 표시된다. 그것은 때때로 초단일화 집단이라고 불린다.

쿼터니온어 표기법에서는

${\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\\0&-I_{q}\end{pmatrix}=I_{p,q}}$

그 형태에 대한 2차적 행렬을 의미한다.

${\displaystyle {\mathcal {Q}}={\begin{pmatrix}{\mathcal {X}}_{p\times p}&{\mathcal {Z}}_{p\times q}\\{\mathcal {Z}}^{*}&{\mathcal {Y}}_{q\times q}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {X}}^{*}=-{\mathcal {X}},\quad {\mathcal {Y}}^{*}=-{\mathcal {Y}}}$

(9)

만족할 것이다

${\displaystyle \Phi ^{-1}{\mathcal {Q}^{*}\Phi =-{\mathcal {Q},}$

u(p, q)에 대한 섹션을 참조하십시오. 쿼터니온 매트릭스 곱셈을 다룰 때는 주의를 기울여야 하지만, 여기서는 오직 나와 - 나만이 관여하고 있으며 이러한 매트릭스들은 매 쿼터니온 매트릭스와 함께 통근한다. 이제 각 블록에 처방(8)을 적용하십시오.

${\displaystyle {\mathcal {X}}={\begin{pmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Y}}={\begin{pmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Z}}={\begin{pmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{pmatrix}},}$

그리고 (9)의 관계는 다음과 같은 경우에 충족될 것이다.

${\displaystyle X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}.}$

Lie 대수학 은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\mathfrak {sp}(p,q)=\왼쪽\{\왼쪽).{\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}X_{1(p\times p)}&, -{\overline{X}}_{2}\\X_{2}&,{\overline{X}}_{1}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&, -{\overline{Z}}_{2}\\Z_{2}&,{\overline{Z}}_{1}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&, -{\overline{Z}}_{2}\\Z_{2}&,{\overline{Z}}_{1}\end{bmatrix}}^{*}&,{\begin{bmat.rix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}_{2}\\Y_{2}&}{\overline{Y}_{1}\end{bmatrix}}\end{pmatrix}\end{pmatrix}}\right X_{1}^{*=-X_{1},\quad Y_{1}^{1}=-Y_{1}\right\}.}$

그룹은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {Sp}(p,q)=\left\{g\in \mathrm {GL}(n,\mathb {H})\mid I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I_{p+q}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid K_{p,q}^{-1}g^{*}K_{p,q}g=I_{2(p+q)},\quad K=\operatorname {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)\right\}.}$

Sp(p, q)에 대한 정상적인 ((w, z)의 형태로 돌아가 w → u + jv 및 z → x + jy를 u, v, x, y ∈ C로ⁿ 대체한다. 그러면

${\displaystyle \varphi (w,z)={\begin{bmatrix}u^{*}&v^{*}\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+j{\begin{bmatrix}u&-v\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix}}=\varphi _{1}(w,z)+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z),\quad K_{p,q}=\mathrm {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\오른쪽)}$

C에²ⁿ H 값을 매긴 양식으로 ^[19]보아 따라서 C의²ⁿ 선형 변환으로 간주되는 Sp(p, q)의 원소는 은둔자 형태의 서명(2p, 2q)과 비대칭 형태의 비대칭 형태를 모두 보존한다. 두 형태 모두 순전히 복잡한 가치를 가지고 있으며, 두 번째 형태의 j의 사전 인자 때문에 두 형태는 별도로 보존된다. 라는 뜻이다.

${\displaystyle \mathrm {Sp}(p,q)=\mathrm {U} \left(\mathb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right)\cap \mathrmartrm {Sp} \좌(\mathb {C}{2n},\v {C},\vi ^{2n}, _{2}, _{2\rig)})})}$

그리고 이것은 그룹의 이름과 표기법 모두를 설명한다.

O^∗(2n) = O(n, H)- 쿼터니온 직교군

스큐-헤르미티아 형식에 대한 일반적인 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle \varphi (x,y)={\bar {\xi _{1}}\mathbf {j} \eta _{1}+{1}\xi _{2}}\mathbf {j} \eta _{2}\cdots +{n}\bar {j}\eta _{n}}}}}}$

여기서 j는 주문 목록(1, i, j, k)의 세 번째 기준 쿼터다. 이 경우, 위의 복잡한 매트릭스 인코딩을 사용해, 비감소성 복합 스큐-헤르미티아 서명의 형태(n, n)를 보존하는 O(2n, C)의 하위그룹으로 자동(Aut) = O^∗(2n)을 실현할 수 있다.^[20] 정상적인 형태에서 쿼터니온어 표기법으로 볼 수 있다.

