전자 밴드 구조

고체 물리학에서, 고체의 전자 밴드 구조(또는 단순히 밴드 구조)는 전자가 가질 수 있는 에너지 수준의 범위뿐만 아니라 그들이 가질 수 없는 에너지의 범위(밴드 갭 또는 금지 밴드라고 불린다)를 나타냅니다.

밴드 이론은 원자 또는 분자의 크고 주기적인 격자에서 전자에 대해 허용된 양자 역학적 파동 함수를 조사함으로써 이러한 밴드와 밴드 갭을 도출합니다.밴드 이론은 전기 저항률 및 광학 흡수 등 고체의 많은 물리적 특성을 설명하는데 성공적으로 사용되었으며, 모든 고체 소자(트랜지스터, 태양 전지 등)에 대한 이해의 기초를 형성합니다.

밴드 및 밴드 갭이 발생하는 이유

전자 밴드 구조의 형성을 나타내는 다수의 탄소 원자가 모여 다이아몬드 결정을 형성하는 가설적인 예.오른쪽 그래프는 원자 사이의 간격 함수로서 에너지 수준을 보여줍니다.멀리 떨어져 있을 때(그래프의 오른쪽) 모든 원자는 동일한 에너지를 가진 이산 원자가 궤도 p와 s를 가진다.그러나 원자들이 더 가까이 오면(왼쪽) 그들의 전자 궤도는 공간적으로 겹치기 시작한다.궤도는 교배하고, 각 원자 레벨은 다른 에너지를 가진 N 레벨로 분할됩니다.여기서 N은 원자의 수입니다.N은 거시적 크기의 결정에서 매우 큰 수이기 때문에 인접한 레벨이 에너지적으로 근접하여 연속 에너지 밴드를 효과적으로 형성한다.실제 다이아몬드 결정 셀 크기(a로 표시)에서는 5.5 eV 밴드 갭으로 분리된 원자가 및 전도 밴드라고 하는 두 개의 밴드가 형성됩니다.원자간 간격을 더 줄이면(예를 들어 고압 하에서) 밴드 구조가 더욱 수정된다.

밴드 형성에 대한 애니메이션 및 전자가 금속 및 절연체에 밴드 형성을 채우는 방법

고립된 단일 원자의 전자는 각각 별개의 에너지 수준을 가진 원자 궤도를 차지합니다.두 개 이상의 원자가 결합하여 분자를 형성할 때, 그들의 원자 궤도는 겹쳐서 ^[1]^[2]교배된다.

마찬가지로, 많은 수의 동일한 원자가 함께 모여 결정 격자와 같은 고체를 형성하면 원자의 원자 궤도는 근처의 ^[1]궤도와 겹칩니다.각각의 개별 에너지 레벨은 각각 다른 에너지를 가진 N개의 레벨로 분할됩니다.거시적인 고체 조각에 있는 원자의 수가 매우 많기 때문에(N²²~10), 궤도의 수는 매우 크고, 따라서 에너지 간격이 매우 좁다(10eV 정도⁻²²).인접한 레벨의 에너지는 매우 가까워서 연속체, 즉 에너지 밴드로 간주할 수 있습니다.

이러한 띠의 형성은 대부분 원자의 가장 바깥쪽 전자(원자가 전자)의 특징이며, 화학 결합과 전기 전도도에 관여합니다.내부 전자 궤도는 크게 겹치지 않기 때문에 띠가 매우 좁습니다.

밴드 갭은 기본적으로 어떤 밴드도 커버하지 않는 남은 에너지 범위이며, 이는 에너지 밴드의 한정된 폭의 결과입니다.밴드 폭은 발생원자의 궤도에서 겹치는 정도에 따라 달라지며, 밴드 폭은 서로 다릅니다.인접한 두 개의 밴드가 에너지 범위를 완전히 커버하기에 충분히 넓지 않을 수 있습니다.예를 들어, 코어 궤도(예: 1s 전자)와 관련된 대역은 인접한 원자 사이의 작은 중첩으로 인해 매우 좁습니다.그 결과, 코어 밴드간에 밴드 갭이 큰 경향이 있다.높은 대역은 더 많은 중첩을 가진 비교적 큰 궤도를 포함하며, 높은 에너지에서 점차적으로 넓어지기 때문에 높은 에너지에서 밴드 갭이 없다.

기본 개념

밴드 구조 이론의 가정과 한계

띠 이론은 고체의 양자 상태에 대한 근사치일 뿐이며, 이것은 함께 결합된 많은 동일한 원자 또는 분자로 구성된 고체에 적용된다.밴드 이론이 유효하기 위해 필요한 전제 조건은 다음과 같습니다.

