다중 산란 이론

다중 산란 이론(MST)은 산포자의 모음을 통한 파장의 전파를 기술하는 데 사용되는 수학 형식론이다.다공성 매체를 통해 이동하는 음향 파동, 구름 속의 물방울에서 산란되는 빛, 수정에서 산란되는 X선 등이 그 예다.보다 최근의 적용은 고체를 통해 전자나 중성자와 같은 양자 물질파의 전파에 있다.

얀 코링가가 지적한 바와 같이,^[1] 이 이론의 기원은 레일리 경의 1892년 논문으로 거슬러 올라갈 수 있다.그 이론의 중요한 수학 공식은 Paul Peter Ewald에 의해 만들어졌다.^[2]코링가와 에발드는 1903년 니콜라이 카스테린의 박사학위 논문 중 일부가 하이케 카멜링 온네스의 후원으로 암스테르담의 왕립과학원회보에서 독일어로 출판된 바 있다.^[3]MST 형식주의는 회절 이론뿐만 아니라 전자 구조 계산에도 널리 사용되고 있으며, 많은 책의 주제다.^[4][5]

다중스캐터링 접근방식은 하나의 전자적 그린의 기능을 도출하는 최선의 방법이다.이러한 함수는 다체 문제를 다루기 위해 사용되는 그린의 함수와는 다르지만, 밴드 이론으로 처리할 수 없는 응축 물질 시스템의 전자 구조를 계산하는 최선의 출발점이다.

"다중 산란"과 "다중 산란 이론"이라는 용어는 다른 맥락에서 자주 사용된다.예를 들어 물질^[6] 내 급속 충전된 입자의 산란에 대한 몰리에르의 이론은 그런 식으로 설명된다.

수학적 공식화

MST 방정식은 다른 파동 방정식으로 도출할 수 있지만 가장 단순하고 유용한 것 중 하나는 고체로 움직이는 전자에 대한 슈뢰딩거 방정식이다.밀도 함수 이론의 도움으로 이 문제는 일렉트로닉 방정식의 해법으로 축소될 수 있다.

${\displaystyle \{-{\frac{\hbar ^{2}}:{\nabla ^{2}}+V({\bf{r}}}}\right]\psi({\bf{r}}})=i\hbar {\partial \psi({\bf{r}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}){partial t}{partial t}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $유효{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1전자\mathbf{}}$ 전위 V (${\displaystyle }$r${\displaystyle }$) ${\displaystyle$V$({\bf{r}}})$는 시스템$$내 전자 밀도의 함수다.

In the Dirac notation, the wave equation can be written as an inhomogeneous equation, ${\displaystyle \left({E-{H_{0}}}\right)\left \psi \right\rangle =V\left \psi \right\rangle }$, where ${\displaystyle {H_{0}}}$is the kinetic energy operator.The solution of the homogeneous equation is ${\displaystyle \left \varphi \right\rangle }$, where ${\displaystyle \left({E-{H_{0}}}\right)\left \varphi \right\rangle =0}$. A formal solution of the inhomogeneous equation is the sum of the solution of the homogeneous equation with a particular solution of the inhomogeneous equation ${\displaystyle \left \psi \right\rangle =\left \phi \right\rangle +{G_{0+}}V\left \psi \right\rangle }$, where ${\displaystyle {G_{0+}}={\lim _{\varepsilon \to 0}}{\left({E-{H_{0}}+i\varepsil$$}\오른쪽)^{-1}$에$.$이것은 리프만-슈윙거 방정식인데, ${\displaystyle \psi }$ also${\displaystyle }$= ${\displaystyle ({1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle G{}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \varphi }$ {$$ {\$displaystyle \left \psi \rigle$ =\$reft$({1$+{G_{0+}}}})$라고도 쓸 수 있다.$T}\right)\left \phi \right\rangle }$. The t-matrix is defined by ${\displaystyle T=V+V{G_{0+}}V+V{G_{0+}}V{G_{0+}}V+...$$}$.

