프로젝터 증강파법

프로젝터 증강파법(PAW)은 ab initio 전자구조 계산에 사용되는 기술입니다.이는 의사전위 및 선형 증강 평면파 방법의 일반화이며, 밀도 함수 이론 계산을 더 높은 계산 ^[1]효율로 수행할 수 있습니다.

원자가파함수는 코어 상태에 직교해야 하기 때문에 이온 코어 근처에서 급격한 진동이 발생하는 경향이 있습니다.이 상황은 파동함수를 정확하게 설명하기 위해 많은 푸리에 구성요소(또는 그리드 기반 방법의 경우 매우 미세한 메시)가 필요하기 때문에 문제가 있습니다.PA 접근법은 빠르게 진동하는 파동함수를 계산상 더 편리한 매끄러운 파동함수로 변환함으로써 이 문제를 해결하고 이러한 매끄러운 파동함수로부터 모든 전자 특성을 계산하는 방법을 제공합니다.이 접근법은 슈뢰딩거 그림에서 하이젠베르크 그림으로의 변화를 다소 연상시킨다.

파동 함수 변환

선형 ${\mathcal {T}}$ T(\ $displaystyle\mathcal {T})$ 는 가상의 의사파 함수 $|{\tilde {\Psi }}\rangle$ ~ $δ {\displaystyle$ {\ $Psi}}\rangle$ 을 $|\tilde{\Psi}\rangle$ 전체 전자파 함수 $|\Psi \rangle$ {\ $displaystyle \Psi \rangle$ 로 변환합니다 ${\mathcal {T}}$ $|\Psi \rangle$

{\displaystyle\Psi\rangle=mathcal {T}{tilde\Psi}}\rangle}

"전체 전자" 파동 함수는 Kohn-Sham 단일 입자 파동 함수이며 다체 파동 함수와 혼동해서는 안 된다.In order to have ${\tilde {\Psi }}\rangle$ and $\Psi \rangle$ differ only in the regions near the ion cores, we write

{\mathcal {T}}=1+\sum _{R}{\hat {\mathcal {T}}}_{R}

{\mathcal {T}}=1+\sum _{R}{\hat {\mathcal {T}}}_{R}

{\mathcal {T}}=1+\sum _{R}{\hat {\mathcal {T}}}_{R}

+

{\mathcal {T}}=1+\sum _{R}{\hat {\mathcal {T}}}_{R}

{\mathcal {T}}=1+\sum _{R}{\hat {\mathcal {T}}}_{R}

{\mathcal {T}}=1+\sum _{R}{\hat {\mathcal {T}}}_{R}

^

{\mathcal {T}}=1+\sum _{R}{\hat {\mathcal {T}}}_{R}

{

displaystyle

{

mathcal

{

{\mathcal {T}}=1+\sum _{R}{\hat {\mathcal {T}}}_{R}

T } =

1

+ \

sum

_ { R

{\mathcal {T}}=1+\sum _{R}{\hat {\mathcal {T}}}_{R}

} { \

hat

\

mathcal

{

T }

_ {

R

} ,

${\hat {\mathcal {T}}}_{R}$ 서 T ${\hat {\mathcal {T}}}_{R}$ ^ ${\hat {\mathcal {T}}}_{R}$ $({displaystyle {T}}_{R})$ 은 $\hat{\mathcal{T}}_R$ $원자$ R ({ $displaystyle$ R $R$ 을 $\Omega _{R}$ 둘러싼 구면 증강 영역 $\Omega _{R}$ R ({ $displaystyle \Omega$ _ ${R})$ 내에서만 0이 아닙니다.

각 원자 주위에 의사 파동 함수를 의사 부분파로 확장하면 유용합니다.

|{\tilde {\Psi }}\rangle =\sum _{i}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle c_{i}

ψψ

~

|{\tilde {\Psi }}\rangle =\sum _{i}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle c_{i}

∑

|{\tilde {\Psi }}\rangle =\sum _{i}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle c_{i}

~

i ⟩

ic

（

display

style

） = \

sum

_ {i

} {

tilde

{

phi }

} {

\Omega _{R}

|{\tilde {\Psi }}\rangle =\sum _{i}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle c_{i}

} \

rangle

c

_

\Omega _{R}

{

\Omega _{R}

i

|{\tilde {\Psi }}\rangle =\sum _{i}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle c_{i}

}

。

${\mathcal {T}}$ T(\ $displaystyle {T})$ 는 ${\mathcal {T}}$ 선형이므로 계수 $(\$ })는 $c_{i}$ 프로젝터 함수 pi $(\displaystyle p_{i}\rangle$ 를 가진 내부 곱으로 작성할 수 있습니다.