무한 확장 시스템:띠가 연속적이려면 재료 조각이 많은 수의 원자로 구성되어야 합니다.거시적인 물질 조각은 10개의²² 원자를 포함하고 있기 때문에 이것은 심각한 제한이 아닙니다; 밴드 이론은 집적회로의 미시적인 크기의 트랜지스터에도 적용됩니다.밴드 구조의 개념은 2차원 전자 시스템과 같은 일부 차원을 따라 "대형" 시스템으로도 확장될 수 있습니다.
동종 시스템:밴드 구조는 재료가 균질하다고 가정하는 재료의 고유 특성입니다.사실상, 이것은 재료의 화학적 구성이 작품 전체에 걸쳐 균일해야 한다는 것을 의미합니다.
비대화성:밴드 구조는 "단일 전자 상태"를 나타냅니다.이러한 상태의 존재는 전자가 격자 진동, 다른 전자, 광자 등과 동적으로 상호작용하지 않고 정적 전위로 이동한다고 가정합니다.

위의 가정은 많은 중요한 실제 상황에서 깨져 있으며, 밴드 구조를 사용하려면 밴드 이론의 한계를 면밀히 점검해야 합니다.

불균일성 및 인터페이스:표면, 접합부 및 기타 불균일한 부분 근처에서는 벌크 밴드 구조가 중단됩니다.국소적인 소규모 교란(예를 들어 밴드갭 내부의 표면 상태 또는 도판트 상태)뿐만 아니라 국소 전하 불균형도 존재한다.이러한 전하 불균형은 반도체, 절연체 및 진공으로 깊숙이 확장되는 정전 효과를 가집니다(도핑, 밴드 벤딩 참조).
동일한 선을 따라 대부분의 전자 효과(용량, 전기 전도성, 전기장 스크리닝)는 표면 및/또는 인터페이스를 통과하는 전자의 물리학과 관련이 있다.밴드 구조 그림에서 이러한 효과에 대한 완전한 설명은 적어도 전자-전자 상호작용의 기초적인 모델을 필요로 한다(공간 전하, 밴드 벤딩 참조).
소형 시스템:모든 차원을 따라 작은 시스템(예: 작은 분자 또는 양자 점)의 경우 연속 밴드 구조가 없다.작은 치수와 큰 치수의 교차는 중경 물리학의 영역이다.
강한 상관 관계 물질(예: Mott 절연체)은 단일 전자 상태로는 이해할 수 없습니다.이러한 재료의 전자 밴드 구조는 제대로 정의되지 않았으며(또는 적어도 고유하게 정의되지 않음) 물리적 상태에 대한 유용한 정보를 제공하지 못할 수 있다.

결정대칭 및 파동벡터

그림 1. 특별한 대칭점의 라벨을 나타내는 면중심 입방체 격자의 브릴루인 구역.

그림 2. 긴밀 결합 모델로 생성된 Si, Ge, GaAs 및 InAs의 밴드 구조도.Si와 Ge는 간접 밴드 갭 재료이고 GaAs와 InAs는 직접 재료입니다.

밴드 구조 계산은 결정 격자의 주기적 특성을 이용하여 그 대칭성을 활용합니다.단일 전자 슈뢰딩거 방정식은 격자 주기 전위의 전자에 대해 해결되며, 블로흐 전자를 해로 제공한다.

\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

n

\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

（ r

\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

） =

\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

⋅

\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

n k

\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

（ r ）（

displaystyle \psi _

{n

\mathbf

{k

}

（

mathbf {r}

） =

e^{i\mathbf

{

k} \cdot

\

mathbf

{r

} }u_{n\mathbf

{k}

\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

} } 、

여기서 k는 웨이브 벡터라고 불립니다.k의 각 값에 대해, 단순히 에너지 밴드를 숫자화하는 밴드 지수인 n으로 표시된 슈뢰딩거 방정식에 대한 다중 해법이 있습니다.이러한 각 에너지 레벨은 k의 변화에 따라 부드럽게 진화하며 부드러운 상태 띠를 형성합니다.각 대역에 대해 함수 E_n(k)를 정의할 수 있습니다. 함수 E(k)는 해당 대역의 전자에 대한 분산 관계입니다.

파동 벡터는 결정의 격자와 관련된 파동 벡터(복원 격자) 공간의 다면체인 Brilouin 구역 내의 모든 값을 취합니다.브릴루인 영역 밖의 파동 벡터는 브릴루인 영역 내의 상태와 물리적으로 동일한 상태에 해당합니다.Brilouin 구역의 특별한 높은 대칭점/라인에는 γ, δ, σ, σ과 같은 라벨이 할당된다(그림 1 참조).

