선형화 증강 평면파법

LAPW(Linearized Augmented Plane-Wave Method)는 주기적인 ^[1]^[2]재료에 적합한 Kohn-Sham Density Functional Theory(DFT)의 구현이다.이는 일반적으로 DFT의 맥락에서 동일한 기반에서 원자가와 코어 전자의 처리 및 형태 근사 없이 전체 전위와 전하 밀도의 처리와 함께 이루어집니다.이것은, 전전자 풀 전위 선형화 증강 평면파 방식(FLAPW)^[3]이라고 불리는 경우가 많습니다.의사 퍼텐셜 근사치에 의존하지 않고 체계적으로 확장 가능한 기본 세트를 사용합니다.이러한 특징들은 DFT의 가장 정밀한 구현 중 하나로, 화학 조성에 관계없이 모든 결정성 물질에 적용할 수 있다.다른 ^[4]접근방식을 평가하기 위한 참조로 사용할 수 있습니다.

서론

밀도 함수 이론의 핵심에서, 호엔버그-콘 이론은 상호작용하는 다전자 시스템의 모든 관측 가능한 것은 그 기저 상태 전하 밀도의 함수이며,^[5] 이 밀도가 시스템의 총 에너지를 최소화한다고 기술한다.이 정리는 어떻게 하면 그러한 지면 상태 밀도를 얻을 수 있는지에 대한 질문에 답하지 않는다.이에 대한 레시피는 인터랙티브 ^[6]입자 시스템과 동일한 기저 상태 밀도를 공유하도록 구성된 비인터랙티브 입자의 보조 시스템을 도입한 월터 콘과 루주 샴에 의해 제시되었다.이 시스템을 설명하는 슈뢰딩거 방정식은 콘샴 방정식입니다.이러한 방정식을 사용하여 시스템의 고유 상태와 밀도를 계산할 수 있습니다.Kohn-Sham 방정식에 대한 한 가지 기여는 밀도에 따라 달라지는 유효 잠재력이다.Kohn-Sham DFT 계산 전에는 지반 상태 밀도를 알 수 없고, 이러한 계산의 입력 및 출력이므로 Kohn-Sham 방정식은 반복마다 밀도 및 전위의 재계산과 함께 반복 절차로 해결된다.밀도에 대한 초기 추측에서 시작하여 반복할 때마다 출력 밀도와 이전 밀도를 혼합하여 새로운 밀도를 구성합니다.자기 정합 밀도의 고정점이 발견되면 바로 계산이 완료됩니다. 즉, 입력 밀도와 출력 밀도는 동일합니다.이것은 지면 상태 밀도입니다.

Kohn-Sham DFT를 구현하는 방법은 스케치된 반복 알고리즘의 이러한 다른 단계를 실현해야 한다.LAPW 방법은 물질의 단위 셀을 원자핵을 중심으로 겹치지 않지만 거의 접촉하는 이른바 머핀 주석(MT) 구와 구 사이의 인터스티셜 영역(IR)으로 분할하는 것에 기초한다.Kohn-Sham 궤도, 전하 밀도 및 전위의 물리적 설명과 표현은 이 분할에 적합하다.다음에서는 이 방법 설계와 그 수량의 추출을 보다 상세하게 스케치한다.변형 및 확장이 표시됩니다.

Kohn-Sham 방정식 풀기

실용적인 DFT 구현의 중심적인 측면은 Kohn-Sham 방정식을 푸는 방법이다.

\displaystyle \left[{\hat {T}_{\text{s}}+V_{\text{eff}(\mathbf {r})\right]\Psi _{j}^{\mathbf {k}\right}\rangle =\silon {j}_{j}_{\mathbf} \psi } \psi } \psi }

단일 전자 운동 에너지 ${\hat {T}}_{\text{s}}$ T ${\hat {T}}_{\text{s}}$ ${\displaystyle {T}_{\text{s$ 유효 $V_{\text{eff}}(\mathbf {r} )$ $r)$ {\ $displaystyle V_{\text{eff$ Kohn-Sham 상태 $\Psi _{j}^{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$ j $(r)$ {\displaystyle \ $psi {j}$ {\mathbf} {\mathbf} ${\mathbf$ })를 사용한다. $\displaystyle \epsilon$ _ ${j}^\mathbf {k$ 위치 및 블로흐 $\mathbf {r}$ \mathbf $\mathbf {r}$ ${r},$ $\mathbf {k}$ \mathbf ${k$ Kohn-Sham DFT의 추상적 평가에서 교환 상관관계 모델은 근사치일 뿐이다.Kohn-Sham 방정식은 많은 추가 근사의 도입을 수반한다.여기에는 Khn-Sham 궤도 표현에 사용되는 기저 세트의 불완전성, 의사 퍼텐셜 근사 사용 또는 DFT 체계에서 모든 전자 고려의 선택, 상대론적 효과의 처리, 전위에 대한 가능한 형상 근사 등이 포함된다.단위 셀의 분할을 넘어 LAPW 방법의 중심 설계 측면은 LAPW 기본 $\left\lbrace \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }(\mathbf {r} )\right\rbrace$ 세트 { $\left\lbrace \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }(\mathbf {r} )\right\rbrace$ k , $\left\lbrace \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }(\mathbf {r} )\right\rbrace$ ( $\left\lbrace \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }(\mathbf {r} )\right\rbrace$ r ) $}$ { $displaystyle \left \lbrace \phi$ _ ${\mathbf {k}$ ,\ $mathbf {G}$ } } }(\ $mathbf {r})\race$ 를 사용하여 $\left\lbrace \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }(\mathbf {r} )\right\rbrace$ 전자를 표현하는 것입니다 $.$

\displaystyle \Psi _{j}^{\mathbf {k}(\mathbf {r})\right\rangle =\sum \sum \sum _g}c_{j}^{\mathbf {k},\mathbf {k},\left \phi _{\mathbf {k} {K},

$c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }$ 서 c $c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }$ k $c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }$ $c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }$ {\ $displaystyle c_{j}^{\mathbf {k},\mathbf {G}}$ 는 $c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }$ 확장 계수입니다.LAPW 기반은 단위 셀의 각 영역에서 궤도의 정확한 표현과 물리학의 정확한 모델링을 가능하게 하도록 설계되었다.

LAPW 기준 $\mathbf {\tau } _{\alpha }$ 함수는 $\mathbf {\tau } _{\alpha }$ $위치$ 에 $(\$ $displaystyle$ $\mathbf {\$ alpha $})$ 를 $\alpha$ 덮는 $δ$ (\ $displaystyle$ \Omega $\Omega$ ) 단위 셀을 고려하여 $\mathbf {G}$ $\mathbf {k}$ $\mathbf {G}$ G $(\displaystyle$ \ $mathbf$ { $G})$ 로 $\mathbf {G}$ 간주한다 $.$ $splaystyle \mathbf {k$ 이 값은 다음과 같습니다.