(*displaystyle c_{i}=\displayle p_{i}}\rangle)

$\langle p_{i}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle =\delta _{ij}$ 서 $\langle p_{i}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle =\delta _{ij}$ ~ $\langle p_{i}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle =\delta _{ij}$ $\langle p_{i}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle =\delta _{ij}$ $\langle p_{i}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle =\delta _{ij}$ $\langle p_{i}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle =\delta _{ij}$ $($ 표시 $스타일)_rangle p_i$ = i j ({ $tilde {phi$ }}) $_{j}\rangle$ = {ij $langle$ _ ${ij$ }) 입니다.전광자 부분파 $|\phi _{i}\rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle$ i $|\phi _{i}\rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle$ $|\phi _{i}\rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle$ $|\phi _{i}\rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle$ $|\phi _{i}\rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle$ ~ $|\phi _{i}\rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle$ { $displaystyle \phi$ _ { $i$ } \ $rangle = tilde$ { $phi$ } $|\phi _{i}\rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle$ } $|\phi _{i}\rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle$ _ { i } \ $rangle$ $|\phi _{i}\rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle$ 은 일반적으로 고립된 원자에 대한 쿤-샴 슈뢰더 방정식의 해로 선택됩니다. ${\mathcal {T}}$ T $(\$ 는 ${\mathcal {T}}$ 다음과 같은 세 가지 양으로 지정됩니다.

전체 파형의 부분파 세트 $|\phi _{i}\rangle$ i $|\phi _{i}\rangle$ \ $displaystyle$ \ $phi$ _ { $i$ } \ $rangle$ }
a set of pseudo partial waves ${\tilde {\phi }}_{i}\rangle$
프로젝터 $|p_{i}\rangle$ 세트 $|p_{i}\rangle$ ${\$ { $display$ p $_$ { i } \ $rangle }$

그리고 우리는 그것을 명시적으로 쓸 수 있다.

{\displaystyle {T}=1+\sum _{i}\left(\phi _{i}\rangle - {tilde {phi }}_{i}\rangle \rangle p_{i})

확대영역 이외에서는 의사편파가 전자편파와 동일하다.구체 내에서는 다항식이나 베셀 함수의 선형 조합과 같은 부드러운 연속이 될 수 있습니다.

PA 방법은 일반적으로 코어 상태가 이온 환경의 영향을 받지 않는 것으로 가정되는 동결 코어 근사치와 결합된다.미리 계산된 원자성 PA ^[2]^[3]^[4]데이터의 온라인 저장소가 몇 개 있습니다.

변환 연산자

PA 변환에 의해 의사전위 계산의 의사파 함수를 사용하여 모든 전자파 관측 가능량을 계산할 수 있으므로 메모리에서 명시적으로 모든 전자파 함수를 나타낼 필요가 없어집니다.이것은 핵 근처의 파동 함수의 형태에 크게 의존하는 ^[5]NMR과 같은 특성 계산에 특히 중요하다.측정 시스템의 기대값 정의부터 시작합니다.

a

a_{i}=\langle \Psi |{\hat {A}}|\Psi \rangle

^ ^ ^ ^ {

i

}

⟩

{

displaystyle

a _ { i } = \

Psi

\

Psi

\

Psi

a_{i}=\langle \Psi |{\hat {A}}|\Psi \rangle

,

여기서 $|\Psi \rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\Psi }}\rangle$ $|\Psi \rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\Psi }}\rangle$ = $|\Psi \rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\Psi }}\rangle$ display $|\Psi \rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\Psi }}\rangle$ ~ ~ $display$ { displaystyle $\Psi \rangle =$ {\ { $T$ } { $tilde$ { $Psi$ }} \ $rangle$ $|\Psi \rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\Psi }}\rangle$ :

a_{i}=\langle {\tilde {\Psi }}|{\mathcal {T}}^{\dagger }{\hat {A}}{\mathcal {T}}|{\tilde {\Psi }}\rangle

a_{i}=\langle {\tilde {\Psi }}|{\mathcal {T}}^{\dagger }{\hat {A}}{\mathcal {T}}|{\tilde {\Psi }}\rangle

