나눗셈(수학)

20 / 4 = 5 (사과와 함께 그림).이것은 말로 "20 나누기 4는 5"라고 말한다.

나눗셈은 산술의 네 가지 기본 연산 중 하나로, 숫자를 조합하여 새로운 숫자를 만드는 방식이다.다른 연산은 덧셈, 뺄셈, 곱셈입니다.

초급 수준에서 두 자연수의 나눗셈은 다른 가능한 해석 중에서 하나의 숫자가 다른 ^[1]^{: 7}숫자에 포함되는 횟수를 계산하는 과정이다.이 횟수는 정수일 필요는 없습니다.예를 들어, 20개의 사과를 4명에게 균등하게 나누어 주면 모든 사람이 5개의 사과를 받게 됩니다(그림 참조).

두 자연수의 나머지 또는 유클리드 나눗셈을 가진 나눗셈은 정수 상수를 제공하는데, 이것은 두 번째 숫자가 첫 번째 숫자에 완전히 포함된 횟수이고, 나머지, 이것은 몫 계산 과정에서, 더 이상의 크기의 완전한 덩어리가 없는 첫 번째 숫자의 부분이다.두 번째 번호를 할당할 수 있습니다.예를 들어, 21개의 사과를 4명으로 나누면 모든 사람이 다시 5개의 사과를 받고 1개의 사과가 남습니다.

나눗셈이 항상 몫 더하기 나머지가 아닌 하나의 숫자를 산출하기 위해서는 자연수가 유리수 또는 실수까지 확장되어야 합니다.이러한 확대수 체계에서 나눗셈은 곱셈의 역연산이다. 즉, $a$ $= c$ / $b$ 는 a × $b$ = $c$ 를 $의미$ 한다. $단$ , b는 0이 아니다. $b$ = $0$ 이면 ^[a]^[4]^{: 246}정의되지 않은 0으로 나눈 값입니다.21개의 예에서, 모든 사람은 5개의 사과와 4분의 1의 사과를 받게 되고, 따라서 남은 사과를 피할 수 있게 된다.

두 가지 형태의 나눗셈은 다양한 대수적 구조에서 나타나며, 수학 구조를 정의하는 다른 방식에서도 나타난다.유클리드 나눗셈이 정의되는 것을 유클리드 도메인이라고 하며 (단변수 공식에 대한 곱셈과 덧셈을 정의하는) 하나의 불확정 고리를 포함한다.0이 아닌 모든 요소에 의한 나눗셈(단일 결과)이 정의되는 것을 필드 및 나눗셈 링이라고 합니다.링에서는 항상 나눗셈이 가능한 요소를 단위라고 부릅니다(예를 들어 정수의 링에서는 1과 -1).대수 구조에 대한 나눗셈의 또 다른 일반화는 몫군인데, 여기서 "나눗셈"의 결과는 숫자가 아니라 군이다.

서론

가장 간단한 분할 방법은 인용과 분할입니다. 인용의 관점에서 20/ $5$ 는 20을 얻기 위해 더해야 하는 5의 수를 의미합니다.칸막이의 관점에서 $20/5$ 는 크기 20의 집합이 분할된 5개의 각 부분의 크기를 의미합니다.예를 들어, 사과 20개를 4개로 이루어진 5개의 그룹으로 나누면 20개를 5로 나누면 4가 됩니다.20/5=4또는.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{이 표시됩니다.border-top:1px}고체.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}20/5=4.[2]나누어져 있는 것을 배당이라고 하고, 이것을 제수로 나누어서 그 결과를 몫이라고 합니다.이 예제에서 20은 배당, 5는 제수, 4는 몫입니다.

다른 기본 연산과 달리 자연수를 나눌 때 배당금으로 균등하게 들어가지 않는 나머지가 있을 수 있습니다. 예를 들어 10 $/3$ 은 3의 배수가 아니기 때문에 나머지 1을 남깁니다.때때로 이 나머지가 분수로 지수에 더해지므로 $10/3$ 은 3 $+ 1 /$ 3 $또는$ 3. $33...$ $과$ 같으나, 소수 부분이 없는 정수 나눗셈의 상황에서는 나머지가 따로(또는 예외적으로 폐기 또는 ^[5]반올림됨) 보관됩니다.나머지가 분수로 유지되면, 그것은 유리수로 이어진다.모든 유리수의 집합은 정수의 모든 가능한 나눗셈 결과와 함께 정수를 확장하여 생성됩니다.