,\mathbf{G}}(\mathbf{r})=\left\lbrace{\begin{배열}{내가}{\frac{1}{\sqrt{\Omega}}}e^{i(\mathbf{k}+\mathbf{G})\mathbf{r}{\displaystyle \phi_{\mathbf{k}}&{\text{에}}{r}{IR{에 \text}\mathbf}\\\sum \limits},\alpha}}\sum \limits _{m=-l}^{나는}\left는 경우에는 a_{l,m}^{\mathbf{k},\mathbf{G},\alpha}u_{l,\alpha}(r_{_{l=0}^{l_{{\text{맥스}.\alpha }, E_{l,\alpha }+b_{l,m}^{\mathbf {k},\mathbf {G},\alpha }{\dot {u}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right]Y_{l,m}(\mathbf {r} _{\alpha } )&{\text{ for }}\mathbf {r} {\text{in MT}}_{\alpha }\end{array}}}\right,}

어디 rα)r − τ α{\displaystyle \mathbf{r}_{\alpha}=\mathbf{r}-\mathbf{\tau}_{\alpha}}은 위치 벡터 원자 핵α{\displaystyle \alpha}의 위치한다.는 IR에 대한 LAPW 기초 기능은 따라서 일종의 및 반지름 방향 기능의 선형 조합 ul, α(rα.El, α){\displaystyle u_{l,\alpha}(r_{\alpha},E_{l,\alpha})}과 너 ˙ l,α(rα, El, α){\displaystyle{\dot{너}}_ᆭ(r_{\alpha},E_{l,\alpha})}구면 조화 함수 Yl, 각 MT에서 제일{\displaystyle Y_{l,m}}구체이다.그 방사 기능 ul,α(rα, El, α){\displaystyle u_{l,\alpha}(r_{\alpha},E_{l,\alpha})}은 hereby는 용액의 Kohn-Sham 해밀턴의 운동 방정식에 대한 구형으로 평균 잠재적과 함께 본격적인 행동에 핵에 지정된 에너지 매개 변수 El, α{\displaystyle E_{l,\alpha}}. 함께로.S에너지 파생 상품. 너 ˙ l,α(rα, El, α){\displaystyle{\dot{너}}_ᆫ(r_{\alpha},E_{l,\alpha})} 이러한 확대 수술의 비행기 물결로 각 발표자 영역 가능하게 하는 표현의 Kohn-Sham 궤도에 임의의 eigenenergies의 나열로 주변의 에너지 매개 변수이다.그 계수는 l, mk, G, α{\displaystyle a_{l,m}^{\mathbf{k},\mathbf{G},\alpha}}와 bl, mk, G,}{\displaystyle b_{l,m}^{\mathbf{k},\mathbf{G},\alpha α}가 자동으로 기저 함수를 도입하면서 연속적으로 각각의(l, m){\disp을 구별할 수 있는 것으로 판단되는.laystyle(l,m)}채널이다.LAPW 기초 기능의 집합 차단 장치 매개 변수 K최고 = k+G({\displaystyle K_{\text{맥스}}= \mathbf{k}+\mathbf{G}_{\text{맥스}}}. 각 발표자 영역에서 구면 조화 함수 확대 각 momenta 나는 max최대로 제한된다α≈ K정도이다 RMTα을 지정하여 정의된다. {\displaystyle l_{{\text{맥스}},\alpha}\approx K_{\text{맥스}}R_{{\text{MT}}_{\alpha}}}, RMTα{\displaystyle R_{{\text{.MT}}_{\alpha}}}은muffin-tin 반경의 원자 α{\displaystyle \alpha}. 그 선택의 차단 연결된 에는 쇠퇴의 팽창 계수에 대한 증가하는 나는{나는\displaystyle}의 레일리 확장의 비행기 파도로 구면 조화 함수.

LAPW 기준 함수는 원자가 상태를 나타내기 위해 사용되는 반면, MT구 내에 완전히 국한된 코어 전자 상태는 원자 경계 조건을 개별적으로 적용하는 각 원자에 대해 방사 그리드의 구형 평균 전위에 대해 계산된다.아직 국소적이지만 MT구 경계 밖으로 약간 확장되는 세미코어 상태는 코어 전자 상태 또는 원자가 전자 상태로 취급될 수 있다.후자의 경우 관련 고유 에너지가 일반적으로 에너지 매개변수와 멀리 떨어져 있기 때문에 선형화된 표현은 충분하지 않다.이 문제를 해결하기 위해 LAPW 기반은 각 MT 구에서 Local Orbital(LO;^[7] 로컬 오비탈)이라고 불리는 추가 기본 함수를 통해 확장할 수 있습니다.이것들은 세미코어 상태를 정확하게 표현하기 위해 맞춤 제작되었습니다.

인터스티셜 영역에서 기본 함수의 평면파 형태는 해밀턴 행렬을 설정합니다.

\displaystyle H_{\mathbf {G'},\mathbf {G},^{\mathbf {k}=\left\phi \mathbf {k},\mathbf {G'} {\Big }{\hat {H},\phi}, {k}

그 지역은 단순합니다.MT 구에서 이 설정은 운동 에너지와 예를 들어 머핀 주석 근사에서의 구 평균 전위에 대해 간단하고 계산적으로 저렴하다. $따라서$ 단순성은 ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }$ 의 ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }$ ^ ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }$ α $({hat {H}}_{\$ text{ $sphr}^{\$ alpha ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }$ 에 대한 방사형 함수의 연결에서 비롯된다 ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }$ 즉, ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ ^ ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ l , ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ α ( ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ , ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ , ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ α ) ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ , 、 ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ l , ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ , ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ 、 ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ 、） $style$ { $H}}_{\text{sphr}^{\alpha$ }\ $left u_{$ l,\alpha }( $r_{\alpha},E_{l,\alpha })\$ right $\rangle$ = $E_{$ l,\alpha $},\alpha }\right u_{l,\$ alpha } $}$ $α$ , ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|{\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|{\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle +\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|{\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|{\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle +\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ , ${\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|{\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|{\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle +\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle$ α ) $⟩$ { $displaystyle$ { $H }$ _ { \ $text$ { sphr } $}^{$ \ alpha $}$ {\ {\ {\ { $dot { u } _$ { $l$ , \ $alpha }$ \ $right \ rangle$ = $E _$ { $l$ , \ l , \ $alpha$ } 、 \ $}$ 、 { dot { l } $}$ 전위의 비구면 부분의 FLAPW(전위 설명) 기여도가 MT 구 및 상수 전위로부터의 편차와 관련된 IR 기여도에서 해밀턴 행렬에 추가된다.