4차원 공간 E_x 대_y k_z, k, k에서 플롯이 필요하기 때문에 대역의 형태를 파동 벡터의 함수로 시각화하는 것은 어렵다.과학 문헌에서 대칭점을 연결하는 직선을 따라 k 값에 대한 E(k) 값을_n 보여주는 밴드 구조도를 흔히 볼 수 있으며, 각각 ^[3]^[4]δ, δ, δ 또는 [100], [111] 및 [110]로 라벨이 지정된다.밴드 구조를 시각화하는 또 다른 방법은 파장 벡터 공간에 일정한 에너지 등각면을 그려서 특정 값과 동일한 에너지를 가진 모든 상태를 보여주는 것이다.페르미 레벨과 같은 에너지를 가진 상태의 등각면은 페르미 표면이라고 알려져 있다.

에너지 밴드 간격은 밴드 간격을 둘러싼 상태의 파장을 사용하여 분류할 수 있습니다.

직접 밴드 갭: 밴드 갭 위의 최저 에너지 상태는 밴드 갭 아래의 최고 에너지 상태와 동일한 k를 가진다.
간접 대역 간격: 대역 간격 위아래에 있는 가장 가까운 상태의 k 값이 같지 않습니다.

비대칭성: 비결정성 고체의 밴드 구조

전자 밴드 구조는 보통 결정성 물질과 관련되어 있지만, 준결정 및 비정질 고체도 밴드 갭을 나타낼 수 있습니다.이것들은 결정의 단순한 대칭이 부족하기 때문에 이론적으로 연구하기가 다소 더 어렵고, 일반적으로 정확한 분산 관계를 결정하는 것은 불가능하다.그 결과, 고체의 전자 밴드 구조에 관한 기존의 거의 모든 이론 작업은 결정성 재료에 초점을 맞추고 있습니다.

상태 밀도

상태 밀도 함수 g(E)는 E 근처의 전자 에너지에 대한 단위 부피당, 단위 에너지당 전자 상태의 수로 정의된다.

상태 밀도 함수는 밴드 이론에 기초한 효과 계산에 중요합니다.광학적 흡수율에 대한 계산인 페르미의 황금률에서, 그것은 들뜨기 쉬운 전자의 수와 전자에 대한 최종 상태의 수를 모두 제공합니다.이동 상태의 수를 제공하는 전기 전도율 계산과 ^{[citation needed]}산란 후의 최종 상태의 수를 제공하는 전자 산란 속도 계산에서 나타납니다.

밴드 갭 내부의 에너지의 경우 g(E) = 0.

밴드 충전

평형 상태에서 다양한 유형의 물질로 전자 상태를 채우는 것.여기서 높이는 에너지이고 폭은 나열된 재료의 특정 에너지에서 사용 가능한 상태의 밀도입니다.음영은 페르미-디락 분포를 따릅니다(검은색: 모든 상태가 채워지고 흰색: 채워지지 않음).금속 및 세미메탈에서 페르미_F 레벨 E는 적어도 하나의 밴드 안에 있습니다.

절연체와 반도체의 경우 페르미 레벨이 밴드 갭 안에 있지만, 반도체의 경우 밴드가 전자 또는 구멍으로 열적으로 채워질 수 있을 정도로 페르미 레벨에 가깝습니다.

편집하다

열역학 평형에서 에너지 E 상태가 전자로 채워질 가능성은 파울리 배타 원리를 고려한 열역학 분포인 페르미-디락 분포에 의해 주어진다.

f(E)=frac {1}{1+e^{(E-\mu)}/{k_{\rm {B}}T}}}}}}

여기서:

kT는_B 볼츠만의 상수와 온도의 곱이다.
δ는 전자의 총 화학적 전위, 즉 페르미 수준입니다(반도체 물리학에서는 이 양이 E로 더 자주 표시됩니다_F).고체의 페르미 레벨은 전압계로 측정한 고체의 전압과 직접 관련이 있습니다.전통적으로 밴드 구조도에서 페르미 수준은 에너지의 0으로 간주됩니다(임의 선택).

물질의 전자 밀도는 페르미-디락 분포에 상태 밀도를 곱한 적분일 뿐입니다.

N/V=\int _{-\infty }^{\infty }g(E)f(E),dE

띠의 수는 무한하고 상태도 무한하지만, 이러한 띠에 배치할 전자의 수는 한정되어 있습니다.전자 수에 대한 선호되는 값은 정전기의 결과입니다. 물질의 표면이 충전될 수 있지만, 물질의 내부 부피는 전하 중립을 선호합니다.전하 중립성 조건은 N/V가 물질 내 양성자 밀도와 일치해야 함을 의미합니다.이를 위해 재료는 페르미 레벨에 대해 올바른 평형이 될 때까지 에너지 내에서 밴드 구조를 위아래로 이동(그러므로 g(E) 이동)하면서 정전기적으로 조절합니다.

