와니어 함수

Wannier 함수는 고체 상태의 물리에 사용되는 직교 함수의 전체 집합이다. 그것들은 Gregory Wannier에 의해 소개되었다.^[1][2] Wannier 함수는 결정체계의 분자 궤도 지역이다.

결정의 서로 다른 격자 부위에 대한 Wannier 기능은 직교하여 특정 체계의 전자 상태 확장에 편리한 기초를 제공한다. Wannier 함수는 예를 들어 전자에 작용하는 결합력 분석에서 광범위하게 사용된다는 것을 발견했다; 절연체에 기하급수적으로 국부화된 Wannier 함수의 존재는 2006년에 증명되었다.^[3] 구체적으로는 이러한 함수가 excitons와 응축된 Rydberg 물질의 분석에도 사용된다.^{[citation needed][clarification needed]}

정의

국부적인 분자 궤도와 마찬가지로 워니에 함수는 여러 가지 방법으로 선택할 수 있지만,^[4] 고체 상태 물리학에서 원래의 정의,^[1] 단순화, 가장 일반적인 정의는 다음과 같다. 완벽한 크리스털에서 단일 밴드를 선택하고, 블록 상태를 다음과 같이 표시한다.

${\displaystyle \mathbf {k}(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r}u_{\mathbf {k}(\mathbf {r} )}$

여기서 u_k(r)는 결정과 동일한 주기성을 갖는다. Wannier 함수는 다음에 의해 정의된다.

${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$,

어디에

• R은 모든 격자 벡터(즉, 각 Bravais 격자 벡터에 대해 하나의 Wannier 함수가 있음)이다.
• N은 결정의 원시 세포 수입니다.
• k에 대한 합은 결정의 주기적인 경계 조건과 일치하는 브릴루인 영역(또는 상호 격자의 다른 원시 세포)에서 k의 모든 값을 포함한다. 여기에는 브릴루인 존을 통해 균일하게 펼쳐지는 N가지 k의 다른 값이 포함된다. N은 대개 매우 크기 때문에 대체 규칙에 따라 합계를 적분으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle \sum _{\mathbf {k}}\longrightarrow {\frac {N}{\Oomega}}\int_{\text{\\text}BZ}d^{3}\mathbf {k}}$

여기서 "BZ"는 볼륨 Ω인 브릴루인 구역을 의미한다.

특성.

이 정의에 기초하여 다음과 같은 속성이 유지된다는 것을 증명할 수 있다.^[5]

• 모든 격자 벡터 R' ,

${\displaystyle \phi_{\mathbf {R}}}(\mathbf {R} )=\phi_{\mathbf {R} +\mathbf {R}'}(\mathbf {R} +\mathbf {R}')}$

즉, Wannier 함수는 수량(r - R)에만 의존한다. 그 결과 이러한 함수는 대체 표기법으로 표기되는 경우가 많다.

${\displaystyle \phi(\mathbf {r} -\mathbf {R}):=\phi _{\mathbf {R}}(\mathbf {r} )}$

• Bloch 함수는 Wannier 함수의 용어로 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )}$,

여기서 합계는 결정의 각 격자 벡터 R 위에 있다.

• 파장 기능 집합 $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbf{}}_{}}$ ${\$은 해당 밴드의 정형화된 기준이다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\int _{\text{결정}}\phi}(\mathbf{r})^{*}\phi _{\mathbf{R'}}_{\mathbf{R}, ={\frac{1}{N}}\sum}\int _{\text{결정}}_{\mathbf{k,k의}\cdot \mathbf{R}e^{i\mathbf{k}}\psi _{\mathbf{k}}\cdot \mathbf{R'}}\psi _{\mathbf{k'}(\mathbf{r})^{*}e^{-i\mathbf{k'}}({\mathbf{r}및(\mathbf{r})d^{3}\mathbf.r})d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\delta _{\mathbf {k,k'} }\\&={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {(R'-R)} }\\&=\delta _{\mathbf {R,R'} }\end{aligned}}}$

Wannier 기능도 거의 주기적인 잠재력으로 확장되었다.^[6]

현지화

Bloch 상태 ψ_k(r)은 특정 해밀턴주의 고유 특성으로 정의되며, 따라서 전체 단계까지만 정의된다. 위상 변환 e를^iθ(k) 함수 ψ_k(r)에 적용함으로써 어떤 (실제) 함수 θ(k)에 대해서도 동일하게 유효한 선택에 도달한다. 그 변화는 Bloch 상태의 특성에 영향을 미치지 않지만, 해당 Wannier 기능은 이 변환에 의해 크게 변경된다.