해밀턴 $S_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }=\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle$ $H_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }$ $H_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }$ $H_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }$ 에 G $H_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }$ {\ $displaystyle$ H_ ${\mathbf {G'},\mathbf {G}^{\mathbf$ { $k}}},$ G $H_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }$ $S_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }=\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle$ $S_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }=\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle$ $S_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }=\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle$ = K $S_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }=\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle$ 、 $S_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }=\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle$ $S_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }=\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle$ $S_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }=\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle$ k 、 $S_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }=\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle$ b \ mathbf $style$ S （ \ mathbf _ style ）\ $phi$ _ ${\mathbf {k},\mathbf {G}}\right\rangle}$ 이 $S_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }=\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle$ (가) 설정되며, Kohn-Sham 오비탈은 대수적 일반화 밀도의 에르미트 고유값 문제에서 고유함수로 구한다 $.$

\displaystyle \sum \sum _{\mathbf {G'},\mathbf {G},{\mathbf {k}^{\mathbf {k},\mathbf {G} =\sumilon _{j}^{\mathbf} \sum {k} \sum {K}

여기서 $\epsilon _{j}^{\mathbf {k} }$ $\epsilon _{j}^{\mathbf {k} }$ k $\epsilon _{j}^{\mathbf {k} }$ {\ $displaystyle \epsilon$ _ ${j}^{\mathbf {k}}}$ 는 $\epsilon _{j}^{\mathbf {k} }$ Bloch ${\mathbf {k} }$ k {\ $displaystyle {k}}$ 에서 ${\mathbf {k} }$ j번째 Kohn-Sham 상태의 에너지 고유값이며, 상태는 위의 확장 $c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }$ c $,$ G {\ $displaystyle c_{j$ }\ $mathbf}$ { $k}$ 에 의해 지정됩니다 $.$

상대론적 물리학의 고려 정도는 코어 전자와 원자가 전자에 따라 다르다.원자핵에서 유효 전위의 특이성으로 인한 코어 전자의 강한 국부화는 큰 운동 에너지 기여와 연결되므로 완전 상대론적 처리가 바람직하고 일반적이다. $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ l $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ α $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ , $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ l $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ α $)$ { $displaystyle u_{l,\alpha}(r_$ ${\$ $alpha},$ E_{ $l$ $,\alpha$ }) ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ u ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ l $r$ ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ { $displaystyle$ { $u}_l,$ \ $alpha }(r_alpha },$ {l}, }, {alpha})의 판별을 구한다.스크립트 작성.이는 스칼라 상대론적 근사^[8]^[9](^[10]^[11]SRA) 또는 유사한 접근법일 수 있다.이러한 근사치에 의해 무시되는 지배적인 효과는 스핀-오빗 결합이다.위에서 설명한 바와 같이, 그러한 근사치 내에서 해밀턴 행렬의 구성은 사소한 것이다.스핀-오빗 커플링은 추가적으로 포함될 수 있지만, 이는 더 복잡한 해밀턴 매트릭스 설정 또는 두 번째 변동 ^[12]스킴으로 이어지며, 증가된 계산 수요로 연결됩니다.인터스티셜 영역에서는 상대론적 효과를 고려하지 않고 원자가 전자를 설명하는 것이 합리적이고 일반적이다.

전하 밀도 및 전위 표현

Kohn-Sham 고유함수를 계산한 후, 다음 단계는 전자로 페르미 레벨까지 가장 낮은 에너지 고유상태를 점유함으로써 전자 전하 밀도를 구성하는 것이다.페르미 레벨 자체는 단위 셀의 전하 중립성을 유지함으로써 이 과정에서 결정됩니다.결과적으로 발생하는 전하 밀도 $\rho (\mathbf {r} )$ ( $\rho (\mathbf {r} )$ )(\ $displaystyle \rho(\mathbf {r}))$ 는 $\rho (\mathbf {r} )$ 지역 고유의 형태를 가집니다.

\rho (\mathbf {r})=\left\{\mathbf {r}\sum \sum _{\mathbf {G}}\rho _{\mathbf {G}} e^{i\mathbf {r}\textbf {r}\mathbf {r}Y_{l,m}(\mathbf {r} _{\alpha } )&{\text{ for }}\mathbf {r} {\text{in MT}}_{\alpha }\end{array}}}\right,

즉, 인터스티셜 영역에서의 평면파 확장 및 각 MT 구에서의 방사형 함수 x 구면 고조파 확장으로 주어진다.이것에 의해, 레이디얼 함수는, 메쉬상에 수치적으로 주어집니다.

유효 퍼텐셜의 표현은 동일한 체계를 따른다.포아송 ^[13]방정식을 풀기 위해 바이너트의 방법을 사용하는 것이 일반적인 접근법이다.다극 전위 개념과 구면 경계값 문제에 기초한 임의의 주기 전하 밀도에 대한 형상 근사 없이 포아송 방정식의 해법을 효율적이고 정확하게 제공한다.

후처리 및 결과 추출

이들은 동일한 이론적 프레임워크를 기반으로 하기 때문에 서로 다른 DFT 구현은 매우 유사한 재료 특성에 대한 접근을 제공합니다.그러나 실시형태의 변동은 특정 수량을 추출하는 용이성의 차이와 해석의 차이를 초래한다.다음에서는 이러한 상황을 몇 가지 예시로 스케치합니다.

DFT가 제공하는 가장 기본적인 양은 조사 대상 시스템의 지상 상태 총 에너지입니다.평가에서 고유함수의 도함수 계산을 피하기 위해 공통 구현은^[14] 운동 에너지 연산자의 기대값을 점유된 Kohn-Sham 상태의 대역 에너지 합계에서 유효 전위로 인한 에너지를 뺀 값으로 대체한다.원자에 가해지는 힘은 미미한 변위에 의한 총 에너지의 변화에 의해 주어지는 두 가지 주요한 기여가 있다.첫 번째 기여는 잠재력의 이동이다.그것은 헬만-파인만 힘이라고 알려져 있다.또 다른, 계산적으로 더 정교한 기여는 원자 위치 의존적 기초 함수의 관련 변화 때문이다.이것은 종종 풀레이^[15] 힘이라고 불리며 방법별 ^[16]^[17]구현이 필요합니다.

원자의 실제 크기와는 무관하게, LAPW에서 원자 의존량을 평가하는 것은 종종 각각의 MT 구에서 양을 계산하는 것으로 해석됩니다.이것은 원자에서의 전하, 자기 모멘트 또는 특정 원자에서의 특정 궤도 특성에 대한 상태 또는 밴드 구조의 투영과 같은 양에 적용됩니다.실험이나 다른 DFT 구현에서 그러한 수량의 해석을 벗어나면 결과를 비교할 때 차이가 발생할 수 있다.또한 일부 원자 고유의 LAPW 입력은 각 MT 영역에 직접 관련되어 있습니다.예를 들어 DFT+U 접근법에서는 허버드 U는 MT ^[18]구에만 영향을 줍니다.

LAPW 접근법의 강점은 DFT 계산에 모든 전자를 포함시키는 것이며, 이는 특정 양의 평가에 매우 중요하다.그 중 하나는 전계 구배와 같은 초미세 상호작용 파라미터로, 그 계산에는 핵 근처의 전전자 쿨롱 전위의 곡률 평가가 포함된다.LAPW를 사용한 이러한 양의 예측은 매우 ^[19]정확합니다.

Kohn-Sham DFT는 관심을 가질 수 있는 모든 수량에 직접 접근할 수 있는 것은 아니다.예를 들어 Kohn-Sham 상태의 대부분의 에너지 고유값은 실제 상호작용하는 다전자 시스템과 직접 관련이 없다.따라서 광학적 성질을 예측하기 위해 다체 섭동 이론에 대한 GW 근사(GWA)를 구현하는 소프트웨어와 함께 DFT 코드를 사용하고 선택적으로 엑시톤을 설명하기 위해 베테-살페터 방정식(BSE)을 사용한다.이러한 소프트웨어는 DFT 구현에 사용되는 표현에 적합해야 합니다.GWA와 BSE는 모두 LAPW 컨텍스트에서 공식화되어 있으며 이러한 툴의 몇 가지 구현이 ^[20]^[21]^[22]사용되고 있습니다.다른 후처리 상황에서는 Kohn-Sham 상태를 Wannier 함수에 투영하는 것이 유용할 수 있습니다.LAPW 방법의 경우 그러한 예측도 구현되어^[23]^[24] 일반적으로 사용되고 있다.

