유효질량(고체물리학)

고체물리학에서 입자의 유효질량($종종$ m ${\$ $\{*\})$은 힘에 반응할 때 가지는 것처럼 보이는 질량 또는 열분포에서 다른 동일한 입자와 상호작용할 때 가지는 것처럼 보이는 질량입니다.고체의 띠 이론의 결과 중 하나는 격자 간격보다 긴 거리에 걸친 주기적인 전위에서의 입자의 움직임이 진공에서의 움직임과 매우 다를 수 있다는 것입니다.유효 질량은 그 질량을 가진 자유 입자의 거동을 모델링하여 밴드 구조를 단순화하는 데 사용되는 양입니다.어떤 목적과 어떤 재료의 경우 유효 질량은 물질의 단순한 상수로 간주할 수 있다.그러나 일반적으로 유효 질량의 값은 사용되는 목적에 따라 다르며 여러 요인에 따라 달라질 수 있습니다.

고체의 전자 또는 전자 구멍의 경우, 유효 질량은 일반적으로 전자의 나머지 질량을 곱한 인수로 명시된다_e(9.11 × 10⁻³¹ kg).이 인자는 보통 0.01 ~ 10 범위이지만, 예를 들어 이국적인 무거운 페르미온 물질의 경우 1,000에 도달하거나 그래핀의 경우 0 ~ 무한대(정의에 따라 다름)에 도달하는 등 더 낮거나 더 높을 수 있습니다.보다 일반적인 밴드 이론을 단순화 시키기 때문에, 전자 유효 질량은 태양 전지의 효율에서 집적 회로의 속도에 이르는 모든 것을 포함하여 고체의 측정 가능한 특성에 영향을 미치는 중요한 기본 매개변수로 볼 수 있습니다.

간단한 예: 포물선, 등방성 분산 관계

많은 반도체(Ge, Si, GaAs, ...)에서 원자가 밴드의 가장 높은 에너지와 일부 반도체(GaAs, ...)에서 전도 밴드의 가장 낮은 에너지에서 밴드 구조 E(k)는 다음과 같이 국소적으로 근사할 수 있다.

${\displaystyle E(\mathbf {k})=E_{0}+{\frac {hbar ^{2}\mathbf {k}}}:{2m^{*}}$

여기서 E(k)는 해당 대역에서 파장 벡터 k에 있는 전자의 에너지이고₀, E는 해당 대역의 에너지 가장자리를 주는 상수이며^*, m은 상수(유효 질량)이다.

이러한 대역에 배치된 전자는 에너지가 위의 근사치의 유효 범위 내에 있는 한 다른 질량을 제외하고 자유 전자처럼 행동한다는 것을 보여줄 수 있다.그 결과 드루드 모델과 같은 모델의 전자 질량은 유효 질량으로 대체되어야 합니다.

한 가지 주목할 만한 특성은 밴드가 최대값에서 아래로 구부러질 때 유효 질량이 음이 될 수 있다는 것입니다.음의 질량의 결과로, 전자는 정상과 반대 방향의 속도를 얻음으로써 전기와 자기력에 반응합니다. 이러한 전자는 음의 전하를 가지고 있어도, 마치 양전하를 가지고 있는 것처럼 궤적으로 움직입니다.이것은 반도체에서 ^[1]찾을 수 있는 양의 전하, 양의 질량의 준입자인 원자가 밴드 홀의 존재를 설명한다.

어떤 경우에도 밴드 구조가 위에서 설명한 단순한 포물선 형태를 가지고 있다면 유효 질량의 값은 명확하다.유감스럽게도 이 포물선 형태는 대부분의 재료를 설명하는 데 유효하지 않습니다.이러한 복잡한 재료에는 "유효 질량"에 대한 단일 정의가 없고 대신 각각 특정 목적에 적합한 다중 정의가 있습니다.기사의 나머지 부분에서는 이러한 유효 질량에 대해 자세히 설명합니다.

중간 케이스: 포물선, 이방성 분산 관계

일부 중요한 반도체(특히 실리콘)에서 전도 대역의 가장 낮은 에너지는 대칭적이지 않습니다. 왜냐하면 고정 에너지 표면은 이제 등방성 케이스의 구가 아닌 타원체이기 때문입니다.각 전도 대역의 최소값은 다음 방법으로만 근사할 수 있습니다.