곱셈과 덧셈과는 달리 나눗셈은 가환적이지 않다. 즉, a/^[6] $b$ 가 항상 b $/ a$ 와 $같지$ 는 않다. $또한$ 일반적으로 나눗셈은 여러 번 나눌 때 ^[7]나눗셈 순서가 결과를 바꿀 수 있다는 것을 의미한다.예를 들어 ( $24/6)$ / 2= $2$ 이지만 $24$ / ( $6/2) = 8$ 입니다 $($ 괄호 사용은 괄호 안의 작업이 괄호 밖의 작업보다 먼저 수행됨을 나타냅니다).

나눗셈은 전통적으로 좌뇌 연관성으로 간주됩니다.즉, 한 행에 여러 개의 눈금이 있는 경우 계산 순서는 왼쪽에서 ^[8]^[9]오른쪽으로 이동합니다.

\displaystyle a/b/c=(a/b)/c=a/(b\times c)\;\neq \;a/(b/c)=(a\times c)/b.}

나눗셈은 덧셈과 뺄셈에 대한 오른쪽 분포이다.

{a\pm b}{c}=(a\pm b)/c=(a/c)\pm(b/c)=pm {a}{c}\pm {frac {b}{c}}}.

이것은 곱셈의 경우와 같습니다.예를 들어 $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$ $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$ ) × $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$ $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$ × $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$ + $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$ × $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$ { $displaystyle (a$ + $b)\times$ c $=a\times$ c+ $b\times$ c $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$ 단, 나눗셈은 왼쪽 분포가 아닙니다.

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

b +

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

/

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

(

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

+

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

)

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

(

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

/

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

)

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

+ (

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

/

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

c )

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

+

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

c

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

. {

displaystyle

{

frac

{

a }

{ b +

{\frac {12}{2+4}}={\frac {12}{6}}=2,

}

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

=

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

a / ( b + c ) \ ; \

neq

\ ; (

a

/ b )

{\frac {12}{2+4}}={\frac {12}{6}}=2,

{\frac {12}{2+4}}={\frac {12}{6}}=2,

frac

{ a

/ c + c

}

{12}{2}}+{\frac {12}{4}}=6+3=9.

}

이는 왼쪽-분포와 오른쪽-분포 모두 분포인 곱셈의 경우와 다릅니다.

표기법

플러스 마이너스.2010년 과세연도의 노르웨이 공식 거래명세서 '네링소프가베 1'에서 발췌한 마이너스 부호의 변형으로 사용되는 오벨루스.

나눗셈은 종종 대수와 과학에서 분수대라고도 불리는 수평선을 사이에 두고 제수 위에 배당을 배치함으로써 나타난다.예를 들어, "a 나눗셈 b"는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(\displaystyle\frac{a}{b})

"a by b" 또는 "a over b"로 크게 읽을 수도 있습니다.나눗셈을 모두 한 줄에 표시하는 방법은 다음과 같이 배당(또는 분자), 슬래시, 제수(또는 분모)를 쓰는 것입니다.

a/b

이것은 대부분의 컴퓨터 프로그래밍 언어에서 나눗셈을 지정하는 일반적인 방법입니다. 왜냐하면 나눗셈은 ASCII 문자의 단순한 시퀀스로 쉽게 입력할 수 있기 때문입니다. (추상대수의 몫 객체에 사용되는 유일한 표기법이기도 합니다.)MATLAB 및 GNU 옥타브와 같은 일부 수학 소프트웨어에서는 역순으로 백슬래시를 나눗셈 연산자로 사용하여 피연산자를 작성할 수 있습니다.

b\backslash a

이 두 형태 사이의 인쇄 변화는 솔리더스(분할 슬래시)를 사용하지만 배당을 높이고 제수를 낮춥니다.