LAPW 방식의 변종과 확장

APW: 증강 평면파^[25] 방식은 LAPW의 전신입니다.이 방법에서는 MT 구에서 증가하기 위한 구면 평균 전위에 대한 방사형 솔루션을 사용합니다.이 방사 함수의 에너지 유도체는 관여하지 않습니다.이러한 누락된 선형화는 증대가 각 Kohn-Sham 상태에 개별적으로 적응되어야 한다는 것을 의미한다. 즉, 이는 Bloch 벡터와 밴드 지수에 의존하며, 이는 결과적으로 비선형 에너지 의존 고유값 문제로 이어진다.LAPW에 비해 이 문제는 해결하기가 더 복잡합니다.이 접근법의 상대론적 일반화인 RAPW도 ^[26]공식화되었다.
로컬 궤도 확장:LAPW 기반은 Local Orbital(LO; 로컬 궤도^[7])에 의해 확장할 수 있습니다.이러한 함수는 단일 MT 구에서만 소멸되지 않는 값을 갖는 추가 기본 함수입니다.이들은 방사형 $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ l $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ α( $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ α, $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ l $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ α $)$ { $displaystyle u_{l,\alpha$ }( $r_{\$ alpha }, u ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ α $r$ $,$ { $displaystyle {u}_{l, r_alpha$ }, {alpha $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ $},$ u }로 구성됩니다.LO는 원래 세미코어 상태를 나타내기 위해 제안되었습니다.다른 용도에는 비점유^[27]^[28] 상태의 표현이나 원자가 ^[29]상태의 선형화 오류 제거가 포함된다.
APW+lo: APW+lo^[30]^[31] 방식에서는 MT구 내의 증대는 $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ l $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ α ( $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ , $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ l , $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ \ $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ alpha } ( r _ \ $displaystyle$ { $l$ , \ $alpha }$ , E $_$ { $l$ , \ $alpha }$ )만으로 구성됩니다.이것은 인터스티셜 영역 내의 평면파에만 일치합니다.선형화의 대체 실시 형태로서 ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ u ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ l ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ α( ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ , E $)$ { $display {dot {u}_{l,\alpha }(r_{\alpha$ }, $E_{l,\alpha$ }}}}가 ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ 추가 국소 오비탈로서 베이스 세트에 포함된다.일치 조건은 MT 구 경계에서 기본 함수의 비물리적 꼬임을 초래하지만, 해밀턴 행렬의 구성에서 꼬임에 대한 신중한 고려는 Kohn-Sham 고유 함수에서 이를 억제한다.기존의 LAPW 방식에 비해 APW+lo 접근방식은 덜 엄격한 기본 세트를 제공합니다.그 결과 기본 설정 크기에 대한 DFT 계산이 보다 빠르게 수렴됩니다.
LAPW의 Soler-Williams 공식: LAPW의^[32] Soler-Williams 공식에서 평면파는 유닛 셀 전체를 덮습니다.MT구에서는 평면파를 차단하는 각운동량 $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ α $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ α, $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ α $)\display u_{l,\alpha$ }( $r_{\$ $alpha$ $}, E_$ }) ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ u ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ l $,$ α ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ , ${\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ α { $dotu}$ 의 $u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ 로 치환하여 증강한다. $a$ 입니다. $(l,m)$ 각운동량 컷오프 위의 $(l,m)$ ( $(l,m)$ l , $(l,m)$ ) $(l,m)$ \ $displaystyle ( l$ , $m$ )채널에서도 $(l,m)$ 기저함수가 연속적으로 미분됩니다.그 결과 Soler-Williams 접근방식은 기존의 LAPW 공식에 비해 각운동량 차단 요건을 줄였다.
ELAPW:그 확장된 LAPW method[33][34]에선 지역 궤도의 쌍을 기능 도입 ul,α(rα, El,α lo){\displaystyle u_{l,\alpha}(r_{\alpha},E_{l,\alpha}^{\text{lo}})}과 너 ˙ l,α(rα, El,α lo){\displaystyle{\dot{너}}_ᆰ(r_{\alpha},E_{l,\alpha}^{\text{lo}}).}이다LAPW 베이스에 추가되어 있습니다. $E_{l,\alpha }^{\text{lo}}$ $E_{l,\alpha }^{\text{lo}}$ $E_{l,\alpha }^{\text{lo}}$ l $E_{l,\alpha }^{\text{lo}}$ $E_{l,\alpha }^{\text{lo}}$ lo { $displaystyle E_{l,\alpha }^{\text{lo}}$ 는 $E_{l,\alpha }^{\text{lo}}$ LAPW의 선형화에 의해 Kohn-Sham 상태가 정확하게 기술되는 에너지 영역을 체계적으로 확장하기 위해 선택되었습니다.
QAPW: 2차 APW^[35]^[36] 방법에서는 MT구 내의 증대에 추가로 제2의 에너지 ${\ddot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ u ${\ddot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ l, ${\ddot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ α ( ${\ddot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ , ${\ddot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ l , ${\ddot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })$ $){ display$ { $dot$ { u $} _$ { $l$ , \ alpha $}$ ( r _ { \ $alpha$ } )가 $포함됩니다.$ MT 구 경계에서의 매칭은 값, 기울기 및 곡률에서 기본 함수의 연속성을 적용하여 수행됩니다.이는 복수의 에너지 파라미터에서 $u_{l,\alpha }$ $u_{l,\alpha }$ l $u_{l,\alpha }$ α(\ $displaystyle u_{l,\alpha})$ 및 $u_{l,\alpha }$ /또는 이들의 ${\dot {u}}_{l,\alpha }$ u ${\dot {u}}_{l,\alpha }$ l ${\dot {u}}_{l,\alpha }$ α $(\displaystyle {u}_{l,\alpha})$ 가 ${\dot {u}}_{l,\alpha }$ ^[7]증대에 사용되는 초선형 APW(SLAPW) 방식과 유사합니다.순수한 LAPW 기반과 비교하여, 이러한 접근법은 에너지 매개변수를 중심으로 더 넓은 에너지 창에서 Kohn-Sham 궤도를 정밀하게 나타낼 수 있다.단점은 일치 조건이 엄격할수록 기본 설정이 더 엄격해진다는 것입니다.
저차원 시스템:단위 ^[37]셀의 분할은 평면파의 자체 증대와 함께 반무한 진공 영역을 명시적으로 포함하도록 확장할 수 있습니다.이를 통해 표면 및 박막과 같은 저차원 시스템을 효율적으로 계산할 수 있습니다.원자 사슬의 처리를 위해 1차원 설정으로 확장이 ^[38]공식화되었습니다.

소프트웨어 구현

LAPW 방법 및/또는 그 변형을 구현하는 다양한 소프트웨어 프로젝트가 있습니다.이러한 코드의 예는 다음과 같습니다.