페르미 레벨 부근의 밴드명(전류 밴드, 원자가 밴드)

원자가 무한히 많은 에너지 레벨을 가지는 것과 같이, 고체는 허용되는 대역의 수가 무한합니다.하지만, 대부분의 밴드는 단순히 에너지가 너무 높기 때문에 통상적인 ^[5]상황에서는 무시당한다.반대로, 코어 궤도에는 매우 낮은 에너지 대역(1s 전자 등)이 관련되어 있습니다.이러한 저에너지 코어 대역은 항상 전자로 채워져 있기 때문에 일반적으로 무시됩니다. 따라서 ^[6]비활성 상태입니다.마찬가지로 재료는 밴드 구조 전체에 여러 밴드 갭이 있습니다.

가장 중요한 밴드 및 밴드 갭(전자 및 광전자 공학 관련 밴드)은 Fermi 레벨에 가까운 에너지를 가진 밴드입니다.페르미 레벨 근처의 밴드 및 밴드 간격은 재료에 따라 다음과 같은 특별한 이름이 붙습니다.

반도체 또는 밴드 절연체에서 페르미 레벨은 밴드 갭이라고 불리는 밴드 갭으로 둘러싸여 있다(밴드 구조의 다른 밴드 갭과 구별하기 위해).밴드 갭 위의 가장 가까운 밴드를 전도 밴드라고 하고 밴드 갭 아래의 가장 가까운 밴드를 원자가 밴드라고 합니다."원자가 밴드"라는 이름은 반도체(및 절연체)에서 원자가 밴드는 원자가 궤도로부터 만들어지기 때문에 화학에 비유하여 만들어졌습니다.
금속 또는 세미메탈에서 페르미 레벨은 하나 이상의 허용된 밴드 내에 있습니다.세미메탈에서는 대역을 반도체와 유사하게 전하 전달이 전자와 비슷한지 또는 구멍과 같은지에 따라 보통 "전류 밴드" 또는 "원자가 밴드"라고 부릅니다.그러나 많은 금속에서 띠는 전자와 비슷하지도 않고 구멍과 비슷하지도 않으며, 원자가 궤도로 ^[7]만들어졌기 때문에 종종 "원자가 띠"라고 불립니다.금속의 띠 구조의 띠 간격은 페르미 레벨에서 너무 멀기 때문에 낮은 에너지 물리학에서는 중요하지 않습니다.

결정체 이론

안사츠는 회절의 동적 이론에서 일반적으로 다루어지는 블로흐의 정리를 사용하여 주기적인 결정 격자에서 전자파의 특별한 경우입니다.모든 결정은 브라바 격자에 의해 특징지어질 수 있는 주기적인 구조이며, 브라바 격자에 대해 우리는 3개의 상호 격자 벡터(b₁, b₂, b₃)의 집합으로 주기성을 캡슐화하는 상호 격자를 결정할 수 있다.이제 직접 격자와 동일한 주기성을 공유하는 주기적 퍼텐셜 V(r)는 사라지지 않는 성분이 상호 격자 벡터와 관련된 성분인 푸리에 급수로 확장될 수 있다.따라서 확장은 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

V(\mathbf {r})=\sum _{\mathbf {K} {V_{\mathbf {K}}e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r}}

여기서 K = 임의의₁₁ 정수 집합₂₂(m₃₃, m, m₂₃)에₁ 대해 mb + mb + mb입니다.

이 이론에서 특정 재료의 밴드 구조를 예측하려는 시도가 가능하지만, 전자 구조 계산을 위한 대부분의 초기 방법은 관측된 밴드 갭을 예측하지 못한다.

거의 자유 전자 근사

거의 자유 전자 근사에서는 전자 간의 상호작용이 완전히 무시됩니다.이 근사치를 통해 주기적인 전위의 전자가 파동함수와 인접한 역격자 벡터 사이의 일정한 위상 이동까지 파동 벡터에 주기적인 에너지를 갖는다는 블로흐의 정리를 사용할 수 있습니다.주기성의 결과는 고유 상태 파동 함수가 형태를 갖는다는 Bloch의 정리에 의해 수학적으로 설명된다.