{}^{a}\!/{}_{b}

이러한 양식 중 하나를 사용하여 분수를 표시할 수 있습니다.분수는 배당과 제수가 모두 정수(일반적으로 분자와 분모라고 함)인 나눗셈 표현식이며 나눗셈을 더 평가해야 한다는 의미는 없습니다.나눗셈을 나타내는 두 번째 방법은 산술적으로 공통적으로 다음과 같이 나눗셈 기호(÷, obelus라고도 함)를 사용하는 방법은 다음과 같습니다.

a\div b

이 형식은 초급 산수를 제외하고는 거의 발생하지 않는다.ISO 80000-2-9.6에서는 사용하지 않도록 규정되어 있습니다.이 분할 부호는 계산기 키의 라벨처럼 분할 연산 자체를 나타내기 위해 단독으로 사용됩니다.오벨루스는 1659년 스위스 수학자 요한 란에 의해 도이체 ^[10]^{: 211}대수학에서 소개되었다.일부 유럽 국가에서는 뺄셈을 나타내기 위해 symbol 기호를 사용하므로 잘못 사용될 수 있습니다.

일부 비영어권 국가에서는 콜론을 사용하여 ^[11]나눗셈을 나타냅니다.

a:b

이 표기법은 고트프리드 빌헬름 라이프니츠에 의해 1684년 악타 에루디토룸에서 ^[10]^{: 295}소개되었다.라이프니츠는 비율과 나눗셈을 위한 별도의 기호를 갖는 것을 싫어했다.그러나 영어 사용법에서는 대장은 비율의 관련 개념을 표현하는 것으로 제한됩니다.

19세기 이후 미국 교과서는 특히 긴 분할을 논할 때 b로 나누어진 것을 나타내기 위해 b $b)a$ (표시 $스타일 b)a$ 또는 $b{\overline {)a}}$ a $b{\overline {)a}}$ (\ $표시 스타일$ b ${\오버라인 a})$ 를 $b{\overline {)a}}$ $b)a$ 해 왔다.이 표기법의 역사는 시간이 ^[12]지남에 따라 발전했기 때문에 완전히 명확하지 않다.

컴퓨팅

수동 방식

분할은 막대사탕 더미와 같은 여러 개의 동일한 부분으로 "공유"하는 개념을 통해 종종 도입됩니다.각 공유 라운드에서 여러 개체를 각 부분에 동시에 분배하는 것은 '청킹'이라는 개념으로 이어집니다. 즉, 배당 자체에서 제수의 배수를 반복적으로 빼는 나눗셈의 한 형태입니다.

주어진 단계에서 부분적인 나머지가 허용하는 것보다 더 많은 배수를 감산할 수 있게 함으로써 청킹의 양방향 변종과 같은 보다 유연한 방법도 개발할 수 있다.

보다 체계적이고 효율적으로 두 정수를 연필과 종이로 나누면 제수가 작으면 단분할, 제수가 크면 장분할할할 수 있다.배당에 소수(소수분수로 표시)가 있으면 원하는 자리까지 절차를 계속할 수 있다.소수 부분에 소수 부분이 있는 경우, 소수점에 분수가 없을 때까지 두 숫자 모두에서 소수점을 오른쪽으로 이동하여 문제를 다시 기술할 수 있으며, 이 경우 10/2.5 = 100/25 = 4와 같이 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다.

사단 주판과 계산될 수 있다.[13]

Logarithm 표 두개의 숫자를 나누는, 그때 그 결말의 antilogarithm을 찾고 있는 두 숫자의 로그를 빼면 사용될 수 있다.

사단 슬라이드 규칙과 D을 저울 위에 배당이 C을 저울 위에 제수들을 연계함으로써 계산될 수 있다.그 지수가 왼쪽 지수와 C규모로 정렬된다 D규모에서 볼 수 있다.사용자는 하지만, 정신적으로 소수 점의 따라잡기 위해 책임이 있다.

컴퓨터별

현대의 계산기와 컴퓨터 방식들은 오랜 분열과 비슷하거나 더 빠른 메서드에 의해;과 알고리즘을 보사단 compute.

모듈형 연산(소수 모듈로)과 실수를기 위해서는, 조금 수들은 역수다.이러한 경우, x에 의한 부서는 제품과 x의 역수에서 계산될 수 있이 접근 방식은 컴퓨터 산술에 더 빠른 방법과 관련이 있다.

다른 컨텍스트에서의 분할

유클리드 분할

정수의 사단의 보통 과정의 결과물의 나눗셈 정리는 수학 공식이.그것은 주장하고, 주어진 두개의 정수를, 배당금, 그리고 b, 제수, b≠ 0, 있습니다 독특한 정수 q, 몫, r, 나머지를=bq+r와 0≤ r<>b, b을 나타내는 절대 값.