레퍼런스

^ Andersen, O. Krogh (15 October 1975). "Linear methods in band theory" (PDF). Physical Review B. 12 (8): 3060–3083. Bibcode:1975PhRvB..12.3060A. doi:10.1103/PhysRevB.12.3060. S2CID 122641701.
^ Koelling, D. D.; Arbman, G. O. (November 1975). "Use of energy derivative of the radial solution in an augmented plane wave method: application to copper". Journal of Physics F: Metal Physics. 5 (11): 2041–2054. Bibcode:1975JPhF....5.2041K. doi:10.1088/0305-4608/5/11/016. ISSN 0305-4608.
^ Wimmer, E.; Krakauer, H.; Weinert, M.; Freeman, A. J. (15 July 1981). "Full-potential self-consistent linearized-augmented-plane-wave method for calculating the electronic structure of molecules and surfaces: O 2 molecule". Physical Review B. 24 (2): 864–875. Bibcode:1981PhRvB..24..864W. doi:10.1103/PhysRevB.24.864.
^ Lejaeghere, K.; Bihlmayer, G.; Bjorkman, T.; Blaha, P.; Blugel, S.; Blum, V.; Caliste, D.; Castelli, I. E.; Clark, S. J.; Dal Corso, A.; de Gironcoli, S.; Deutsch, T.; Dewhurst, J. K.; Di Marco, I.; Draxl, C.; Dułak, M.; Eriksson, O.; Flores-Livas, J. A.; Garrity, K. F.; Genovese, L.; Giannozzi, P.; Giantomassi, M.; Goedecker, S.; Gonze, X.; Granas, O.; Gross, E. K. U.; Gulans, A.; Gygi, F.; Hamann, D. R.; Hasnip, P. J.; Holzwarth, N. A. W.; Iuşan, D.; Jochym, D. B.; Jollet, F.; Jones, D.; Kresse, G.; Koepernik, K.; Kucukbenli, E.; Kvashnin, Y. O.; Locht, I. L. M.; Lubeck, S.; Marsman, M.; Marzari, N.; Nitzsche, U.; Nordstrom, L.; Ozaki, T.; Paulatto, L.; Pickard, C. J.; Poelmans, W.; Probert, M. I. J.; Refson, K.; Richter, M.; Rignanese, G.-M.; Saha, S.; Scheffler, M.; Schlipf, M.; Schwarz, K.; Sharma, S.; Tavazza, F.; Thunstrom, P.; Tkatchenko, A.; Torrent, M.; Vanderbilt, D.; van Setten, M. J.; Van Speybroeck, V.; Wills, J. M.; Yates, J. R.; Zhang, G.-X.; Cottenier, S. (25 March 2016). "Reproducibility in density functional theory calculations of solids". Science. 351 (6280): aad3000. Bibcode:2016Sci...351.....L. doi:10.1126/science.aad3000. hdl:1854/LU-7191263. PMID 27013736. S2CID 206642768.
^ Hohenberg, P.; Kohn, W. (9 November 1964). "Inhomogeneous Electron Gas". Physical Review. 136 (3B): B864–B871. Bibcode:1964PhRv..136..864H. doi:10.1103/PhysRev.136.B864. S2CID 117806275.
^ Kohn, W.; Sham, L. J. (15 November 1965). "Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects". Physical Review. 140 (4A): A1133–A1138. Bibcode:1965PhRv..140.1133K. doi:10.1103/PhysRev.140.A1133.
^ ^a ^b ^c Singh, David (15 March 1991). "Ground-state properties of lanthanum: Treatment of extended-core states". Physical Review B. 43 (8): 6388–6392. Bibcode:1991PhRvB..43.6388S. doi:10.1103/PhysRevB.43.6388. PMID 9998076.
^ Koelling, D D; Harmon, B N (28 August 1977). "A technique for relativistic spin-polarised calculations". Journal of Physics C: Solid State Physics. 10 (16): 3107–3114. Bibcode:1977JPhC...10.3107K. doi:10.1088/0022-3719/10/16/019.
^ Takeda, T. (March 1978). "The scalar relativistic approximation". Zeitschrift für Physik B. 32 (1): 43–48. Bibcode:1978ZPhyB..32...43T. doi:10.1007/BF01322185. S2CID 120097976.
^ van Lenthe, E.; Snijders, J. G.; Baerends, E. J. (15 October 1996). "The zero‐order regular approximation for relativistic effects: The effect of spin–orbit coupling in closed shell molecules". The Journal of Chemical Physics. 105 (15): 6505–6516. Bibcode:1996JChPh.105.6505V. doi:10.1063/1.472460. hdl:11370/2909724f-afb3-482e-a4e5-f8440d7dab09.
^ Dyall, Kenneth G.; van Lenthe, Erik (22 July 1999). "Relativistic regular approximations revisited: An infinite-order relativistic approximation". The Journal of Chemical Physics. 111 (4): 1366–1372. Bibcode:1999JChPh.111.1366D. doi:10.1063/1.479395.
^ MacDonald, A H; Picket, W E; Koelling, D D (20 May 1980). "A linearised relativistic augmented-plane-wave method utilising approximate pure spin basis functions". Journal of Physics C: Solid State Physics. 13 (14): 2675–2683. Bibcode:1980JPhC...13.2675M. doi:10.1088/0022-3719/13/14/009.
^ Weinert, M. (November 1981). "Solution of Poisson's equation: Beyond Ewald‐type methods". Journal of Mathematical Physics. 22 (11): 2433–2439. Bibcode:1981JMP....22.2433W. doi:10.1063/1.524800.
^ Weinert, M.; Wimmer, E.; Freeman, A. J. (15 October 1982). "Total-energy all-electron density functional method for bulk solids and surfaces". Physical Review B. 26 (8): 4571–4578. Bibcode:1982PhRvB..26.4571W. doi:10.1103/PhysRevB.26.4571.
^ Pulay, P. (January 1969). "Ab initio calculation of force constants and equilibrium geometries in polyatomic molecules: I. Theory". Molecular Physics. 17 (2): 197–204. Bibcode:1969MolPh..17..197P. doi:10.1080/00268976900100941.
^ Yu, Rici; Singh, D.; Krakauer, H. (15 March 1991). "All-electron and pseudopotential force calculations using the linearized-augmented-plane-wave method". Physical Review B. 43 (8): 6411–6422. Bibcode:1991PhRvB..43.6411Y. doi:10.1103/PhysRevB.43.6411. PMID 9998079.
^ Klüppelberg, Daniel A.; Betzinger, Markus; Blügel, Stefan (5 January 2015). "Atomic force calculations within the all-electron FLAPW method: Treatment of core states and discontinuities at the muffin-tin sphere boundary". Physical Review B. 91 (3): 035105. Bibcode:2015PhRvB..91c5105K. doi:10.1103/PhysRevB.91.035105.
^ Shick, A. B.; Liechtenstein, A. I.; Pickett, W. E. (15 October 1999). "Implementation of the LDA+U method using the full-potential linearized augmented plane-wave basis". Physical Review B. 60 (15): 10763–10769. arXiv:cond-mat/9903439. Bibcode:1999PhRvB..6010763S. doi:10.1103/PhysRevB.60.10763. S2CID 119508105.
^ Blaha, P.; Dufek, P.; Schwarz, K.; Haas, H. (December 1996). "Calculation of electric hyperfine interaction parameters in solids". Hyperfine Interactions. 97–98 (1): 1–10. Bibcode:1996HyInt..97....1B. doi:10.1007/BF02150164. S2CID 95082151.