\displaystyle {\Psi}_{n,\mathbf {k}(\mathbf {r})=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} u_{n}(\mathbf {r})}

여기서 $u_{n}(\mathbf {r} )$ $u_{n}(\mathbf {r} )$ $u_{n}(\mathbf {r} )$ n $u_{n}(\mathbf {r} )$ ( $u_{n}(\mathbf {r} )$ r )({ $displaystyle u_{n}(\mathbf {r})}$ 은 $u_{n}(\mathbf {r} )$ 결정 격자에 걸쳐 주기적인, 즉,

u_{n}(\mathbf {r} )=u_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

n (

u_{n}(\mathbf {r} )=u_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

)

=

u_{n}(\mathbf {r} )=u_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

n (

u_{n}(\mathbf {r} )=u_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

-

u_{n}(\mathbf {r} )=u_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

){

displaystyle u_{n}(\mathbf {r})=u_{n}(\mathbf {r}

-

\mathbf {R}

u_{n}(\mathbf {r} )=u_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

여기서 지수 n은 n번째 에너지 대역을 가리키며, 파동 벡터 k는 전자의 운동 방향에 관련지어지며, r은 결정 중의 위치이며, R은 원자 ^[8]부위의 위치이다.

NFE 모델은 인접 원자 사이의 거리가 작은 금속과 같은 물질에서 특히 잘 작동한다.그러한 물질에서 인접 원자의 원자 궤도와 전위의 중첩은 상대적으로 크다.이 경우 전자의 파동함수는 (변형된) 평면파로 근사할 수 있다.알루미늄과 같은 금속의 밴드 구조는 심지어 빈 격자 근사치에 가깝습니다.

엄격한 바인딩 모델

자유에 가까운 전자 근사와는 정반대의 극단에서는 결정의 전자가 구성 원자의 집합처럼 행동한다고 가정합니다.이 엄격한 결합 모형은 시간 독립 단일 전자 슈뢰딩거 방정식 $\Psi$ (\ $displaystyle$ \Psi $\Psi$ })에 대한 해법을 원자 $\psi _{n}(\mathbf {r} )$ δ $(\displaystyle$ \ $psi _{n}(\mathbf$ {r $\psi _{n}(\mathbf {r} )$ ^[9]의 $\Psi$ 선형 조합에 의해 잘 근사된다고 가정합니다.

\Psi (\mathbf {r} )=\sum _{n,\mathbf {R} }b_{n,\mathbf {R} }\psi _{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

r )

\Psi (\mathbf {r} )=\sum _{n,\mathbf {R} }b_{n,\mathbf {R} }\psi _{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

\Psi (\mathbf {r} )=\sum _{n,\mathbf {R} }b_{n,\mathbf {R} }\psi _{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

n ,

\Psi (\mathbf {r} )=\sum _{n,\mathbf {R} }b_{n,\mathbf {R} }\psi _{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

\Psi (\mathbf {r} )=\sum _{n,\mathbf {R} }b_{n,\mathbf {R} }\psi _{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

\Psi (\mathbf {r} )=\sum _{n,\mathbf {R} }b_{n,\mathbf {R} }\psi _{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

,

\Psi (\mathbf {r} )=\sum _{n,\mathbf {R} }b_{n,\mathbf {R} }\psi _{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

n (

r

-

R

) {

display

style

\Psi

( \

mathbf

{ r

} =

\ sum _ { n , \

mathbf {

R

} }

b _

{ n , \ mathbf { R

}

} \

psi

_ { n } ( \

mathbf

{ r } ) -

\Psi (\mathbf {r} )=\sum _{n,\mathbf {R} }b_{n,\mathbf {R} }\psi _{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

R )

$b_{n,\mathbf {R} }$ 서 계수 $b_{n,\mathbf {R} }$ n $b_{n,\mathbf {R} }$ $b_{n,\mathbf {R} }$ {\ $style b_{n,\mathbf {R}}}$ 을 $b_{n,\mathbf {R} }$ 선택하여 이 형태의 최적의 근사해를 구합니다.지수 n은 원자 에너지 수준을 나타내며, R은 원자 사이트를 나타냅니다.이 아이디어를 사용하는 보다 정확한 접근법에는 다음과 ^[10]^[11]같이 정의된 Wannier 함수가 사용됩니다.

a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )={\frac {V_{C}}{(2\pi )^{3}}}\int _{\text{BZ}}d\mathbf {k} e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}u_{n\mathbf {k} }

BZ}}d\mathbf {k} e^{-i\mathbf {k}

\

cdot (\mathbf {R}

-

\mathbf {r})u_{n\mathbf {k

;

$u_{n\mathbf {k} }$ 서 $u_{n\mathbf {k} }$ $(\$ 는 $u_{n\mathbf {k} }$ 블로흐 정리의 주기 부분이며 적분은 브릴루인 존 위에 있습니다.여기서 지수 n은 결정 중의 n번째 에너지 밴드를 나타낸다.워니어 함수는 원자 궤도와 같이 원자 사이트 근처에 위치하지만 블로흐 함수로 정의하면 결정 전위에 기초한 해와 정확하게 관련됩니다.서로 다른 원자 부위 R의 와니어 함수는 직교입니다.워니어 함수는 다음과 같이 n번째 에너지 대역에 대한 슈뢰딩거 솔루션을 형성하는 데 사용할 수 있습니다.