정수의

Integers 사단에 따라서 닫히지 않다.사단 외 0으로 나오는 것 정의되지 않습니다, 몫이 아닌 정수의 인자하지 않는 한 배당금은 정수 배수이다.예를 들어, 2611로 정수를 제공하기 위해 분류할 수 없다.이런 환자는:한 막대기에는 다섯개의 접근을 사용한다.

26을 11로 나눌 수 없다고 하자. 나눗셈은 부분 함수가 된다.
대략적인 답을 부동소수점수로 제시합니다.이것은 일반적으로 수치 계산에서 채택되는 접근법이다.
답을 유리수를 나타내는 분수로 제시하면, 26을 11로 나눈 ${\tfrac {26}{11}}$ 는 ${\tfrac {26}{11}}$ 2611( ${\tfrac {26}{11}}$ ${\tfrac {26}{11}}=2{\tfrac {4}{11}}.$ ${\tfrac {26}{11}}=2{\tfrac {4}{11}}.$ 로서 ${\tfrac {26}{11}}=2{\tfrac {4}{11}}.$ ${\tfrac {26}{11}}$ ${\tfrac {26}{11}}=2{\tfrac {4}{11}}.$ $).$ {{ $displaystyle {tfrac {26} = 2sfrac {4}$ { $11})$ 이 됩니다. ${\tfrac {26}{11}}=2{\tfrac {4}{11}}.$ 보통 결과 분수를 단순화해야 합니다. 52를 22로 나누면 $2611({displaystyle$ { $tfrac$ {26 $}{$ 11 ${\tfrac {26}{11}}$ 이 ${\tfrac {26}{11}}$ $.$ 이 단순화는 최대공약수를 제외함으로써 이루어질 수 있다.
정답을 정수 상수와 나머지로 지정하면 ${\tfrac {26}{11}}=2{\mbox{ remainder }}4.$ ${\tfrac {26}{11}}=2{\mbox{ remainder }}4.$ ${\tfrac {26}{11}}=2{\mbox{ remainder }}4.$ 2 $나머지$ 4. ${\tfrac {26}{11}}=2{\mbox{ remainder }}4.$ {\ $displaystyle {tfrac {26}$ { $11$ } $= 2smbox{$ remains $}4.}$ 앞의 ${\tfrac {26}{11}}=2{\mbox{ remainder }}4.$ 경우와 구별하기 위해 이 나눗셈은 유클리드 알고리즘의 기초이기 때문에 유클리드 나눗셈이라고도 합니다.
정답으로 정수 상수를 지정합니다. ${\tfrac {26}{11}}=2.$ ${\tfrac {26}{11}}=2.$ ${\tfrac {26}{11}}=2.$ . ${\tfrac {26}{11}}=2.$ { $displaystyle {tfrac {26}$ { $11$ } = $2$ } ${\tfrac {26}{11}}=2.$ 이것은 케이스 2 또는 3에 적용되는 바닥 기능입니다.정수 나눗셈이라고도 하며 "//"로 표시됩니다.

컴퓨터 프로그램에서 정수를 나누는 것은 특별한 주의가 필요하다.일부 프로그래밍 언어에서는 위의 5와 같이 정수 나눗셈을 처리하므로 답은 정수입니다.MATLAB 및 모든 컴퓨터 대수 체계와 같은 다른 언어들은 위의 사례 3과 같이 해답으로 유리수를 반환합니다.이 언어들은 다른 사례의 결과를 직접 또는 사례 3의 결과에서 얻을 수 있는 기능도 제공한다.

정수 나눗셈에 사용되는 이름 및 기호에는 div, /, " 및 %가 포함됩니다.배당 또는 제수가 음수일 때 정의는 정수 나눗셈에 따라 달라집니다. 반올림은 0(T-division이라고 함) 또는 -θ(F-division)로 할 수 있습니다. 더 드문 스타일이 발생할 수 있습니다. 자세한 내용은 모듈로 연산을 참조하십시오.

어떤 정수가 다른 정수로 정확히 나누어져 있는지 여부를 신속하게 판단하기 위해 때때로 나눗셈 규칙을 사용할 수 있습니다.

유리수의

두 개의 유리수를 나눈 결과는 제수가 0이 아닐 때 또 다른 유리수이다.두 개의 유리수 p/q와 r/s의 나눗셈은 다음과 같이 계산할 수 있다.