$\displaystyle E\left(\mathbf {k}\right)=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{x}{*}\left(k_{x}-k_{0,x}\right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}+{2m_{y}}\left(k_{y}-{0y}^0y}\fright})^{2}}{\fr2}{2}}}{\fr2}$

여기서 x, y 및 z 축은 타원체의 주축에 정렬되며^*
_x m, m^*
_y, m은^*
_z 이러한 여러 축을 따른 관성 유효 질량입니다.오프셋_0,x k, k_0,y 및_0,z k는 전도 대역 최소값이 더 이상 0 파형 벡터의 중심에 있지 않음을 반영합니다.(이 유효질량은 나중에 설명하는 관성 유효질량 텐서의 주요 구성요소에 해당합니다.)^[3]

이 경우, 전자 운동은 더 이상 자유 전자와 직접 비교할 수 없습니다. 전자의 속도는 전자의 방향에 따라 달라지며 힘의 방향에 따라 다른 정도로 가속됩니다.그러나 실리콘과 같은 결정에서는 전도성과 같은 전반적인 특성이 등방성으로 나타납니다.그 이유는 여러 개의 밸리(컨덕션 밴드 최소값)가 있으며, 각각 다른 축을 따라 배열된 유효 질량을 가지고 있기 때문입니다.계곡은 모두 함께 작용하여 등방성 전도성을 제공합니다.여러 축의 유효 질량을 함께 평균하여 자유 전자상을 되찾을 수 있습니다.그러나 평균화 방법은 ^[4]목적에 따라 달라집니다.

일반적인 경우

일반적으로 분산 관계는 포물선으로 근사할 수 없으며, 이러한 경우 유효 질량을 정확히 정의해야 한다.여기서 유효질량의 일반적인 정의는 아래에 정의된 관성 유효질량 텐서이다. 그러나 일반적으로 이것은 파동 벡터의 매트릭스 값 함수이며 밴드 구조보다 더 복잡하다.다른 유효 질량은 직접 측정 가능한 현상과 더 관련이 있다.

관성 유효 질량 텐서

힘의 영향을 받는 고전 입자는 뉴턴의 제2법칙인 a = mF에⁻¹ 따라 가속됩니다.이 직관적인 원리는 밴드 구조에서 도출된 반고전적 근사에서 동일하게 나타난다.그러나 각 기호는 약간 변경된 의미를 가지며 가속도는 군 속도의 변화율이 됩니다.

${\displaystyle \mathbf {a} = specfrac {operatorname {d} t}},\mathbf {v} _{\text{g} = specfrac {d} t} {\left(\operatorname {d} t} \la _k} \mathb} \mathb}thbf {k} {\operatorname {d} t}}\cdot \cdot \cdotla _{k},\Omega (\mathbf {k})\right},}$

여기서 _kθ는 역방향 공간에서의 del 연산자이며 힘은 결정_crystal 운동량 p의 변화율을 나타낸다.

${\displaystyle \mathbf {F} = frac {operatorname {d} \mathbf {p} _{\text {d}} {\operatorname {d} t} = \hbar {\frac {d} \mathbf {d} {\operatorname {d} t},$

여기서 = h/2µ는 환원 플랑크 상수이다.이 두 방정식을 결합하면

$\displaystyle \mathbf {a} = \mathbf _{k}\frac {\hbar }}\cdot \mathbf _{k},\obe(\mathbf {k}\오른쪽).}$

양쪽에서 th 요소를 추출하면

${\displaystyle a_{i}=\leftfrac{1}{\hbar}},{\frac {\frac ^{2}\ocha \left(\mathbf {k}\right)}{\frac k_{j}\fright}\!F_{j}=\left({\frac {1}{\hbar ^{2}}},{\frac {{2}E\left(\mathbf {k}\right)}{\frac k_{i}\fright}\frac k_{j}\fright}\!F_{j}$

여기서 은 a의 th번째 원소이고, F의 th번째 원소이며, 각각 k의 th와 th 원소이며, E는 플랑크-아인슈타인 관계에 따른 입자의 총 에너지이다.인덱스는 아인슈타인 표기법을 사용하여 축소됩니다(위에 암묵적인 합계가 있습니다).뉴턴의 제2법칙은 (중력 질량이 아닌) 관성 질량을 사용하기 때문에, 우리는 텐서로서 위의 방정식에서 이 질량의 역수를 확인할 수 있다.