ψ

n ,

\Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

(

\Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

r )

\Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

\Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

\Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

-

\Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

i

\Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

(

\Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

(

\Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

-

\Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

)

a

n (

\Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )

) \

displaystyle

\

Psi _

{

n , \

mathbf

{ k } ( \

mathbf

{

r

} ) = \ sum _ { \

mathbf { R

} } e

^

{ - i

\ mathbf

{ k } \

cdot

} \ cdot }

TB 모델은 원자 궤도와 인접 원자의 잠재력 사이에 제한된 중첩을 가진 물질에서 잘 작동한다.예를 들어 Si, GaAs, SiO₂ 및 다이아몬드와 같은 물질의 밴드 구조는 원자³ sp 오비탈에 기초하여 TB-Hamiltonians에 의해 잘 설명된다.전이금속에서는 넓은 NFE 전도 대역과 좁은 매립 TB d 대역을 설명하기 위해 혼합 TB-NFE 모델을 사용한다.워니어 함수의 원자 궤도 부분의 반경 함수는 의사 전위법을 사용하여 가장 쉽게 계산됩니다.NFE, TB 또는 결합된 NFE-TB 대역 구조 ^[12]계산은 종종 추가 계산을 위한 경제적 시작점으로 사용된다.

KKR 모델

"다중 산란 이론" 또는 그린의 함수법이라고도 불리는 KKR 방법은 해밀턴이 아닌 역전이 행렬 T의 정상 값을 찾습니다.Korringa, Kohn 및 Rostocker에 의해 다양한 구현이 제안되었으며, 종종 Korringa-Kohn-Lastoker 방법으로 ^[13]^[14]언급된다.KKR 또는 그린의 함수 공식의 가장 중요한 특징은 (1) 문제의 두 가지 측면, 즉 구조(원자의 위치)와 산란(원자의 화학적 동일성)을 분리하는 것이다. 그리고 (2) 그린의 함수는 합금에 적합할 수 있는 전자 성질에 대한 국부적인 설명에 대한 자연스러운 접근을 제공한다.기타 장애가 있는 시스템.이 근사치의 가장 단순한 형태는 겹치지 않는 구(머핀 틴이라고 함)를 원자 위치에 중심을 맞춘다.이들 영역 내에서 전자가 경험하는 전위는 주어진 핵을 중심으로 구면적으로 대칭인 것으로 근사된다.나머지 인터스티셜 영역에서는 스크리닝된 전위를 상수로 근사한다.원자중심구와 인터스티셜 영역 사이의 전위의 연속성이 강제된다.

밀도함수론

최근의 물리학 문헌에서, 전자 구조와 밴드 플롯의 대부분은 모델이 아닌 오히려 이론인, 즉 전자-전자 다체 문제에 대처하려는 응집 물질 물리학의 미시적 제1원칙 이론을 사용하여 계산됩니다.전자 밀도의 함수에서 교환-환산 용어.DFT 계산 대역은 예를 들어 각도 분해 광전자 방출 분광법(ARPES)에 의해 실험적으로 측정된 대역과 일치하는 것으로 많은 경우에 확인되었다.특히 띠 모양은 일반적으로 DFT에 의해 잘 재현됩니다.그러나 실험 결과와 비교했을 때 DFT 대역에서도 체계적인 오류가 있습니다.특히 DFT는 절연체와 ^[15]반도체의 밴드 갭을 30~40% 정도로 조직적으로 과소평가하는 것으로 보인다.

일반적으로 DFT는 시스템의 지상 상태 특성(예: 총 에너지, 원자 구조 등)만을 예측하는 이론이며, 들뜬 상태 특성은 DFT에 의해 결정될 수 없다.이건 오해예요.원칙적으로 DFT는 접지 상태 밀도를 해당 속성에 매핑하는 기능이 주어진 시스템의 특성(지반 상태 또는 들뜸 상태)을 결정할 수 있다.이것이 호엔버그-콘 ^[16]정리법의 본질이다.그러나 실제로는 지면 상태 밀도를 물질 내 전자의 들뜸 에너지에 매핑하는 알려진 기능은 없습니다.따라서 문헌에서 DFT 밴드 플롯으로 인용되는 것은 DFT Kohn-Sham 에너지, 즉 물리적 해석이 전혀 없는 가상의 비상호작용 시스템인 Kohn-Sham 시스템의 에너지 표현이다.Kohn-Sham 전자 구조는 시스템의 실제 준입자 전자 구조와 혼동해서는 안 되며, Hartree와 같이 Kohn-Sham 에너지에 대한 Koopmans의 정리가 없다.준입자 에너지의 근사치로 간주할 수 있는 Fock 에너지.따라서 원칙적으로 Kohn-Sham 기반 DFT는 밴드 이론이 아니다. 즉, 밴드 및 밴드 플롯 계산에 적합한 이론이 아니다.원칙적으로 시간 의존형 DFT를 사용하여 실제 대역 구조를 계산할 수 있지만 실제로는 이것이 종종 어렵습니다.일반적인 접근방식은 Hartree의 일부를 포함하는 하이브리드 기능을 사용하는 것이다.Fock의 정확한 교환. 이렇게 하면 반도체의 예측 대역이 크게 개선되지만 금속 및 광대역 ^[17]재료에 대해서는 신뢰성이 떨어집니다.