잠재적 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 겹치지$$ 않는 전위의 합, V${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{N}}}}$v$$ {\$displaystyle$V=\$sum \limits _{i=1}^{v_{i}}}}}}$이라고 가정합시다$.$이것의 물리적 의미는 핵이 ${\displaystyle {있는}_{}}$ $N{\displaystyle }$ ${\$ 위치에 있는 N {\$displaystyle$ $N}$ 원자의$$ 군집과 전자의 상호작용을 기술하고 있다는 $것$이다$.$ $연산자{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Qi}_{}}$${\$$displaystyle{$$Q_$${$i$}}}}}}$를 총합으로 작성할 수 있도록$$$$ 정의한다.${\displaystyle \underset{}{\overset{}{T}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{N}}}}$ ${\displaystyle Q_{}}$ i ${\$ T$=\sum \limits _{i=1}^{N}{Q_{i$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 및$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystytle$ $T}$에 대한 식을 T ${\displaystystyte$}의 정의에$$ 삽입하면$$

${\displaystyle \sum \limits _{i}{Q_{i}}=\sum \limits _{i}{{v_{i}}(1+{G_{0+}}\sum \limits _{j}{Q_{j}}})=\sum \limits _{i}{\left[{{v_{i}}{G_{0+}}{Q_{i}}+{v_{i$$}}}}\{1+{G_{0+}}\sum \limits _{j\neq$ i$}{Q_{j}}\오른쪽$

so ${\displaystyle {Q_{i}}={t_{i}}(1+{G_{0+}}\sum \limits _{j\neq i}{Q_{j}})}$, where ${\displaystyle {t_{i}}={\left({1-{v_{i}}{G_{0+}}}\right)^{-1}}{v_{i}}}$ is the scattering matrix for one atom.이 방정식을 반복하면

${\displaystyle T=\sum \limits _{i}{t_{i}}+\sum \limits _{i}{t_{i}}{G_{0+}}\sum \limits _{j\neq i}{t_{j}}+\sum \limits _{i}{t_{i}}{G_{0+}}\sum \limits _{j\neq i}{{t_{j}}{G$$_{0+}}\sum \sum _{k\neq j}{t_{k}+}...$$}$.

따라서 리프만-슈윙거 방정식의 해법은 어떤 사이트 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에서 들어오는 파동과 그 사이트로부터의 나가는 파동의 합으로 기록할 수 있다.

${\displaystyle \psi }$ =${\displaystyle \varphi {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle \varphi {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $u$ \$$\ \ \ \$displaystyle \left \right\rangele =\\left \\{i}^}}\{$in$}}}}\right\rangele +\\\phi$

중점적으로 다루기로 선택한 사이트$$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$는 클러스터의 사이트 중 하나일 수 있다.이 사이트에서 들어오는 파동은 클러스터의 들어오는 파동과 다른 모든 사이트에서 나오는 파동이다.

${\displaystyle (I)}$ ${\displaystyle \left {\phi _{i}^{in}}\right\rangle =\left \phi \right\rangle +\sum \limits _{j\neq i}{\left {\phi _{j}^{out}}\right\rangle }}$.

사이트 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에서 나가는 파형은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle (I}$ $){\$${\displaystyle {\mathrm{displaystyle}}_{}^{}}$$(II)}$ {\$displaystyle$ }{\phi _{i}^{out}}\{G_{0+}}}}{{t_}}}}}}\왼쪽 {\$phi _{i}}{$in\$rig$}}}}}{{i$}}}}$오른쪽 $랭글$

이 마지막 두 방정식은 다중 산란식의 기본 방정식이다.

To apply this theory to x-ray or neutron diffraction we go back to the Lippmann–Schwinger equation, ${\displaystyle \left \psi \right\rangle =\left \phi \right\rangle +{G_{0+}}$$T\왼쪽 \phi \right\rangele$=\$왼쪽$ \$phi \rigle +\$sum \$limits _{j=1}{n}{\phi _{j}^{$out$}}\rigle$The scattering from a site is assumed to be very small, so ${\displaystyle \left {\phi _{i}^{out}}\right\rangle ={G_{0+}}{t_{i}}\left \phi \right\rangle }$ or ${\displaystyle T=\sum \limits _{i=1}^{N}{t_{i}}}$.Born 근사치는 t-매트릭스를 계산하는 데 사용되는데, 단순히 $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 ${\displaystyle v_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$로 대체한다는$$ 뜻$.$ 현장에 충돌하는 평면파가 있고, 구면파가 이를 빠져나간다.결정에서 나오는 파동은 현장의 파동의 건설적인 간섭에 의해 결정된다.이 이론에 대한 진보에는 ${\displaystyle \underset{}{}}$ i ${\displaystyle \underset{}{t}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}\underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{j}}$ ${\displaystyle \underset{}{\ne }}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\$과 같은$$총 산란 $행렬{\displaystyle }$ T ${\\\\\\displaystytytytytytytytytytyty$}에 고차 $T}$에 고차 t}에 고차 항이 포함된다$.$이러한 용어는 몰리에르가 처리한 전하 입자의 산란에서 특히 중요하다.