$\displaystyle \left [M_{\text{inert}^{-1}\right]_{ij}=blac {1}{\hbar ^{2}E}{\flac {\partial k_{i}\partial k_{j}},}$

이 텐서는 결정 운동량의 변화로 인한 군 속도의 변화를 표현합니다.그것의 역수인_inert M은 유효 질량 텐서로 알려져 있다.

유효 질량에 대한 관성식이 일반적으로 사용되지만, 그 특성은 직관에 반할 수 있습니다.

• 유효 질량 텐서는 일반적으로 k에 따라 달라지는데, 이는 입자의 질량이 실제로 임펄스를 받은 후에 변화한다는 것을 의미한다.이 값이 일정하게 유지되는 유일한 경우는 위에서 설명한 포물선 띠의 경우입니다.
• 유효질량텐서는 그래핀의 광자나 전자와 같은 선형분산관계에 대해 발산한다(무한화된다). (이러한 입자들은 때때로 질량이 없다고 하지만 이것은 정지질량이 0임을 의미한다; 정지질량은 유효질량과 별개의 개념이다.)

사이클로트론 유효 질량

고전적으로 자기장 내의 하전 입자는 자기장 축을 따라 나선형으로 이동한다.운동 주기 T는 질량 m과 전하 e에 따라 달라진다.

$\displaystyle T=\left\vert\frac {2\pi m}{eB}\right\vert}$

여기서 B는 자속 밀도이다.

비대칭 밴드 구조의 입자의 경우, 입자는 더 이상 정확히 나선형으로 움직이지 않지만, 자기장으로 횡단하는 움직임은 여전히 닫힌 루프(꼭 원일 필요는 없음)로 움직입니다.또한 이들 루프 중 하나를 완료하는 시간은 여전히 자기장에 따라 반비례하므로 위의 방정식을 사용하여 측정된 기간부터 사이클로트론 유효질량을 정의할 수 있다.

입자의 반고전 운동은 k-공간에서 닫힌 루프로 설명할 수 있다.이 루프를 통해 입자는 자기장 축을 따라 일정한 운동량뿐만 아니라 일정한 에너지를 유지합니다.A를 이 루프로 둘러싸인 k공간 영역(이 영역은 에너지 E, 자기장 방향 및 축파 벡터_B k에 따라 다름)으로 정의하면 사이클로트론 유효 질량이 에너지에서 이 영역의 도함수를 통해 밴드 구조에 의존함을 알 수 있습니다.

${\displaystyle m^{*}\left(E,{\hat {B}},k_{\hat {B}},k_{\pi }}=cdot {frac }{\pi }}{\left(E,{\hat {B}},\hat {\})$

일반적으로 사이클로트론 운동(사이클로트론 공명, De Haas-Van Alphen 효과 등)을 측정하는 실험은 페르미 수준 근처의 에너지에 대해서만 프로브 운동으로 제한된다.

2차원 전자 가스에서 사이클로트론 유효 질량은 1개의 자기장 방향(수직)에 대해서만 정의되며 면외 파동 벡터는 탈락한다.따라서 사이클로트론 유효 질량은 에너지의 함수일 뿐이며${\displaystyle ,}$ g ${\displaystyle ()}$ $=$ ${\displaystyle g\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{v_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}{}^{}}{}}$δ$$ 2 (\$displaystyle \scriptstyle$ g$(E)\;=\;{\frac {g_{v}m$의 $관계$를 통해 해당 에너지에서의 상태 밀도와 정확히 관련이 있는 것으로 밝혀졌다. 여기서_v g는 g이다.이러한 단순한 관계는 3차원 물질에는 적용되지 않습니다.