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{smallmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &\vdots \\\vdots &&\ddots &&\\0&\cdots &0&\mathbf {j} \end{smallmatrix}}\right)\equiv \mathrm {j} _{n}}$

그리고 (6)부터 그 뒤를 잇는다.

${\displaystyle -\Phi V^{*}\Phi =-V\Leftrightarrow V^{*}=\mathrm {j} _{n}V\mathrm {j} _{n}.}$

(9)

V ∈ o(2n)의 경우. 지금 넣으세요

${\displaystyle V=X+\mathbf {j}Y\왼쪽 오른쪽 화살표 \{\begin{matrix}X&-{\overline{Y}\\\\Y&{\\overline{X}\end{매트릭스}\오른쪽)}$

처방(8)에 따라 φ에도 동일한 처방전이 산출된다.

${\displaystyle \Phi \왼쪽 화살표 \{\begin{matrix}0&-I_{n}\I_{n}&0\end{matrix}\오른쪽)\equiv J_{n}.}$

이제 (9)의 마지막 조건은 복합 표기법에서 다음과 같다.

${\displaystyle \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}\\\)Y&{\\overline{X}\end{matrix}\오른쪽)^{*}=\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\)I_{n}&0\end{매트릭스}\오른쪽)\왼쪽({\begin{매트릭스}X&-{\overline {Y}\\\)Y&{\\overline{X}\end{matrix}\오른쪽)\왼쪽({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{매트릭스}\오른쪽)\Leftrightarrow X^{\mathram {T}}}}=-X,\quad {\overline {Y}^{\mathrm {T}}=Y.}$

Lie 대수학 은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\mathfrak{o}^{*}(2n)=\왼쪽\{\왼쪽.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}\\\Y&{\{X}\end{matrix}\right)\오른쪽 X^{\mathrm {T}}}=-X,\quad {\overline {Y}^{\mathrm {T}}}}}$

그리고 그 그룹은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {O}^{*}{*}}=\ft\{g\in \mathrm {GL}(n,\mathb {H} )\mid \mathrmatrm {j}{n}^{1}g^{*}\mathrmatrmatrm {n}g=}I_{n}\오른쪽\}=\왼쪽\{g\in \mathrm {GL}(2n,\mathb {C} )\mid J_{n}^{-1g^{*J_{n}g=I_{2n}\right\}.}$

그룹 SO^∗(2n)는 다음과 같이 특징 지을 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {O}^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {O}(2n,\mathb {C})\mid \theta \left({\overline {g}\오른쪽)=g\rig\rig\}}}}$^[21]

여기서 지도 θ: GL(2n, C) → GL(2n, C)은 g ↦ -JgJ에_2n2n 의해 정의된다.

또한 집단을 결정하는 형태는 C에서²ⁿ H 값 형태로 볼 수 있다.^[22] 폼의 표현에서 대체 x → w₁ + iw₂ 및 y → z + iz를₁₂ 만든다. 그러면

${\displaystyle \varphi(x,y)={\overline{w}_{2}I_{n}z_{1}-{\overline{w}_{1}I_{n}z_{2}+\mathbf {j}(w_{1})I_{n}z_{1}+w_{2}I_{n}z_{2}={\overline {\varphi _{1}(w,z)}+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z).}$

φ형식은₁ 에르미트어(왼쪽에 첫 번째 형태는 스큐-헤르미티아어)의 서명(n, n)이다. 서명은 (e, f)에서 (e + if)/sv2, (e - if)/sv2)로 기본을 변경하여 명백하게 된다. 여기서 e, f는 각각 첫 번째 및 마지막 n 기본 벡터다. 두 번째 형태인 φ은₂ 대칭적 양의 확정이다. 따라서, 인자 j 때문에^∗ O(2n)는 둘 모두를 별도로 보존하며, 다음과 같이 결론을 내릴 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\mathrm {O}(2n,\mathb {C} )\cap \mathrm {U} \left(\mathb {C} ^{2n},\varphi _{1}\오른쪽),}}$

그리고 "O"라는 표기법이 설명된다.

일반 분야 또는 알헤브라에 걸친 고전 그룹

대수학에서 보다 광범위하게 고려되는 고전 그룹들은 특히 흥미로운 행렬 그룹을 제공한다. 행렬 그룹의 계수의 필드 F가 실제 숫자 또는 복잡한 숫자일 때, 이들 그룹은 고전적인 Lie 그룹일 뿐이다. 지상장이 유한장일 때 고전적 집단은 리 유형의 집단이 된다. 이들 집단은 유한단순집단의 분류에 중요한 역할을 한다. 또한, 사람들은 하나의 결합 대수 R보다 F보다 고전적인 그룹을 고려할 수 있다; 여기서 R = H는 중요한 경우를 나타낸다. 일반성을 위해 이 글은 R 이상의 그룹을 지칭할 것이며, 여기서 R은 지상 필드 F 그 자체일 수 있다.