따라서 사람들은 가장 편리한 워니어의 기능을 제공하기 위해 Bloch 주의 단계를 선택하기 위해 자유를 사용한다. 실제로 이것은 보통 최대 국부화 집합으로, Wannier 함수 ϕ은_R 점 R을 중심으로 국부화 되어 R에서 빠르게 0으로 간다. 1차원 사례의 경우, 이러한^[7] 성질(특정 대칭에 따라)을 부여하는 독특한 선택이 항상 존재한다는 것이 콘에 의해 증명되었다. 이는 결과적으로 더 높은 차원의 분리 가능한 잠재력에 적용된다. 일반 조건은 확립되지 않았으며, 현재 진행 중인 연구의 대상이다.^[3]

와니어 기능을 얻기 위한 Pipek-Mezey 스타일의 현지화 방식도 최근 제안되었다.^[8] 최대 국지화된 워니어 함수(결정체계에 포스터-보이즈 제도를 적용한 기능)와는 반대로, 파이프크-메지 워니어 함수는 σ과 orbit 궤도선을 혼합하지 않는다.

현대 양극화 이론

Wannier 함수는 최근 결정의 양극화를 설명하는 데 응용되는 것을 발견했다. 예를 들어, 페로그래픽과 같다. 현대 양극화 이론은 라파엘레 레스타와 데이비드 밴더빌트가 개척한다. 예를 들어, Berghold ^[9]및 Nakhmanson과 ^[10]Vanderbilt의 PowerPoint 소개를 참조하십시오.^[11] 고형에서 단위 셀당 편광은 Wannier 전하 밀도의 쌍극 모멘트로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf{p_{c} =-e\sum _{n}\int \d^{3}r\,\\mathbf {r}W_{n}(\mathbf {r} ) ^{2}\,}$

여기서 총합은 점유된 대역에 걸쳐 있으며 W는_n 대역 n에 대한 셀에 국부화된 Wannier 함수다. 지속적인 물리적 과정 중 양극화의 변화는 양극화의 시간적 파생이며 점유하고 있는 블로흐 주의 베리 국면으로도 형성될 수 있다.^[5][12]

완니어 보간법

Wannier 함수는 종종 k 포인트의 거친 그리드에서 계산된 밴드 구조를 임의의 k 포인트로 보간하는 데 사용된다.를 임의의 k 포인트로 보간하는 데 사용된다. 이는 특히 촘촘한 그리드의 브릴루인 영역 통합 평가와 Weyl 포인트 검색 및 k-space에서의 파생 모델 획득에 유용하다. 이 접근방식은 엄격한 결합 근사치와 유사하지만 대조적으로 특정 에너지 범위의 대역에 대한 정확한 설명을 허용한다. 와니어 보간 체계는 스펙트럼 특성,^{[13] [14]}비정상적인 홀 전도도, 궤도 자화, 열전 및 전자 운송 특성,^[15][16] 회전 효과,^[17] 시프트 전류,^[18] 스핀 홀 전도도 및 기타^[20] 효과에 대해 도출되었다.

참고 항목

• 궤도자기화

참조

추가 읽기

• Karin M Rabe; Jean-Marc Triscone; Charles H Ahn (2007). Physics of Ferroelectrics: a Modern Perspective. Springer. p. 2. ISBN 978-3-540-34590-9.

외부 링크

• Wannier Gregory H (1937). "The Structure of Electronic Excitation Levels in Insulating Crystals". Physical Review. 52 (3): 191–197. Bibcode:1937PhRv...52..191W. doi:10.1103/PhysRev.52.191.
• 최대 지역화된 Wannier 기능을 계산하는 Wannier90 컴퓨터 코드
• Quantum Transport 애플리케이션에 적합한 최대 지역화된 Wannier 함수를 계산하는 Wannier Transport 코드
• WannierTools: 새로운 토폴로지 재료를 위한 오픈 소스 소프트웨어 패키지
• WannierBerri - Wannier 보간 및 엄격한 바인딩 계산을 위한 Python 코드

참고 항목

• 블로흐의 정리
• 해나이 각도
• 기하학적 위상