Green의 함수 방법과 ab initio GW 근사

전자-전자 상호작용 다체효과를 포함한 대역을 계산하기 위해 이른바 그린의 함수법에 의존할 수 있다.실제로, 시스템의 그린 기능에 대한 지식은 시스템의 지상(총 에너지)과 들뜬 상태 관측치를 모두 제공한다.녹색 함수의 극은 준입자 에너지, 즉 고체의 띠입니다.그린의 함수는 시스템의 자기 에너지를 알게 되면 다이슨 방정식을 풀어서 계산할 수 있습니다.고체와 같은 실제 시스템의 경우, 자기 에너지는 매우 복잡한 양이며 보통 문제를 해결하기 위해 근사치가 필요합니다.그러한 근사치 중 하나는 GW 근사치이며, 따라서 수학적인 형태에서 자기 에너지는 Green의 함수 G와 동적으로 선별된 상호작용 W의 곱 δ = GW로 불린다.이 접근방식은 밴드 플롯(및 스펙트럼 함수 등 그 이상의 수량)의 계산을 다룰 때 더 적절하며, 완전한 초기 방식으로 공식화할 수도 있다.GW 근사치는 실험과 일치하는 절연체와 반도체의 밴드 갭을 제공하므로 체계적인 DFT 과소평가가 수정되는 것으로 보인다.

동적 평균장 이론

자유에 가까운 전자 근사치는 전자 밴드 구조의 많은 특성을 설명할 수 있지만, 이 이론의 결과 중 하나는 각 단위 셀에서 같은 수의 전자를 예측한다는 것입니다.전자의 수가 홀수일 경우, 우리는 각 단위 셀에 짝이 없는 전자가 존재하며, 따라서 원자가 밴드가 완전히 점유되지 않아 물질이 전도체가 될 것으로 예상할 수 있습니다.그러나 CoO와 같이 단위 셀당 홀수 개수의 전자를 가진 물질은 절연체이며, 이 결과와 직접적으로 상반됩니다.이러한 종류의 물질은 Mott 절연체로 알려져 있으며, 차이를 설명하기 위해 상세한 전자-전자 상호작용(밴드 이론에서 결정 전위에 대한 평균 효과로만 처리됨)을 포함해야 합니다.허바드 모델은 이러한 상호작용을 포함할 수 있는 대략적인 이론입니다.이것은 거의 자유로운 전자 근사치와 원자 한계 사이의 갭을 메우려고 시도하는 이른바 동적 평균장 이론 내에서 비교란적으로 처리될 수 있습니다.그러나 형식적으로는 이 경우 상태가 비상호적이지 않으며 밴드 구조의 개념은 이러한 경우를 설명하기에 충분하지 않습니다.

다른이들

밴드 구조를 계산하는 것은 이론적인 고체 물리학에서 중요한 주제입니다.상기 모델 외에 다음과 같은 모델도 있습니다.

빈 격자 근사: 격자로 분할된 자유 공간 영역의 "밴드 구조"입니다.
k·p 섭동 이론은 밴드 구조를 단지 몇 가지 매개변수로 대략적으로 기술할 수 있는 기술이다.이 기술은 일반적으로 반도체에 사용되며, 모델의 매개변수는 종종 실험에 의해 결정됩니다.
크로니그-페니 모델, 밴드 형성을 설명하는 데 유용한 1차원 직사각형 우물 모델.단순하지만 많은 중요한 현상을 예측하지만 정량적이지는 않습니다.
허바드 모형

밴드 구조는 복소수인 웨이브 벡터로 일반화되었고, 그 결과 복잡한 밴드 구조라고 불리는 것이 표면과 인터페이스에서 관심을 갖는다.

각 모형은 일부 유형의 고형물을 매우 잘 기술하고 다른 유형의 고형물은 잘 기술하지 않습니다.거의 자유로운 전자 모형은 금속에는 잘 작동하지만 비금속에는 잘 작동하지 않습니다.밀착 결합 모델은 금속 할로겐화염(예: NaCl)과 같은 이온 절연체에 대해 매우 정확합니다.