^

a_{i}=\langle {\tilde {\Psi }}|{\mathcal {T}}^{\dagger }{\hat {A}}{\mathcal {T}}|{\tilde {\Psi }}\rangle

a_{i}=\langle {\tilde {\Psi }}|{\mathcal {T}}^{\dagger }{\hat {A}}{\mathcal {T}}|{\tilde {\Psi }}\rangle

T ^ T ^ T ^

a_{i}=\langle {\tilde {\Psi }}|{\mathcal {T}}^{\dagger }{\hat {A}}{\mathcal {T}}|{\tilde {\Psi }}\rangle

^

a_{i}=\langle {\tilde {\Psi }}|{\mathcal {T}}^{\dagger }{\hat {A}}{\mathcal {T}}|{\tilde {\Psi }}\rangle

^

=

\

tilde

{ Tsi } } } {\

mathcal

{ T} {\

hat

{

A}

} {\

tilde

{

Psi

} } {\

dagger

} {\

mathcal

{ T} {\

langle

,

여기서부터 유사 연산자를 정의할 수 있습니다(칠데로 표시).

{\tilde {A}}={\mathcal {T}}^{\dagger }{\hat {A}}{\mathcal {T}}

~

{\tilde {A}}={\mathcal {T}}^{\dagger }{\hat {A}}{\mathcal {T}}

{\tilde {A}}={\mathcal {T}}^{\dagger }{\hat {A}}{\mathcal {T}}

A

{\tilde {A}}={\mathcal {T}}^{\dagger }{\hat {A}}{\mathcal {T}}

^ T

{\tilde {A}}={\mathcal {T}}^{\dagger }{\hat {A}}{\mathcal {T}}

^ T {

displaystyle

{

tilde

{ A } =

philmathcal

{ T

}^{

\

dagger

} { \

hat

{

A

} { \

mathcal

{

T}

{\tilde {A}}={\mathcal {T}}^{\dagger }{\hat {A}}{\mathcal {T}}

$A$ 가 로컬이고 $동작$ 이 올바른 경우 T $(\$ 의 ${\hat {A}}$ ${\mathcal {T}}$ ${\mathcal {T}}$ 를 사용하여 확장하여 PA 연산자에게 변환을 제공할 수 있습니다.

=

ringle \right)\classle p_{j}

$i,j$ 서 인덱스 i $,$ $(displaystyle$ i $,j)$ 는 $i,j$ 모든 원자의 모든 프로젝터에 적용됩니다.일반적으로 동일한 원자에 대한 지수만 합산된다. 즉, 소외 기여는 무시되며, 이를 "현장 근사"라고 한다.

원본 논문에서 Blöchl은 구면 확대 영역 내에 위치하는 임의의 ${\hat {B}}$ B $^$ {\ $display$ style ${B}}$ 에는 형식의 항을 추가할 수 있는 자유도가 있다고 지적했다.

B

-

{\hat {B}}-\sum _{i,j}|p_{i}\rangle \langle {\tilde {\phi }}_{i}|{\hat {B}}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle \langle p_{j}|

、

{\hat {B}}-\sum _{i,j}|p_{i}\rangle \langle {\tilde {\phi }}_{i}|{\hat {B}}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle \langle p_{j}|

、

{\hat {B}}-\sum _{i,j}|p_{i}\rangle \langle {\tilde {\phi }}_{i}|{\hat {B}}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle \langle p_{j}|

{\hat {B}}-\sum _{i,j}|p_{i}\rangle \langle {\tilde {\phi }}_{i}|{\hat {B}}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle \langle p_{j}|

i

{\hat {B}}-\sum _{i,j}|p_{i}\rangle \langle {\tilde {\phi }}_{i}|{\hat {B}}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle \langle p_{j}|

{\hat {B}}-\sum _{i,j}|p_{i}\rangle \langle {\tilde {\phi }}_{i}|{\hat {B}}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle \langle p_{j}|