고형분 내 전자 상태의 다중 산란 이론

1947년 코링가는 다중 산란 방정식을 사용하여 산포자 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) 무한대로 가는$$ 결정에서 정지 상태를 계산할 수 있다고 지적했다.^[7]클러스터 위에 들어오는 파동과 클러스터로부터 나가는 파동을 0으로 설정하면서, 그는 첫 번째 다중 산란을 다음과 같이 썼다.

${\displaystyle {\varphi }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$⟩${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{\mathrm{}}{\overset{}{j}}o\underset{}{\overset{}{}}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ o$$o o ${\displaystyle o_{}^{}}$ o $o$ u${\displaystyle {}_{}^{}}$u u \$$\ \ \ \ \ \ \ \$reft{in}}\rigle \$i1}\rigle =\$sum$\ \ \$\{j\py}{\pi }}{j$}}}}{j}}}}}}}}}}}{j}}}}{j}}}}}{$j$$j}@nepi$_$\$\\

이 과정에 대한 간단한 설명은 전자가 한 원자로부터 다른 원자 인피니텀으로 흩어진다는 것이다.

$v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$( $){\displaystyle {v_{i}}({\bf {r}})}}$은(는) 공간에 경계되어 있고$$ 겹치지 않기 때문에, 그 안에 잠재력이 상수인 중간 영역이 있으며, 일반적으로 0으로 간주된다.In this region, the Schrödinger equation becomes ${\displaystyle \left[{{\nabla ^{2}}+{\alpha ^{2}}}\right]{\psi _{i}}\left({\bf {r}}\right)=0}$, where ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2mE}}/\hbar }$. The incoming wave on site ${\displaystyle i}$ can thus 직위표현에 쓰여 있다.

${\$$Y_{lm}}\왼쪽({\bf{r}_{i}}\$오른쪽$){j_{$l}\{l}\$왼쪽({\alpha {r_{i}}}\오른쪽)d_{lm}^{i$

$여기$서 d ${\displaystyle m_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$i$$}}}$은(는) 결정되지 않은 계수와 $r{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle i\mathbf{}{}_{}}$= r${\displaystyle }$- ${\displaystyle R{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$그린의 기능은 중간 지역에서 확장될 수 있다.

${\displaystyle {G_{0+}}\left({{\bf {r}}-{\bf {r'}}}\right)=-i\alpha \sum \limits _{l',m'}{{$$Y_{l'},m'}\좌({\bf{r}_{i}}\우)h_{{{l'}^{+}\좌({\alpha {r_{i}}\우){j_{l'}}}{\l'r}}}좌우)$$Y_{l',m'}^{*}}\왼쪽({\bf {r'}}_{i}\오른쪽$

그리고 나가는 행클 함수는 쓸 수 있다.

${\displaystyle -i\alpha {Y_{l'm'}}\left({{\bf {r}}_{j}}\right)h_{l'}^{+}\left({r_{j}}\right)=\sum \limits _{l,m}{{$$Y_{lm}}\{\bf{r}_{i}}\오른쪽){j_{l}\{l}\{$j}}\{j}}}{j}}\{\lm,$l'm'}}\오른쪽){E,{{bf {{R$

이를 통해 d $l{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle m_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$을(를) 알 수 없는 계수를 결정하는 일련의 동종 동시 방정식으로 이어진다.