밴드 다이어그램

실제 공간에서 밴드 구조가 페르미 레벨에 비해 어떻게 변화하는지 이해하기 위해 밴드 구조도를 먼저 밴드 다이어그램의 형태로 단순화시키는 경우가 많습니다.밴드 다이어그램에서 수직축은 에너지이고 수평축은 실제 공간을 나타냅니다.수평선은 에너지 레벨을 나타내고 블록은 에너지 밴드를 나타냅니다.이 다이어그램의 수평선이 기울어지면 레벨 또는 밴드의 에너지가 거리에 따라 변경됩니다.도식으로, 이것은 결정계 내에서의 전계의 존재를 나타낸다.밴드 다이어그램은 서로 접촉할 때 서로 다른 재료의 일반적인 밴드 구조 특성을 관련짓는 데 유용하다.

「」를 참조해 주세요.

밴드갭 엔지니어링 - 재료의 밴드 구조를 변경하는 프로세스
펠릭스 블로흐: 밴드 구조 이론의 선구자
Alan Herries Wilson - 밴드 구조 이론의 선구자

인용문

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일반 참고 문헌 목록

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추가 정보

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외부 링크

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v t 원자 모형
단일 원자	달튼 모델(빌리어드 볼 모델) Lewis 모델(입방체 원자 모델) 나가오카 모델(토성 모델) Rutherford 모형(행성 모형) Bohr 모형(Rutherford-Bohr 모형) Bohr-Sommerfeld 모델(정제 Bohr-Sommerfeld 모델 그리진스키 모델(프리폴 모델) Schrodinger 모형(전자 구름 모형) 디락-고든 모델(상대론적 원자 모형) Thomson 모형(플럼 푸딩 모형) 원자의 소용돌이 이론(Knot 모델)
고체 중의 원자	아인슈타인 고체 데비 모형 드러드 모형 자유 전자 모형 거의 자유로운 전자 모형 밴드 구조 밀도 함수 이론
유체 중의 원자	이상 기체 반데르발스 가스 뉴턴 유체 보스-아인슈타인 응축수 페르미 가스
과학자	펠릭스 블로흐 닐스 보어 사틴드라 나스 보스 존 달튼 피터 데비 폴 디락 폴 드루드 알버트 아인슈타인 월터 고든 미하우 그리진스키 어빙 랭뮤어 길버트 N루이스 나가오카 한타로 아이작 뉴턴 어니스트 러더퍼드 에르빈 슈뢰딩거 아르놀트 소머펠트 J. J. 톰슨 요하네스 디데리크 판 데르 발스
카테고리:원자 포털:물리/화학

v t 응집 물질 물리학
물질 상태	단단한 액체. 가스 플라즈마 보스-아인슈타인 응축수 페르미온 응축수 페르미 가스 페르미 액체 초솔리드 초유체 루팅거액 시간 결정
위상 현상	Order 파라미터 상전이
전자 단계	전자 밴드 구조 절연체 모트 인슐레이터 반도체 세미메탈 컨덕터 초전도체 열전 압전 강유전체 위상 절연체 스핀 갭리스 반도체
전자 현상	홀 효과 양자 홀 효과 스핀 홀 효과 양자 스핀 홀 효과 베리상 아로노프-봄 효과 조지프슨 효과 곤도 효과
자기상	반자성 슈퍼다이아마그넷 파라마그넷 슈퍼파라매그넷 강자석 반강자석 메타자성 스핀글라스
준입자	포논 엑시톤 플라스몬 폴라리톤 폴라론 매그논
연질 물질	비정질 고체 입상물 액정 고분자
과학자	맥스웰 반데르발스 데비 블로치 온사게 모트 피어스 란다우 루팅거 앤더슨 바딘 쿠퍼 슈리퍼 조지프슨 콘 카다노프 피셔
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목차

밴드 및 밴드 갭이 발생하는 이유

기본 개념

밴드 구조 이론의 가정과 한계

결정대칭 및 파동벡터

비대칭성: 비결정성 고체의 밴드 구조

상태 밀도

밴드 충전

페르미 레벨 부근의 밴드명(전류 밴드, 원자가 밴드)

결정체 이론

거의 자유 전자 근사

엄격한 바인딩 모델

KKR 모델

밀도함수론

Green의 함수 방법과 ab initio GW 근사

동적 평균장 이론

다른이들

밴드 다이어그램

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비대칭성: 비결정성 고체의 밴드 구조

상태 밀도

밴드 충전

페르미 레벨 부근의 밴드명(전류 밴드, 원자가 밴드)

결정체 이론

거의 자유 전자 근사

엄격한 바인딩 모델

KKR 모델

밀도함수론

Green의 함수 방법과 ab initio GW 근사

동적 평균장 이론

다른이들

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