결정점군

결정학에서 결정학적 점군은 3차원의 점군 중 하나에 해당하는 대칭 연산의 집합으로, 각 연산(아마도 번역에 따른 것)은 결정의 구조를 변경하지 않고 그대로 둘 것이다. 즉, 동일한 종류의 원자가 변환 전과 유사한 위치에 놓일 것이다.예를 들어, 입방결정계의 많은 결정에서, 그 중심에 교차하는 입방체의 두 평행 면에 수직인 축을 중심으로 90도씩 단위셀을 회전시키는 것은 각 원자를 같은 종류의 다른 원자의 위치로 이동시켜 결정의 전체적인 구조를 방해하지 않게 하는 대칭 연산이다.edd.

결정의 분류에서 각 점군은 소위 (기압) 결정 등급을 정의한다. 3차원 점군이 무한히 많다. 그러나 일반 포인트 그룹에 대한 결정학적 제약은 32개의 결정학적 포인트 그룹만 있는 결과를 낳는다. 이들 32개 점군은 요한 프리드리히 크리스티안 헤셀이 관측된 결정 형태를 고려하여 1830년에 도출한 32종의 형태학적(외부) 결정 대칭과 동일하다.

결정의 점군은 무엇보다도 그 구조에서 발생하는 물리적 성질의 방향 변동을 결정하는데, 여기에는 바이얼링턴시 같은 광학적 특성이나 포켈스 효과와 같은 전기적 특성이 포함된다. 주기적인 결정(Quasic crystal과는 반대로)을 위해서는 집단이 결정성을 정의하는 3차원 변환 대칭을 유지해야 한다.

표기법

점 그룹은 구성 요소 대칭에 따라 이름이 지정된다. 결정학자, 광물학자, 물리학자들이 사용하는 몇 가지 표준 명단이 있다.

아래 두 시스템의 대응은 수정 시스템을 참조하십시오.

쇤파리 표기법

쇤파리 표기법에서 점 그룹은 첨자와 함께 문자 기호로 표시된다. 결정학에 사용되는 기호는 다음을 의미한다.

C_n(순환의 경우)는 그룹이 n-폴드 회전 축을 가지고 있음을 나타낸다. C는_nh 회전 축에 수직인 거울(반사) 평면을 더한 C이다_n. C는_nv 회전 축에 평행한 n개의 미러 평면을 더한 C이다_n.
S_2n(슈피겔의 경우, 독일어 거울의 경우)는 2n배 회전반사 축만 가진 그룹을 의미한다.
D_n(이면 또는 양면)는 그룹이 n-폴드 회전 축과 그 축에 수직인 n-폴드 회전 축을 더하고 있음을 나타낸다. D에는_nh 또한 N-폴드 축에 수직인 미러 평면이 있다. D에는_nd D의_n 요소 외에도 N-폴드 축에 평행한 미러 평면이 있다.
문자 T(사면체의 경우)는 그룹이 사면체의 대칭을 가지고 있음을 나타낸다. T는_d 부적절한 회전 연산을 포함하며, T는 부적절한 회전 연산을 제외하며, T는_h 반전 연산을 추가하여 T이다.
문자 O(옥타헤드론의 경우)는 그룹이 (O_h) 또는 (O) 부적절한 작동(손길을 바꾸는 동작)을 포함하거나 포함하지 않고 팔면체(또는 입방체)의 대칭을 가지고 있음을 나타낸다.

결정학적 제한 정리 때문에 n = 1, 2, 3, 4 또는 6은 2차원 공간이나 3차원 공간이다.

n	1	2	3	4	6
C_n	C₁	C₂	C₃	C₄	C₆
C_nv	C_1v=C_1h	C_2v	C_3v	C_4v	C_6v
C_nh	C_1h	C_2h	C_3h	C_4h	C_6h
D_n	D₁=C₂	D₂	D₃	D₄	D₆
D_nh	D_1h=C_2v	D_2h	D_3h	D_4h	D_6h
D_nd	D_1d=C_2h	D_2d	D_3d	D_4d	D_6d
S_2n	S₂	S₄	S₆	S₈	S₁₂

D와_4d D는_6d 각각 n=8과 12로 부적절한 회전을 포함하기 때문에 사실상 금지된다. 표에 T, T_d, T_h, O, O를_h 더한 27개 점군은 32개의 결정학적 점군을 구성한다.