${\displaystyle \sum \limits _{j,l''m''}{\left[{{\delta _{ij}}{\delta _{lm,l''m''}}-\left({1-{\delta _{ij$$}}}\right)\sum \limits _{l'm'}{{g_{lm,l'm'}}\left({E,{{\bf {R}}_{ij}}}\right)t_{l'm',l''m''}^{j}\left(E\right)}}\right]d_{l''m''}^{j}}=0}$,

정지 상태의 다중 산란 방정식의 원리에 대한 해법이다.이 이론은 응축물리학의 연구에 매우 중요하다.^[4][5]

주기적 고형분, 단위 셀당 원자 1개

모든 전위(${\displaystyle v_{}}$ i)(${\displaystyle r{\mathbf{}}_{}}$ $){\displaystyle{v_{i}}({\bf{r}_{i}})$가 동일한$$ 주기적 고형물에 대해 고정 상태의 계산이 상당히 단순화되며, 핵 위치 ${\$이 주기적 배열을 형성한다$$.^[7]Bloch's theorem holds for such a system, which means that the solutions of the Schrödinger equation may be written as a Bloch wave ${\displaystyle {\psi _{\bf {k}}}\left({{\bf {r}}+{{\bf {R}}_{i}}}\right)$$={e^{{\bf{{k}}\cdot {{\bf{R}_{i}}}{\psi$_{\$bf{k$}}}\왼쪽$({\bf {r}\오른쪽$ .

계수에 대한 대칭 행렬을 처리하는 것이 더 편리하며, 이는 정의함으로써 이루어질 수 있다.

${\displaystyle c_{lm}^{i}=\sum \nolimits _{l'm'}{t_{lm,l'm'}^{i}\left(E\right)d_{l'm'}^{i}}}$.

These coefficients satisfy the set of linear equations ${\displaystyle \sum \limits _{j,l'm'}{M_{lm,l'm'}^{ij}c_{l'm'}^{j}=0}}$, with the elements of the matrix ${\displaystyle {\bf {M}}}$ being

${\displaystyle M_{lm,l'm'}^{ij}=m_{lm,l'm'}^{i}{\delta _{ij}}-\left({1-{\delta _{ij}}}\right){g_{lm,l'm'}}\left({E,{{\bf {R}}_{ij}}}\right)}$,

$그리고{\displaystyle {}_{}^{}}$ m ${\displaystyle l_{}^{}}$ ${\displaystyle {m,}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {m{}^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\$는 t-값의 역의 원소다.

For a Bloch wave the coefficients depend on the site only through a phase factor, ${\displaystyle c_{l'm'}^{j}={e^{-i{\bf {k}}\cdot {{\bf {R}}_{j}}}}{c_{l'm'}}\left(E,{\bf {k}}\right)}$, and the ${\display$$스타일 {c_{l'm'}\left(E,{\bf{k}}\right)}$이(가) 균질 방정식을 만족함$$

${\displaystyle \sum \limits _{l'm'}{{M_{lm,l'm'}}\left({E,{\bf {k}}}\right){c_{l'm'}}\left(E,{\bf {k}}\right)=0}}$,

여기서 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {l,}_{}}$ ${\displaystyle {l{}^{}{}^{}}_{}}$′ m ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$ ${\displaystyle {(}_{}E}$, ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {l,}_{}}$ l ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$ ${\displaystyle {m{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$ ${\displaystyle {(}_{}E}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle a{}_{}}$ l ${\displaystyle {m,}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$ ${\displaystyle {m{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$(${\displaystyle E}$, ${\displaystyle k}$) ${\$$={m_{lm,l'm'}}\left(E\right)-{A_{lm,l'm'}}\left({E,{\bf {k}}}\right)}$ and ${\displaystyle {A_{lm,l'm'}}\left({E,{\bf {k}}}\right)=\sum \limits _{j}{e^{i{\bf {k}}\cdot {{\bf {R}}_{ij}}}}{g_{lm,l'm'}}\le$$ft({E,{\bf {R}_{ij}}\오른쪽)}$.