^ Friedrich, Christoph; Blügel, Stefan; Schindlmayr, Arno (3 March 2010). "Efficient implementation of the G W approximation within the all-electron FLAPW method". Physical Review B. 81 (12): 125102. arXiv:1003.0316. Bibcode:2010PhRvB..81l5102F. doi:10.1103/PhysRevB.81.125102. S2CID 43385321.
^ Jiang, Hong; Gómez-Abal, Ricardo I.; Li, Xin-Zheng; Meisenbichler, Christian; Ambrosch-Draxl, Claudia; Scheffler, Matthias (February 2013). "FHI-gap: A GW code based on the all-electron augmented plane wave method". Computer Physics Communications. 184 (2): 348–366. Bibcode:2013CoPhC.184..348J. doi:10.1016/j.cpc.2012.09.018.
^ Gulans, Andris; Kontur, Stefan; Meisenbichler, Christian; Nabok, Dmitrii; Pavone, Pasquale; Rigamonti, Santiago; Sagmeister, Stephan; Werner, Ute; Draxl, Claudia (10 September 2014). "exciting: a full-potential all-electron package implementing density-functional theory and many-body perturbation theory". Journal of Physics: Condensed Matter. 26 (36): 363202. Bibcode:2014JPCM...26J3202G. doi:10.1088/0953-8984/26/36/363202. PMID 25135665.
^ Freimuth, F.; Mokrousov, Y.; Wortmann, D.; Heinze, S.; Blügel, S. (17 July 2008). "Maximally localized Wannier functions within the FLAPW formalism". Physical Review B. 78 (3): 035120. arXiv:0806.3213. Bibcode:2008PhRvB..78c5120F. doi:10.1103/PhysRevB.78.035120. S2CID 53133273.
^ Kuneš, Jan; Arita, Ryotaro; Wissgott, Philipp; Toschi, Alessandro; Ikeda, Hiroaki; Held, Karsten (November 2010). "Wien2wannier: From linearized augmented plane waves to maximally localized Wannier functions". Computer Physics Communications. 181 (11): 1888–1895. arXiv:1004.3934. Bibcode:2010CoPhC.181.1888K. doi:10.1016/j.cpc.2010.08.005. S2CID 27628281.
^ Slater, J. C. (15 May 1937). "Wave Functions in a Periodic Potential". Physical Review. 51 (10): 846–851. Bibcode:1937PhRv...51..846S. doi:10.1103/PhysRev.51.846.
^ Loucks, T. L. (16 August 1965). "Relativistic Electronic Structure in Crystals. I. Theory". Physical Review. 139 (4A): A1333–A1337. Bibcode:1965PhRv..139.1333L. doi:10.1103/PhysRev.139.A1333.
^ Betzinger, Markus; Friedrich, Christoph; Blügel, Stefan; Görling, Andreas (25 January 2011). "Local exact exchange potentials within the all-electron FLAPW method and a comparison with pseudopotential results". Physical Review B. 83 (4): 045105. arXiv:1102.2379. Bibcode:2011PhRvB..83d5105B. doi:10.1103/PhysRevB.83.045105. S2CID 118450370.
^ Friedrich, Christoph; Schindlmayr, Arno; Blügel, Stefan; Kotani, Takao (7 July 2006). "Elimination of the linearization error in GW calculations based on the linearized augmented-plane-wave method". Physical Review B. 74 (4): 045104. arXiv:cond-mat/0606605. Bibcode:2006PhRvB..74d5104F. doi:10.1103/PhysRevB.74.045104. S2CID 53596360.
^ Michalicek, Gregor; Betzinger, Markus; Friedrich, Christoph; Blügel, Stefan (December 2013). "Elimination of the linearization error and improved basis-set convergence within the FLAPW method". Computer Physics Communications. 184 (12): 2670–2679. arXiv:1302.3130. Bibcode:2013CoPhC.184.2670M. doi:10.1016/j.cpc.2013.07.002. S2CID 7540554.
^ Sjöstedt, E; Nordström, L; Singh, D.J (March 2000). "An alternative way of linearizing the augmented plane-wave method". Solid State Communications. 114 (1): 15–20. Bibcode:2000SSCom.114...15S. doi:10.1016/S0038-1098(99)00577-3.
^ Madsen, Georg K. H.; Blaha, Peter; Schwarz, Karlheinz; Sjöstedt, Elisabeth; Nordström, Lars (30 October 2001). "Efficient linearization of the augmented plane-wave method". Physical Review B. 64 (19): 195134. Bibcode:2001PhRvB..64s5134M. doi:10.1103/PhysRevB.64.195134.
^ Soler, José M.; Williams, Arthur R. (15 July 1989). "Simple formula for the atomic forces in the augmented-plane-wave method". Physical Review B. 40 (3): 1560–1564. Bibcode:1989PhRvB..40.1560S. doi:10.1103/PhysRevB.40.1560. PMID 9992009.
^ Krasovskii, E.E.; Yaresko, A.N.; Antonov, V.N. (May 1994). "Theoretical study of ultraviolet photoemission spectra of noble metals". Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena. 68: 157–166. doi:10.1016/0368-2048(94)02113-9.
^ Krasovskii, E. E. (15 November 1997). "Accuracy and convergence properties of the extended linear augmented-plane-wave method". Physical Review B. 56 (20): 12866–12873. Bibcode:1997PhRvB..5612866K. doi:10.1103/PhysRevB.56.12866.
^ Smrčka, L. (July 1984). "Linearized augmented plane wave method utilizing the quadratic energy expansion of radial wave functions". Czechoslovak Journal of Physics. 34 (7): 694–704. Bibcode:1984CzJPh..34..694S. doi:10.1007/BF01589865. S2CID 121089065.
^ Petrů, J.; Smrčka, L. (January 1985). "Quadratic augmented plane wave method for self-consistent band structure calculations". Czechoslovak Journal of Physics. 35 (1): 62–71. Bibcode:1985CzJPh..35...62P. doi:10.1007/BF01590276. S2CID 120146231.
^ Krakauer, H.; Posternak, M.; Freeman, A. J. (15 February 1979). "Linearized augmented plane-wave method for the electronic band structure of thin films". Physical Review B. 19 (4): 1706–1719. Bibcode:1979PhRvB..19.1706K. doi:10.1103/PhysRevB.19.1706.
^ Mokrousov, Y.; Bihlmayer, G.; Blügel, S. (July 2005). "Full-potential linearized augmented plane-wave method for one-dimensional systems: Gold nanowire and iron monowires in a gold tube" (PDF). Physical Review B. 72 (4): 045402. Bibcode:2005PhRvB..72d5402M. doi:10.1103/PhysRevB.72.045402.
^ Weinert, M; Schneider, G; Podloucky, R; Redinger, J (25 February 2009). "FLAPW: applications and implementations". Journal of Physics: Condensed Matter. 21 (8): 084201. Bibcode:2009JPCM...21h4201W. doi:10.1088/0953-8984/21/8/084201.