헤르만-마우긴 표기법

우주 그룹에 일반적으로 사용되는 헤르만-마우구인 표기법의 축약 형태도 결정학적 점 그룹을 설명하는 역할을 한다. 그룹 이름은

시스템	그룹명
큐빅	23	m3		432	43m	m3m
육각형	6	6	⁶⁄_m	622	6mm	6㎡	6/10
삼각형	3	3		32	3m	3m
4각형	4	4	⁴⁄_m	422	4mm	42m	4/10
정형외과				222		mm2	음.
단음이의	2		²⁄_m		m
삼위일체	1	1						32개 결정점 그룹의 부분군 관계 (행은 아래에서 위로 그룹 주문을 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48로 나타낸다.)

다른 명언들 사이의 일치성

크리스털 시스템	헤르만마우긴		슈브니코프^[1]	쇤파리	오비폴드	콕시터	주문
크리스털 시스템	(전체)	(짧은 길이)	슈브니코프^[1]	쇤파리	오비폴드	콕시터	주문
삼위일체	1	1	$1\displaystyle 1\ }$	C₁	11	[ ]⁺	1
삼위일체	1	1	${\tilde{2}$	C_i = S₂	×	[2⁺,2⁺]	2
단음이의	2	2	$2\displaystyle 2\ }$	C₂	22	[2]⁺	2
	m	m	$M\displaystayplaystyle m\ }$	C_s = C_1h	*	[ ]	2
	${\tfrac {2}{m}$	2/m	$2:m\ }$	C_2h	2*	[2,2⁺]	4
정형외과	222	222	$2:2\ }$	D₂ = V	222	[2,2]⁺	4
	mm2	mm2	$2\cdot m\ }$	C_2v	*22	[2]	4
	${\tfrac {2}{m}{\tfrac {2}{m}{\tfrac {2}{m}}}$	음.	$2:m\displaystyle m\cdot 2:m\ }$	D_2h = V_h	*222	[2,2]	8
4각형	4	4	$4\displaystyle 4\ }$	C₄	44	[4]⁺	4
	4	4	${\tilde{4}$	S₄	2×	[2⁺,4⁺]	4
	${\tfrac {4}{m}}$	4/m	$(\displaystaystyle 4:m\ }$	C_4h	4*	[2,4⁺]	8
	422	422	$4:2\ }$	D₄	422	[4,2]⁺	8
	4mm	4mm	$4\cdot m\ }$	C_4v	*44	[4]	8
	42m	42m	${\tilde {4}\cdot m$	D_2d = V_d	2*2	[2⁺,4]	8
	${\tfrac {4}{m}{\tfrac {2}{m}}}$	4/10	$4:m\displaystyle m\cdot 4:m\ }$	D_4h	*422	[4,2]	16
삼각형	3	3	$3\displaystyle 3\ }$	C₃	33	[3]⁺	3
	3	3	${\tilde{6}$	C_3i = S₆	3×	[2⁺,6⁺]	6
	32	32	$3:2\ }$	D₃	322	[3,2]⁺	6
	3m	3m	$3\cdot m\ }$	C_3v	*33	[3]	6
	3 ${\tfrac {2}{m}$	3m	${\tilde {6}\cdot m$	D_3d	2*3	[2⁺,6]	12
육각형	6	6	$6\displaystyle 6\ }$	C₆	66	[6]⁺	6
	6	6	$3:m\ }$	C_3h	3*	[2,3⁺]	6
	${\tfrac {6}{m}}$	6/m	${\displaystayplaystyle 6:m\ }$	C_6h	6*	[2,6⁺]	12
	622	622	$6:2\ }$	D₆	622	[6,2]⁺	12
	6mm	6mm	$6\cdot m\}$	C_6v	*66	[6]	12
	6㎡	6㎡	$3:m\displaystyle m\cdot 3:m\ }$	D_3h	*322	[3,2]	12
	${\tfrac {6}{m}{\tfrac {2}:{m}{\tfrac {2}{m}}}$	6/10	$6:m\displaystyle m\cdot 6:m\ }$	D_6h	*622	[6,2]	24
큐빅	23	23	$3/2\ 디스플레이 스타일 }$	T	332	[3,3]⁺	12
	${\tfrac {2}{m}$ 3	m3	${\tilde {6}/2$	T_h	3*2	[3⁺,4]	24
	432	432	$디스플레이 스타일 3/4\ }$	O	432	[4,3]⁺	24
	43m	43m	$3/{\tilde{4}$	T_d	*332	[3,3]	24
	${\tfrac {4}{m}}$ 3 ${\tfrac {2}{m}$	m3m	${\tilde {6}/4$	O_h	*432	[4,3]	48