{\hat {B}}-\sum _{i,j}|p_{i}\rangle \langle {\tilde {\phi }}_{i}|{\hat {B}}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle \langle p_{j}|

、

{\hat {B}}-\sum _{i,j}|p_{i}\rangle \langle {\tilde {\phi }}_{i}|{\hat {B}}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle \langle p_{j}|

^ ^

{\hat {B}}-\sum _{i,j}|p_{i}\rangle \langle {\tilde {\phi }}_{i}|{\hat {B}}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle \langle p_{j}|

~

{\hat {B}}-\sum _{i,j}|p_{i}\rangle \langle {\tilde {\phi }}_{i}|{\hat {B}}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle \langle p_{j}|

{\hat {B}}-\sum _{i,j}|p_{i}\rangle \langle {\tilde {\phi }}_{i}|{\hat {B}}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle \langle p_{j}|

{\hat {B}}-\sum _{i,j}|p_{i}\rangle \langle {\tilde {\phi }}_{i}|{\hat {B}}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle \langle p_{j}|

{\hat {B}}-\sum _{i,j}|p_{i}\rangle \langle {\tilde {\phi }}_{i}|{\hat {B}}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle \langle p_{j}|

displaystyle

{

B

} - \

sum

_ {

i

,

j

} p

_ langle

\

tilde

{

phi } _

{

i

} { hat } { i

}

\

langle

\

langle

핵 쿨롱 전위는 이제 더 부드러운 전위로 대체될 수 있기 때문에 PA 내 의사 전위 구현의 기초로 볼 수 있다.

추가 정보

Rostgaard, Carsten (2010). "The Projector Augmented-wave Method". arXiv:0910.1921v2 [cond-mat.mtrl-sci].
Kresse, G.; Joubert, D. (1999). "From ultrasoft pseudopotentials to the projector augmented-wave method". Physical Review B. 59 (3): 1758–1775. Bibcode:1999PhRvB..59.1758K. doi:10.1103/PhysRevB.59.1758.
Dal Corso, Andrea (2010-08-11). "Projector augmented-wave method: Application to relativistic spin-density functional theory". Physical Review B. 82 (7): 075116. Bibcode:2010PhRvB..82g5116D. doi:10.1103/PhysRevB.82.075116.

프로젝터 증강파 방식을 구현하는 소프트웨어

레퍼런스

^ Blöchl, P.E. (1994). "Projector augmented-wave method". Physical Review B. 50 (24): 17953–17978. arXiv:cond-mat/0201015. Bibcode:1994PhRvB..5017953B. doi:10.1103/PhysRevB.50.17953. PMID 9976227.
^ "PAW atomic data for ABINIT code". Archived from the original on 11 September 2015. Retrieved 13 February 2012.
^ "Periodic Table of the Elements for PAW Functions". Retrieved 13 February 2012.
^ "Atomic PAW Setups". Retrieved 14 February 2012.
^ Pickard, Chris J.; Mauri, Francesco (2001). "All-electron magnetic response with pseudopotentials: NMR chemical shifts". Physical Review B. 63 (24): 245101–245114. arXiv:cond-mat/0101257. Bibcode:2001PhRvB..63x5101P. doi:10.1103/PhysRevB.63.245101. S2CID 119510292.

[1] Blöchl, P.E. (1994). "Projector augmented-wave method". Physical Review B. 50 (24): 17953–17978. arXiv:cond-mat/0201015. Bibcode:1994PhRvB..5017953B. doi:10.1103/PhysRevB.50.17953. PMID 9976227.

[2] "PAW atomic data for ABINIT code". Archived from the original on 11 September 2015. Retrieved 13 February 2012.

[3] "Periodic Table of the Elements for PAW Functions". Retrieved 13 February 2012.

[4] "Atomic PAW Setups". Retrieved 14 February 2012.

[5] Pickard, Chris J.; Mauri, Francesco (2001). "All-electron magnetic response with pseudopotentials: NMR chemical shifts". Physical Review B. 63 (24): 245101–245114. arXiv:cond-mat/0101257. Bibcode:2001PhRvB..63x5101P. doi:10.1103/PhysRevB.63.245101. S2CID 119510292.

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