{p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}.

4개의 수량은 모두 정수이며 p만 0일 수 있습니다.이 정의에 의해 나눗셈은 곱셈의 역연산이 됩니다.

실수의

2개의 실수를 나누면 다른 실수가 됩니다(제수가 0이 아닌 경우).a/b = cb 및 b 0 0인 경우에만 a/b = c가 되도록 정의됩니다.

복소수

두 복소수(제수가 0이 아닌 경우)를 나누면 분모의 켤레를 사용하여 다른 복소수가 생성됩니다.

{p+iq \over r+is}={(p+iq)(r-is)\over (r+is)(r-is)}={pr+qs+i(qr-ps)\over r^{2}+s^{2}}={pr+qs\over r^{2}+s^{2}}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}.

r $r-is$ - $r-is$ \ $displaystyle r-is로$ 나누는 이 과정을 '실현' 또는 (유추에 의한) 합리화라고 한다.4개의 양 p, q, r, s는 모두 실수이며, r과 s는 모두 0이 될 수 없습니다.

극형식으로 표현된 복소수의 나눗셈은 위의 정의보다 간단하다.

({displaystyle {pe^{iq} \over re^{is}={pe^{iq}e^{-is}\over re^{-is})={p \over r}e^{i(q-s)}}).}

여기서도 4개의 p, q, r, s는 모두 실수이며 r은 0이 될 수 없습니다.

다항식의

한 필드에 걸쳐 하나의 변수에서 다항식의 나눗셈 연산을 정의할 수 있습니다.정수의 경우처럼 1은 나머지를 갖는다.다항식의 유클리드 나눗셈을 참조하고, 손으로 쓴 계산에 대해서는 다항식 긴 나눗셈 또는 합성 나눗셈을 참조한다.

행렬의

행렬에 대한 나눗셈 연산을 정의할 수 있습니다.이를 위한 일반적인 방법은 A / B⁻¹ = AB를 정의하는 것입니다. 여기서⁻¹ B는 B의 역수를 나타내지만 혼동을 피하기 위해 AB를 명시적으로 쓰는⁻¹ 것이 훨씬 더 일반적입니다.요소별 분할은 Hadamard 곱의 관점에서 정의할 수도 있습니다.

좌우 구분

행렬 곱셈은 가환성이 아니기 때문에 왼쪽 분할 또는 이른바 백슬래시 분할을 A \ B = AB로⁻¹ 정의할 수도 있습니다.이것이 잘 정의되기 위해서는⁻¹ B가 존재할 필요는 없지만 A가⁻¹ 존재해야 한다.혼란을 피하기 위해 A / B = AB로⁻¹ 정의된 나눗셈을 이 맥락에서 오른쪽 나눗셈 또는 슬래시 나눗셈이라고 부르기도 합니다.

좌우 나눗셈이 이렇게 정의되어 있는 경우 A / (BC)는 일반적으로 (A / B ) / C와 같지 않으며 (AB) \ C도 (B \ C)와 같지 않습니다.단, A / (BC) = (A / C) / B 및 (AB) \ C = B \ (A \ C)로 한다.

유사역

A 및/또는⁻¹ B가 존재하지 않을 때의⁻¹ 문제를 피하기 위해 나눗셈은 의사 역행의 곱셈으로도 정의할 수 있다.즉, A / B = AB⁺ 및 A \ B = AB입니다⁺. 여기서⁺ A와⁺ B는 A와 B의 의사 역수를 나타냅니다.

추상 대수

추상 대수학에서, 2항 연산 δ(명칭으로 곱셈이라고 할 수 있음)를 갖는 마그마가 주어졌을 때, b의 왼쪽 나눗셈 a(\b로 표기됨)는 일반적으로 a δ x = b의 방정식에 대한 해 x로 정의된다.마찬가지로 b를 a로 오른쪽 나누기(쓰기 b/a)는 y a a = b의 방정식에 대한 y해이다. 이러한 의미에서 나누기에서는 to가 특별한 특성(예: 교환성, 연관성 또는 동일 요소)을 가질 필요가 없다.