이소모르프스

많은 결정학적 점 그룹들은 동일한 내부 구조를 공유한다. 예를 들어 점 그룹 1, 2 및 m은 서로 다른 기하학적 대칭 연산(각각 반전, 회전, 반사)을 포함하지만 모두 순환 그룹 C의₂ 구조를 공유한다. 모든 이형 집단은 순서가 같지만, 같은 순서의 모든 집단이 이형 집단은 아니다. 이형성인 점 그룹은 다음 표에 표시된다.^[2]

헤르만마우긴	쇤파리	주문	추상군
1	C₁	1	C₁	$G_{1}^{1}:{1$
1	C_i = S₂	2	C₂	$G_{2}^{1}:{1$
2	C₂	2
m	C_s = C_1h	2
3	C₃	3	C₃	$G_{3}^{1}:{1$
4	C₄	4	C₄	$G_{4}^{1}:{1$
4	S₄	4	C₄	$G_{4}^{1}:{1$
2/m	C_2h	4	D₂ = C₂ × C₂	$G_{4}^{2}$
222	D₂ = V	4
mm2	C_2v	4
3	C_3i = S₆	6	C₆	$G_{6}^{1}:{1$
6	C₆	6
6	C_3h	6
32	D₃	6	D₃	$G_{6}^{2}$
3m	C_3v	6	D₃	$G_{6}^{2}$
음.	D_2h = V_h	8	D₂ × C₂	$G_{8}^{3}}$
4/m	C_4h	8	C₄ × C₂	$G_{8}^{2}$
422	D₄	8	D₄	$G_{8}^{4}}$
4mm	C_4v	8
42m	D_2d = V_d	8
6/m	C_6h	12	C₆ × C₂	$G_{12}^{2}$
23	T	12	A을₄	$G_{12}^{5}}$
3m	D_3d	12	D₆	$G_{12}^{3}}$
622	D₆	12
6mm	C_6v	12
6㎡	D_3h	12
4/10	D_4h	16	D₄ × C₂	$G_{16}^{9}}$
6/10	D_6h	24	D₆ × C₂	$G_{24}^{5}}$
m3	T_h	24	A₄ × C₂	$G_{24}^{10}}$
432	O	24	S₄	$G_{24}^{7}}$
43m	T_d	24	S₄	$G_{24}^{7}}$
m3m	O_h	48	S₄ × C₂	$G_{48}^{7}}$

이 표에서는 주기 그룹(C₁, C₂, C, C₃₄, C₆), 이음 그룹(D₂, D₃, D₄, D₆), 교대 그룹(A₄), 대칭 그룹(S₄) 중 하나를 사용한다. 여기서 기호 " × "는 직접 제품을 나타낸다.

공간 그룹에서 결정학적 점 그룹(결정 클래스) 도출

Bravais 유형 제외
변환 구성 요소가 있는 모든 대칭 요소를 변환 대칭 없이 각 대칭 요소로 변환(글라이드 평면은 단순 미러 평면으로 변환, 나사 축은 단순 회전 축으로 변환)
회전 축, 회전 축 및 미러 평면은 변경되지 않는다.

참고 항목

참조

^ "Archived copy". Archived from the original on 2013-07-04. Retrieved 2011-11-25.CS1 maint: 제목으로 보관된 복사본(링크)
^ Novak, I (1995-07-18). "Molecular isomorphism". European Journal of Physics. IOP Publishing. 16 (4): 151–153. doi:10.1088/0143-0807/16/4/001. ISSN 0143-0807.

외부 링크

[1] "Archived copy". Archived from the original on 2013-07-04. Retrieved 2011-11-25.CS1 maint: 제목으로 보관된 복사본(링크)

[2] Novak, I (1995-07-18). "Molecular isomorphism". European Journal of Physics. IOP Publishing. 16 (4): 151–153. doi:10.1088/0143-0807/16/4/001. ISSN 0143-0807.

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