상태 유효 질량 밀도(약간 도프된 반도체)

다양한^[5][6][7][8] 반도체의 상태 유효 질량 밀도

그룹.	재료.	전자	구멍
IV	Si(4K)	1.06	0.59
	Si (300 K)	1.09	1.15
	ge	0.55	0.37
III-V	GaAs	0.067	0.45
	InSb	0.013	0.6
II~VI	ZnO	0.29	1.21
	ZnSe	0.17	1.44

도핑 수준이 낮은 반도체에서 전도 대역의 전자 농도는 일반적으로 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle n_{e}=N_{C}\exp \leftfac {E_{\text{C}}-E_{\text{\text}F}}{kT}}\right}$

여기서_F E는 페르미 레벨, E는_C 전도 대역의 최소 에너지, N은_C 온도에 따라 달라지는 농도 계수입니다.위의 n에 대한_e 관계는 도핑이 약할_C 경우(E_F - E µ kT) 모든 전도 밴드 형태(비포물선, 비대칭 밴드 포함)에 적용되는 것으로 나타날 수 있다. 이는 맥스웰-볼츠만 통계로 제한되는 페르미-디락 통계의 결과이다.

유효 질량의 개념은 N의 온도_C 의존성을 모델링하는 데 유용하며, 따라서 다양한 온도 범위에서 위의 관계를 사용할 수 있습니다.포물선 띠를 가진 이상적인 3차원 재료에서 농도 계수는 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle \displaystyle N_{C}=2\left({\frac {2\pi m_{e}^{*}k)T} {h^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}$

단순하지 않은 밴드 구조를 가진 반도체에서, 이 관계는 전자의 유효 질량의 밀도로 알려진 유효 질량을 정의하는 데 사용됩니다.포물선 띠의 상태 밀도를 통해 N에 대한_C 위의 식이 도출되었기 때문에 "상태 유효 질량 밀도"라는 이름이 사용됩니다.

실제로 이 방법으로 추출된 유효 질량은 온도가 일정하지 않습니다_C(N은 T와 정확히^3/2 다르지 않습니다).예를 들어 실리콘의 경우 밴드 구조 자체의 모양이 약간 바뀌기 때문에 이 유효 질량은 절대 0과 실온 사이에서 몇 퍼센트씩 변화합니다.이러한 밴드 구조의 왜곡은 격자의 열팽창이 작은 ^[5]역할을 하면서 전자-폰 상호작용 에너지의 변화에 의한 결과이다.

마찬가지로, 원자가 밴드의 구멍 수와 상태 밀도는 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle n_{h}=N_{V}\exp \leftfac {\frac {E_{\text}F}}-E_{\text{V}}}{kT}}\오른쪽,\quad N_{V}=2\left({\frac {2\pi m_{h}^{*}k)T} {h^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}$

여기서_V E는 원자가 대역의 최대 에너지입니다.실질적으로 이 유효 질량은 많은 물질(예: 실리콘의 2배)에서 절대 0과 실온 사이에서 크게 달라지는 경향이 있는데, 이는 서로 구별되고 상당히 비포물선 특성을 가진 여러 원자가 밴드가 모두 동일한 에너지 근처에서 ^[5]정점에 있기 때문이다.

결정.

실험적인

기존 유효 질량은 마이크로파 주파수가 사이클로트론 $주파수{\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle c_{}}$ $=$ ${\displaystyle \frac{e}{}}$ B ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ m $†$ { $display$style \$scriptstyle f_{c$}\;\;{\$frac {eB}{2\pi^{*}}}$일 때 자기장에 침지된 반도체의 마이크로파 흡수가 급격한 피크를 통과하는 방법인 사이클로트론 공명을 사용하여 측정되었다.$\}\}.$ 최근 몇 년간 유효 질량은 각도 분해능 사진 방출(ARPES) 또는 가장 직접적으로 드 하스-반 알펜 효과와 같은 기법을 사용하여 밴드 구조의 측정을 통해 더 일반적으로 결정되었다$.$유효질량은 저온 전자비열에서의 선형항 계수 θ를 사용하여 $정용량{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ v$$\$displaystyle \scriptstyle c_{v$에서 추정할 수도 있다.특정 열은 페르미 수준에서 상태 밀도를 통한 유효 질량에 따라 달라지며, 따라서 퇴행성 및 밴드 곡률의 측정값입니다.특정 열 측정에서 운반체 질량의 매우 큰 추정치가 무거운 페르미온 물질의 개념을 만들어냈습니다.반송파 이동성은 유효질량에 대한 반송파 충돌 수명$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle\tau)$의 비율에 따라 달라지기 때문에 원칙적으로 반송파 충돌 확률을 알 수 없기 때문에 이 방법은 실용적이지 않습니다.광학 홀 효과는 반도체에서 자유 전하 반송파 밀도, 유효 질량 및 이동성 매개변수를 측정하기 위한 새로운 기술입니다.광학 홀 효과는 전도성 및 복합 적층 재료의 광학 주파수에서 준정전계 유도 전기 홀 효과의 유사성을 측정합니다.광학 홀 효과는 또한 유효 ^[9][10]질량 및 이동성 매개변수의 이방성(텐서 특성)의 특성화를 허용합니다.