「취소」의 의미에서의 「분할」은, 어느 마그마에서도 소거 특성을 가지는 원소에 의해서 행해질 수 있다.예를 들어 행렬 대수와 사분위 대수가 있다.준군은 항등원소가 없어도 언제든지 분할이 가능한 구조이다.모든 요소가 역수를 가질 필요가 없는 적분 영역에서는 각각 왼쪽 또는 오른쪽의 소거에 의해 형태 ab 또는 ca의 요소에 대해 소거 소자로 분할할 수 있다.링이 유한하고 0이 아닌 원소가 모두 소거형일 경우, 비둘기 구멍 원리의 적용에 의해 링의 0이 아닌 원소는 모두 반전 가능하며, 0이 아닌 원소로 분할할 수 있다.(기술적인 의미에서) 대수가 언제 나눗셈 연산을 하는지 알아보려면 나눗셈 대수에 대한 페이지를 참조하십시오.특히, Bott 주기성은 어떤 실규격 나눗셈 대수가 실수 R, 복소수 C, 4등분 H 또는 8등분 O와 동형이어야 한다는 것을 보여주기 위해 사용될 수 있다.

미적분학.

두 함수의 몫에 대한 도함수는 몫 규칙에 의해 주어진다.

(\displaystyle\frac{f}{g}\오른쪽)}'=snap frac {f'g-fg'}{g^{2}}}.}

0으로 나누기

대부분의 수학 시스템에서 어떤 수를 0으로 나눈다는 것은 정의되지 않았습니다. 왜냐하면 0에 어떤 유한수를 곱하면 항상 ^[14]0의 곱이 되기 때문입니다.이러한 식을 대부분의 계산기에 입력하면 오류 메시지가 생성됩니다.하지만, 어떤 상위 레벨의 수학에서는 0으로 나눗셈하는 것은 제로 링과 ^[15]바퀴와 같은 대수에 의해 가능하다.이러한 대수학에서 나눗셈의 의미는 전통적인 정의와 다르다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 0에 의한 나눗셈은 일부 상황에서 실수를 확장된 실수선 또는 투영적으로 확장된 실선으로 확장하거나 0에 가까운 숫자에 의한 나눗셈의 한계로 발생하는 경우에 정의될 수 있다. $예$ 를_x→0 들어 $lim$ $sin$ x $/ x$ $=$ ^[2]^[3]1 입니다.

레퍼런스

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^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Division". MathWorld.
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외부 링크

[4] 0에 의한 나눗셈은 일부 상황에서 실수를 확장된 실수선 또는 투영적으로 확장된 실선으로 확장하거나 0에 가까운 숫자에 의한 나눗셈의 한계로 발생하는 경우에 정의될 수 있다. $예$ 를_x→0 들어 $lim$ $sin$ x $/ x$ $=$ ^[2]^[3]1 입니다.

[1] Blake, A. G. (1887). Arithmetic. Dublin, Ireland: Alexander Thom & Company.

[mwdiv-2] Weisstein, Eric W. "Division". MathWorld.

[db0-3] Weisstein, Eric W. "Division by Zero". MathWorld.

[5] Derbyshire, John (2004). Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York City: Penguin Books. ISBN 978-0-452-28525-5.

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[7] ttp://www.mathwords.com/c/commutative.htm Wayback Machine에서 2018-10-28 아카이브됨2018년 10월 23일

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[Order_of_arithmetic_operations-9] 조지 마크 버그먼:2017-03-05 웨이백 머신에 보관된 연산 순서

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v t 분수와 비율
	나눗셈과 비율	배당 div 제수 = 몫
	분율	분자/분자 = 지수
	대수적 측면 바이너리 계속 십진수 다이아딕 이집트어 금으로 만든 실버 정수 환원 불가 축소 억양만 LCD 음정 용지 크기 퍼센티지 구성 단위

v t 하이퍼 오퍼레이션
기본적인	후계자(0) 추가 (1) 곱셈 (2) 지수화(3) 테트레이션(4) 펜테이션(5)
왼쪽 인수의 역수	이전 버전(0) 감산(1) 중분류 (2) 루트 추출(3) 슈퍼루트(4)
오른쪽 인수의 역수	이전 버전(0) 감산(1) 중분류 (2) 로그(3) 슈퍼 로그 연산(4)
관련 기사	아커만 함수 콘웨이 연쇄 화살표 표기법 그르제고르치크 계층 크누스의 위 화살표 표기법 스타인하우스-모저 표기법

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서론

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