[1] Andersen, O. Krogh (15 October 1975). "Linear methods in band theory" (PDF). Physical Review B. 12 (8): 3060–3083. Bibcode:1975PhRvB..12.3060A. doi:10.1103/PhysRevB.12.3060. S2CID 122641701.

[2] Koelling, D. D.; Arbman, G. O. (November 1975). "Use of energy derivative of the radial solution in an augmented plane wave method: application to copper". Journal of Physics F: Metal Physics. 5 (11): 2041–2054. Bibcode:1975JPhF....5.2041K. doi:10.1088/0305-4608/5/11/016. ISSN 0305-4608.

[3] Wimmer, E.; Krakauer, H.; Weinert, M.; Freeman, A. J. (15 July 1981). "Full-potential self-consistent linearized-augmented-plane-wave method for calculating the electronic structure of molecules and surfaces: O 2 molecule". Physical Review B. 24 (2): 864–875. Bibcode:1981PhRvB..24..864W. doi:10.1103/PhysRevB.24.864.

[4] Lejaeghere, K.; Bihlmayer, G.; Bjorkman, T.; Blaha, P.; Blugel, S.; Blum, V.; Caliste, D.; Castelli, I. E.; Clark, S. J.; Dal Corso, A.; de Gironcoli, S.; Deutsch, T.; Dewhurst, J. K.; Di Marco, I.; Draxl, C.; Dułak, M.; Eriksson, O.; Flores-Livas, J. A.; Garrity, K. F.; Genovese, L.; Giannozzi, P.; Giantomassi, M.; Goedecker, S.; Gonze, X.; Granas, O.; Gross, E. K. U.; Gulans, A.; Gygi, F.; Hamann, D. R.; Hasnip, P. J.; Holzwarth, N. A. W.; Iuşan, D.; Jochym, D. B.; Jollet, F.; Jones, D.; Kresse, G.; Koepernik, K.; Kucukbenli, E.; Kvashnin, Y. O.; Locht, I. L. M.; Lubeck, S.; Marsman, M.; Marzari, N.; Nitzsche, U.; Nordstrom, L.; Ozaki, T.; Paulatto, L.; Pickard, C. J.; Poelmans, W.; Probert, M. I. J.; Refson, K.; Richter, M.; Rignanese, G.-M.; Saha, S.; Scheffler, M.; Schlipf, M.; Schwarz, K.; Sharma, S.; Tavazza, F.; Thunstrom, P.; Tkatchenko, A.; Torrent, M.; Vanderbilt, D.; van Setten, M. J.; Van Speybroeck, V.; Wills, J. M.; Yates, J. R.; Zhang, G.-X.; Cottenier, S. (25 March 2016). "Reproducibility in density functional theory calculations of solids". Science. 351 (6280): aad3000. Bibcode:2016Sci...351.....L. doi:10.1126/science.aad3000. hdl:1854/LU-7191263. PMID 27013736. S2CID 206642768.

[5] Hohenberg, P.; Kohn, W. (9 November 1964). "Inhomogeneous Electron Gas". Physical Review. 136 (3B): B864–B871. Bibcode:1964PhRv..136..864H. doi:10.1103/PhysRev.136.B864. S2CID 117806275.

[6] Kohn, W.; Sham, L. J. (15 November 1965). "Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects". Physical Review. 140 (4A): A1133–A1138. Bibcode:1965PhRv..140.1133K. doi:10.1103/PhysRev.140.A1133.

[initialLOPaper-7] Singh, David (15 March 1991). "Ground-state properties of lanthanum: Treatment of extended-core states". Physical Review B. 43 (8): 6388–6392. Bibcode:1991PhRvB..43.6388S. doi:10.1103/PhysRevB.43.6388. PMID 9998076.

[8] Koelling, D D; Harmon, B N (28 August 1977). "A technique for relativistic spin-polarised calculations". Journal of Physics C: Solid State Physics. 10 (16): 3107–3114. Bibcode:1977JPhC...10.3107K. doi:10.1088/0022-3719/10/16/019.

[9] Takeda, T. (March 1978). "The scalar relativistic approximation". Zeitschrift für Physik B. 32 (1): 43–48. Bibcode:1978ZPhyB..32...43T. doi:10.1007/BF01322185. S2CID 120097976.

[10] van Lenthe, E.; Snijders, J. G.; Baerends, E. J. (15 October 1996). "The zero‐order regular approximation for relativistic effects: The effect of spin–orbit coupling in closed shell molecules". The Journal of Chemical Physics. 105 (15): 6505–6516. Bibcode:1996JChPh.105.6505V. doi:10.1063/1.472460. hdl:11370/2909724f-afb3-482e-a4e5-f8440d7dab09.

[11] Dyall, Kenneth G.; van Lenthe, Erik (22 July 1999). "Relativistic regular approximations revisited: An infinite-order relativistic approximation". The Journal of Chemical Physics. 111 (4): 1366–1372. Bibcode:1999JChPh.111.1366D. doi:10.1063/1.479395.

[12] MacDonald, A H; Picket, W E; Koelling, D D (20 May 1980). "A linearised relativistic augmented-plane-wave method utilising approximate pure spin basis functions". Journal of Physics C: Solid State Physics. 13 (14): 2675–2683. Bibcode:1980JPhC...13.2675M. doi:10.1088/0022-3719/13/14/009.

[13] Weinert, M. (November 1981). "Solution of Poisson's equation: Beyond Ewald‐type methods". Journal of Mathematical Physics. 22 (11): 2433–2439. Bibcode:1981JMP....22.2433W. doi:10.1063/1.524800.

[14] Weinert, M.; Wimmer, E.; Freeman, A. J. (15 October 1982). "Total-energy all-electron density functional method for bulk solids and surfaces". Physical Review B. 26 (8): 4571–4578. Bibcode:1982PhRvB..26.4571W. doi:10.1103/PhysRevB.26.4571.

[15] Pulay, P. (January 1969). "Ab initio calculation of force constants and equilibrium geometries in polyatomic molecules: I. Theory". Molecular Physics. 17 (2): 197–204. Bibcode:1969MolPh..17..197P. doi:10.1080/00268976900100941.

[16] Yu, Rici; Singh, D.; Krakauer, H. (15 March 1991). "All-electron and pseudopotential force calculations using the linearized-augmented-plane-wave method". Physical Review B. 43 (8): 6411–6422. Bibcode:1991PhRvB..43.6411Y. doi:10.1103/PhysRevB.43.6411. PMID 9998079.

[17] Klüppelberg, Daniel A.; Betzinger, Markus; Blügel, Stefan (5 January 2015). "Atomic force calculations within the all-electron FLAPW method: Treatment of core states and discontinuities at the muffin-tin sphere boundary". Physical Review B. 91 (3): 035105. Bibcode:2015PhRvB..91c5105K. doi:10.1103/PhysRevB.91.035105.

[18] Shick, A. B.; Liechtenstein, A. I.; Pickett, W. E. (15 October 1999). "Implementation of the LDA+U method using the full-potential linearized augmented plane-wave basis". Physical Review B. 60 (15): 10763–10769. arXiv:cond-mat/9903439. Bibcode:1999PhRvB..6010763S. doi:10.1103/PhysRevB.60.10763. S2CID 119508105.