이론적인

밀도 함수 이론, k·p 섭동 이론 등을 포함한 다양한 이론적 방법은 이러한 측정치의 해석, 적합 및 추정을 포함하여 이전 섹션에서 설명한 다양한 실험 측정치를 보완하고 지원하기 위해 사용된다.이러한 이론적 방법 중 일부는 실험 데이터가 없을 때 유효 질량의 초기 예측을 위해 사용될 수 있다. 예를 들어, 실험실에서 아직 생성되지 않은 물질을 연구하는 데 사용할 수 있다.

중요성

유효 질량은 전기장이나 반송파 구배의 영향을 받는 전자의 수송과 같은 수송 계산에 사용되지만 반도체 내 반송파 밀도와 상태 밀도를 계산하는 데도 사용됩니다.이러한 질량은 관련이 있지만, 이전 섹션에서 설명한 바와 같이 다양한 방향과 파동 벡터의 가중치가 다르기 때문에 동일하지 않다.이러한 차이는 열전 재료에서 중요하다. 열전 재료에서는 일반적으로 광량과 관련된 높은 전도율이 일반적으로 무거운 질량과 관련된 높은 시벡 계수와 동시에 요구된다.이러한 맥락에서 서로 다른 재료의 전자 구조를 평가하는 방법이 개발되었다.^[11]

갈륨 비소(GaAs) 및 인듐 안티몬화물(InSb)과 같은 특정 III-V 화합물은 실리콘 및 게르마늄과 같은 사면체 IV 물질보다 유효 질량이 훨씬 작습니다.전자 운송의 가장 단순한 드루드 그림에서 얻을 수 있는 최대 전하 반송 속도는 유효 질량에 반비례한다: $v\stackrel{}{}$ $\to \mu$ μ$$δ E $→$ ({$textstyle$ {v$}\;\left\Vert \mu$ \right$\Vert \cdot {E}$ $={}^{}$ μ $\delta \stackrel{}{}$ E}$$$\to$ (\textstyleft\textstyle {$v} =$ \backstyle {v}\le {v}\;\;\le\le\le\le\le\;\le\left\;\le\$lev$})$\Vert \;=\;{e\vert }/{\left\Vert$ m$^{*}\right$\Vert $}}$ ($\textyle$ e$}$는 전자 전하).집적회로의 궁극적인 속도는 반송파의 속도에 따라 달라지기 때문에 셀룰러 ^[12]텔레포니와 같은 고대역폭 애플리케이션에서 Si 대신 GaAs와 그 파생물질이 사용되는 근본적인 이유가 됩니다.

2017년 4월, 워싱턴 주립 대학의 연구진은 분산 ^[13]관계를 엔지니어링하여 보스-아인슈타인 응축액 내부에 음의 유효 질량을 가진 유체를 생성했다고 주장했다.

「 」를 참조해 주세요.

고체 및 결정 모델:

• 밀착형 모델
• 자유 전자 모형
• 거의 자유로운 전자 모형

각주

레퍼런스

• Pastori Parravicini, G. (1975). Electronic States and Optical Transitions in Solids. Pergamon Press. ISBN 978-0-08-016846-3. 이 책에는 계산과 실험의 광범위한 비교와 함께 주제에 대한 포괄적이지만 접근하기 쉬운 토론이 포함되어 있습니다.
• S. Pekar, 결정에서 유효 전자 질량의 방법 Zh.Eksp. Teor.피즈. 16,933(1946)

외부 링크

• NSM 아카이브