그들의 추상적인 집단 이론을 고려하면, 많은 선형 집단은 "특수" 부분군을 가지며, 대개 지면 위에 결정인 1의 요소로 구성되며, 그들 대부분은 집단의 중심에 의한 인용인 "투영적" 인용구를 연관시켰다. 특성 2의 직교 그룹에 대해 "S"는 다른 의미를 갖는다.

그룹 이름 앞에 "일반"이라는 단어는 대개 그룹이 일정한 형태를 유지하지 않고 상수로 어떤 형태를 곱할 수 있도록 허용된다는 것을 의미한다. 첨자 n은 일반적으로 그룹이 작용하고 있는 모듈의 크기를 나타낸다. R = F. Cabbat: 이 표기법이 순위인 Dynkin 다이어그램의 n과 어느 정도 충돌하는 경우 벡터 공간이다.

일반 및 특수 선형 그룹

일반 선형 그룹 GL_n(R)은 R의ⁿ 모든 R-선형 자동화의 그룹이다. 부분군: 특수 선형군 SL_n(R)과 그 인용구: 투사 일반 선형군 PGL_n(R) = GL_n(R)/Z(GL_n(R) 및 투사 특수 선형군_n PSL(R) = SL_n(R)/Z_n(SL(R))가 있다. 필드 F에 대한 투영 특수 선형 그룹 PSL_n(F)은 n = 2와 필드의 순서가^{[clarification needed]} 2 또는 3인 경우를 제외하고 n ≥ 2에 대해 단순하다.

유니터리 그룹

단일_n 군집 U(R)는 모듈에 sesquinarine 형태를 보존하는 집단이다. 부분군, 특수 단일 그룹 SU_n(R) 및 그 인용구들이 있다. PU(R) = 투사적 단일 그룹 PU_n(R) = U_n(R)/Z(R_n) 및 투사적 특수 단일 그룹 PSU_n(R) = SU(R_n)/Z(SU(R_n)

심포렉틱 그룹

공감대 그룹 Sp_2n(R)는 모듈에서 스큐 대칭 형태를 보존한다. 그것은 투영적인 공감 그룹 PSP_2n(R)를 가지고 있다. 일반 공감대 그룹 GSp_2n(R)는 어떤 반전성 스칼라에 스큐 대칭 형태를 곱한 모듈의 자동화로 구성된다. 유한분야에 대한 투영적 공감집단 PSP_2n(F_q)는 2와 3요소분야에 걸친 PSP의₂ 경우를 제외하고 n ≥ 1에 대해서는 단순하다.

직교군

직교 그룹 O_n(R)는 모듈에서 비감소 2차 형태를 보존한다. 부분군, 특수직교군 SO_n(R) 및 인용구, 투사직교군 PO_n(R) 및 투사직교군 PSO_n(R)가 있다. 특성 2에서 결정 인자는 항상 1이므로 특수 직교 그룹은 종종 딕슨 불변성 1의 원소 서브그룹으로 정의된다.

There is a nameless group often denoted by Ω_n(R) consisting of the elements of the orthogonal group of elements of spinor norm 1, with corresponding subgroup and quotient groups SΩ_n(R), PΩ_n(R), PSΩ_n(R). (For positive definite quadratic forms over the reals, the group Ω happens to be the same as the orthogonal group, but in general it is smaller.) 핀 그룹 핀_n(R)이라 불리는 Ω_n(R)의 이중 커버도 있으며, 스핀 그룹 스핀_n(R)이라는 하위 그룹을 가지고 있다. 일반적인 직교 그룹 GO_n(R)는 2차 형태를 일부 반전성 스칼라에 곱한 모듈의 자동화로 구성된다.

논설 규약

예외적인 거짓말 그룹과 대비

고전적인 거짓말 집단과 대조되는 것은 예외적인 거짓말 집단인 G₂, F₄, E₆, E는₇₈ 추상적인 성질을 공유하지만 친숙하지는 않은 것이다.^[23] 이것들은 빌헬름 킬링과 에일리 카탄이 복잡한 숫자에 걸쳐 단순 리알헤브라의 분류에서 1890년경에야 발견되었다.

메모들

참조

• E. Artin (1957) 기하 대수, 인터넷 아카이브를 통한 III, IV 및 V장
• Dieudonné, Jean (1955), La géométrie des groupes classiques, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (N.F.), Heft 5, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-05391-2, MR 0072144
• Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (2009), Symmetry, Representations, and Invariants, Graduate texts in mathematics, 255, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-79851-6
• Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics. 120 (2nd ed.). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5.
• V. L. Popov (2001) [1994], "Classical group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9