[19] Blaha, P.; Dufek, P.; Schwarz, K.; Haas, H. (December 1996). "Calculation of electric hyperfine interaction parameters in solids". Hyperfine Interactions. 97–98 (1): 1–10. Bibcode:1996HyInt..97....1B. doi:10.1007/BF02150164. S2CID 95082151.

[20] Friedrich, Christoph; Blügel, Stefan; Schindlmayr, Arno (3 March 2010). "Efficient implementation of the G W approximation within the all-electron FLAPW method". Physical Review B. 81 (12): 125102. arXiv:1003.0316. Bibcode:2010PhRvB..81l5102F. doi:10.1103/PhysRevB.81.125102. S2CID 43385321.

[21] Jiang, Hong; Gómez-Abal, Ricardo I.; Li, Xin-Zheng; Meisenbichler, Christian; Ambrosch-Draxl, Claudia; Scheffler, Matthias (February 2013). "FHI-gap: A GW code based on the all-electron augmented plane wave method". Computer Physics Communications. 184 (2): 348–366. Bibcode:2013CoPhC.184..348J. doi:10.1016/j.cpc.2012.09.018.

[22] Gulans, Andris; Kontur, Stefan; Meisenbichler, Christian; Nabok, Dmitrii; Pavone, Pasquale; Rigamonti, Santiago; Sagmeister, Stephan; Werner, Ute; Draxl, Claudia (10 September 2014). "exciting: a full-potential all-electron package implementing density-functional theory and many-body perturbation theory". Journal of Physics: Condensed Matter. 26 (36): 363202. Bibcode:2014JPCM...26J3202G. doi:10.1088/0953-8984/26/36/363202. PMID 25135665.

[23] Freimuth, F.; Mokrousov, Y.; Wortmann, D.; Heinze, S.; Blügel, S. (17 July 2008). "Maximally localized Wannier functions within the FLAPW formalism". Physical Review B. 78 (3): 035120. arXiv:0806.3213. Bibcode:2008PhRvB..78c5120F. doi:10.1103/PhysRevB.78.035120. S2CID 53133273.

[24] Kuneš, Jan; Arita, Ryotaro; Wissgott, Philipp; Toschi, Alessandro; Ikeda, Hiroaki; Held, Karsten (November 2010). "Wien2wannier: From linearized augmented plane waves to maximally localized Wannier functions". Computer Physics Communications. 181 (11): 1888–1895. arXiv:1004.3934. Bibcode:2010CoPhC.181.1888K. doi:10.1016/j.cpc.2010.08.005. S2CID 27628281.

[25] Slater, J. C. (15 May 1937). "Wave Functions in a Periodic Potential". Physical Review. 51 (10): 846–851. Bibcode:1937PhRv...51..846S. doi:10.1103/PhysRev.51.846.

[26] Loucks, T. L. (16 August 1965). "Relativistic Electronic Structure in Crystals. I. Theory". Physical Review. 139 (4A): A1333–A1337. Bibcode:1965PhRv..139.1333L. doi:10.1103/PhysRev.139.A1333.

[27] Betzinger, Markus; Friedrich, Christoph; Blügel, Stefan; Görling, Andreas (25 January 2011). "Local exact exchange potentials within the all-electron FLAPW method and a comparison with pseudopotential results". Physical Review B. 83 (4): 045105. arXiv:1102.2379. Bibcode:2011PhRvB..83d5105B. doi:10.1103/PhysRevB.83.045105. S2CID 118450370.

[28] Friedrich, Christoph; Schindlmayr, Arno; Blügel, Stefan; Kotani, Takao (7 July 2006). "Elimination of the linearization error in GW calculations based on the linearized augmented-plane-wave method". Physical Review B. 74 (4): 045104. arXiv:cond-mat/0606605. Bibcode:2006PhRvB..74d5104F. doi:10.1103/PhysRevB.74.045104. S2CID 53596360.

[29] Michalicek, Gregor; Betzinger, Markus; Friedrich, Christoph; Blügel, Stefan (December 2013). "Elimination of the linearization error and improved basis-set convergence within the FLAPW method". Computer Physics Communications. 184 (12): 2670–2679. arXiv:1302.3130. Bibcode:2013CoPhC.184.2670M. doi:10.1016/j.cpc.2013.07.002. S2CID 7540554.

[30] Sjöstedt, E; Nordström, L; Singh, D.J (March 2000). "An alternative way of linearizing the augmented plane-wave method". Solid State Communications. 114 (1): 15–20. Bibcode:2000SSCom.114...15S. doi:10.1016/S0038-1098(99)00577-3.

[31] Madsen, Georg K. H.; Blaha, Peter; Schwarz, Karlheinz; Sjöstedt, Elisabeth; Nordström, Lars (30 October 2001). "Efficient linearization of the augmented plane-wave method". Physical Review B. 64 (19): 195134. Bibcode:2001PhRvB..64s5134M. doi:10.1103/PhysRevB.64.195134.

[32] Soler, José M.; Williams, Arthur R. (15 July 1989). "Simple formula for the atomic forces in the augmented-plane-wave method". Physical Review B. 40 (3): 1560–1564. Bibcode:1989PhRvB..40.1560S. doi:10.1103/PhysRevB.40.1560. PMID 9992009.

[33] Krasovskii, E.E.; Yaresko, A.N.; Antonov, V.N. (May 1994). "Theoretical study of ultraviolet photoemission spectra of noble metals". Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena. 68: 157–166. doi:10.1016/0368-2048(94)02113-9.

[34] Krasovskii, E. E. (15 November 1997). "Accuracy and convergence properties of the extended linear augmented-plane-wave method". Physical Review B. 56 (20): 12866–12873. Bibcode:1997PhRvB..5612866K. doi:10.1103/PhysRevB.56.12866.

[35] Smrčka, L. (July 1984). "Linearized augmented plane wave method utilizing the quadratic energy expansion of radial wave functions". Czechoslovak Journal of Physics. 34 (7): 694–704. Bibcode:1984CzJPh..34..694S. doi:10.1007/BF01589865. S2CID 121089065.

[36] Petrů, J.; Smrčka, L. (January 1985). "Quadratic augmented plane wave method for self-consistent band structure calculations". Czechoslovak Journal of Physics. 35 (1): 62–71. Bibcode:1985CzJPh..35...62P. doi:10.1007/BF01590276. S2CID 120146231.

[37] Krakauer, H.; Posternak, M.; Freeman, A. J. (15 February 1979). "Linearized augmented plane-wave method for the electronic band structure of thin films". Physical Review B. 19 (4): 1706–1719. Bibcode:1979PhRvB..19.1706K. doi:10.1103/PhysRevB.19.1706.

[38] Mokrousov, Y.; Bihlmayer, G.; Blügel, S. (July 2005). "Full-potential linearized augmented plane-wave method for one-dimensional systems: Gold nanowire and iron monowires in a gold tube" (PDF). Physical Review B. 72 (4): 045402. Bibcode:2005PhRvB..72d5402M. doi:10.1103/PhysRevB.72.045402.

[39] Weinert, M; Schneider, G; Podloucky, R; Redinger, J (25 February 2009). "FLAPW: applications and implementations". Journal of Physics: Condensed Matter. 21 (8): 084201. Bibcode:2009JPCM...21h4201W. doi:10.1088/0953-8984/21/8/084201.

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