월터 콘과 노먼 로스토커는 콘 변이법을 사용하여 이 같은 이론을 도출했다.대역 이론 계산을 위해 코링가-쿤-로스토커 방법(KKR 방법)이라고 한다.에발드는 구조 $상수$인 ${\displaystyle A_{}}$ l ${\displaystyle {m,}_{}}$ ${\displaystyle {l{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$ m${\displaystyle {{}^{}(}_{}}$ (${\displaystyle E}$,${\displaystyle k\mathbf{}}$ $){\$을 계산할 수 있는 수학적으로 정교한 합계 과정을 도출했다$.$The energy eigenvalues of the periodic solid for a particular ${\displaystyle {\bf {k}}}$, ${\displaystyle {E_{b}}\left({\bf {k}}\right)}$, are the roots of the equation ${\displaystyle \det {\bf {M}}\left({E,{\bf {k}}}\right)=0}$. The eigenfunctions are found by solving${\displaystyle c_{}}$, ${\displaystyle m_{}}$(${\displaystyle E}$ ${\displaystyle ,}$ k${\displaystyle }$) ${\$에 $대해{\displaystyle }$, E${\displaystyle }$= ${\displaystyle E{}_{}}$ ${\displaystyle b_{}(k\mathbf{}}$ ) ${\$이러한 행렬 방정식의 치수는 기술적으로는 무한하지만 ${\displaystyle {lmax}_{}}$ ${\$보다 큰$$ 각도 모멘텀 양자수 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle l}$에 해당하는 모든 기여를 무시함으로써 치수$({\displaystyle {{lmax}_{}}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$) 2 ${\displaystystyle {\l_{\max }{{{}+1}\2$}^{2}을 갖는다$.$$\}\}\}\}.$ 이 근사치의 $정당성$은 l {\$displaystyle$ $l}$과 ${$lm$,$ l$'m'}의 t-매트릭스$t ${\displaystyle {l{}^{}m}_{}}$,${\displaystyle {{}^{}}_{}}$${\displaystyle {max}_{}}$ ${\$ l}이(가) l $max${\displaystystyle {$l_${\max$}$보다 클$$ 때 매우 작다는$$ 것이다.${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {l,}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}m{}^{}}_{}}$′ ${\$은(는) 매우 크다.

KKR 방법의 원래 파생에서는 spheric mumpin-tin 전위를 사용했다.그러한 전위는 산란 행렬의 역행렬이 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle l}$에서 대각선이라는 장점이 있다.

${\displaystyle {m_{lm,l'm'}}=\left[{\alpha \cot {\delta _{l}}\left(E\right)-i\alpha }\right]{\delta _{l,l'}}{\delta _{m,m'}}}$,

여기서 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$($){\$은 산란 이론의 부분파 분석에 나타나는 산란 위상 변화다.또한 한 원자에서 다른 원자로 산란되는 파동을 시각화하는 것이 더 용이하며, $l{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {max}_{}}$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {l_{\max }}}3}$을(를) 많은 응용에서 사용할 수 있다$$.머핀틴 근사치는 촘촘한 배열로 대부분의 금속에 적합하다.원자 사이의 힘 계산이나 반도체와 같은 중요한 시스템에는 사용할 수 없다.

이론의 확장

KKR 방식은 공간을 채우는 비구형 전위와 함께 사용할 수 있다는 것이 현재 알려져 있다.^[4][8]단위 세포에 있는 원자의 수에 관계없이 결정체를 처리하도록 확장할 수 있다.표면 상태를 계산하는 데 사용할 수 있는 이론의 버전이 있다.^[9]

The arguments that lead to a multiple scattering solution for the single-particle orbital ${\displaystyle \psi ({\bf {r}})}$ can also be used to formulate a multiple scattering version of the single-particle Green's function ${\displaystyle G(E,{\bf {r}},{\bf {r'}})}$ which is a solution of the equation

${\displaystyle \left[{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\nabla ^{2}}+V({\bf {r}})-E}\right]G(E,{\bf {r}},{\bf {r'}})=-\delta ({\bf {r}}-{\bf {r'}})}$.

잠재적 $V{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle$ V$({\bf{r}})$는 앞의 논의에서 사용된 밀도 함수 이론에서 나온 것과 동일한 것이다$$.이 Green의 기능과 Korringa-Kohn-Rostoker 방법을 사용하여 Korringa-Kohn-Rostoker의 일관성 있는 잠재 근사치(KKR-CPA)를 얻는다.^[10]KKR-CPA는 Bloch의 정리가 보유하지 않는 대체 고체-솔루션 합금의 전자 상태를 계산하는 데 사용된다.훨씬 더 광범위한 응축 물질 구조에 대한 전자 상태는 단일 입자 그린의 기능에 기초하는 국소적 자기 정합성 다중 산란(LSMS) 방법을 사용하여 찾을 수 있다.^[11]

참조