합리화(수학)

기초 대수학에서 뿌리 합리화는 대수분수의 분모에 있는 급진성을 제거하는 과정이다.

다소 급진적인 만약 분모는 monomial, k<>를 x의 nk,{\displaystyle{\sqrt[{n}]{)}}^{k},}; 말한다, rationalisation x의 nn− k,{\displaystyle{\sqrt[{n}]{)}}^{n-k},}에 의해 교체가 분자이고, 분모를 곱셈으로 이루어져 있습니다)nn{\displaystyle{\sqrt[{n}]{)}}^{n.}}$$ by x(이것은 정의에 따라 x의 n번째 루트는 x를 n번째 힘으로 갖는 숫자임)로 허용된다.If k ≥ n, one writes k = qn + r with 0 ≤ r < n (Euclidean division), and ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}^{k}=x^{q}{\sqrt[{n}]{x}}^{r};}$ then one proceeds as above by multiplying by ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}^{n-r}.$$}$

분모가 어떤 제곱근에서 선형인 경우${\displaystyle ,}$ + $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle a+b{\sqrt{x}}$라고 하면,} 합리화는$$ 분자와 분모를 $a{\displaystyle }$- ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle a-b{\sqrt{x},$ 분모에서 제품을 확장하는$$ 것으로 구성된다.

이 기법은 분자와 분모를 분모의 모든 대수적 결합체로 곱하고, 새로운 분모를 구분모의 규범으로 확대함으로써 어떤 대수적 분모로도 확장할 수 있다.그러나 특별한 경우를 제외하고, 결과 분수는 큰 분자와 분모를 가질 수 있으므로 일반적으로 위의 기초적인 경우에만 이 기법을 사용한다.

단일 제곱근과 입방근의 합리화

기본 기법을 위해서는 분자와 분모를 동일한 인수에 곱해야 한다.

예 1:

${\displaystyle {\frac {10}{\sqrt{5}}}}}$

이러한 식의 표현을 합리화하려면 요인 $5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$을(를) 가져오십시오$.$

${\displaystyle {\frac{10}{\sqrt{5}}={\frac{5}}}\cdot{\sqrt{5}}}={\frac{10{\sqrt{5}}}}}{\좌측\sqrt{5}}}^2}}:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

제곱근은 분모에서 사라지는데$,{\displaystyle {}^{}}$ 그 ${\displaystyle \mathrm{이유}}$는 (${\displaystyle 5^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$= 5 ${\displaystyle \left({\sqrt{5}\오른쪽$)^{2$}=5}$이기 $때문$이다.

${\displaystyle {\frac{\sqrt{5}}{\좌측\sqrt{5}}^{2}}={\frac {10{\sqrt{5}}{5}}},}$

그건 합리화의 결과야

예 2:

${\displaystyle {\frac {10}{\sqrt[{3}]{a}}}}}}$

이 급진적인 요소를 합리화하려면 3 ${\displaystyle {\text{exception 25:}}^{\mathrm{}}}$ ${\$:

${\displaystyle {\frac {10}{\sqrt[{3}]{a}}}={\frac {10}{\sqrt[{3}]{a}}}\cdot {\frac {{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}{{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}}={\frac {10{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}{{\sqrt[{3}]{a}}^{3}}}}$

입방근은 입방체이기 때문에 분모에서 사라진다.

${\displaystyle {{\sqrt[{3}]{a}^{2}}:{{\sqrt[{3}]{a}^{3}}}}}={\frac {10{\sqrt[{3}]{a}}}}}}}{a^{2}},},}}}$

그건 합리화의 결과야

더 많은 제곱근 처리

다음과 같은 분모의 경우:

${\displaystyle {\sqrt{2}}+{\sqrt {3}\,}$

합리화는 다음과 같은 결합을 곱하여 달성할 수 있다.

${\displaystyle {\sqrt{2}}-{\sqrt {3}\,}$

두 제곱의 차이를 적용하면 -1이 생성된다.이 결과를 얻으려면 전체 분수를 곱해야 한다.

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {{2}}-{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-{\sqrt{3}}}}=1.}$

이 기술은 훨씬 일반적으로 효과가 있다.한 번에 한 제곱근, 즉 합리화하도록 쉽게 적응할 수 있다.

${\displaystyle x+{\sqrt {y}\,}$

곱셈으로

${\displaystyle x-{\sqrt{y}}$

예:

${\displaystyle {\frac {3}{{\sqrt{3}+{\sqrt{5}}}}$

분수에 $3{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$- ${\displaystyle 5\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$을(를) 포함하는 인수를 곱해야 한다$.$

${\displaystyle {\frac {3}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}}{{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}}}={\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{{\sqrt {3}}^{2}-{\sqrt {5}}^{2}}}}$

이제 우리는 분모에 있는 제곱근을 제거할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{{\sqrt {3}}^{2}-{\sqrt {5}}^{2}}}={\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{3-5}}={\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{-2}}}$

예 2:

$이{\displaystyle }$ 프로세스는 i${\displaystyle }$=${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{1}}$ ${\$을(를) 가진 복잡한 숫자로도 작동한다.

${\displaystyle {\frac {7}{1+{\sqrt{-5}}}}}$

분수에 $1{\displaystyle \mathrm{}}$-${\displaystyle \sqrt{5}}$ ${\$을(를) 포함하는 인수를 곱해야 한다$.$

${\displaystyle {\frac {7}{1+{\sqrt {-5}}}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {-5}}}{1-{\sqrt {-5}}}}={\frac {7(1-{\sqrt {-5}})}{1^{2}-{\sqrt {-5}}^{2}}}={\frac {7(1-{\sqrt {-5}})}{1-(-5)}}={\frac {7-7{\sqrt {5}}i}{6}}}$

일반화

합리화는 모든 대수적 숫자와 대수적 함수로 확장될 수 있다(표준 형태의 적용으로).예를 들어, 큐브 루트를 합리화하려면 통일의 큐브 루트를 포함하는 두 개의 선형 인자를 사용하거나 동등하게 2차 인자를 사용해야 한다.

참조

이 자료는 고전적인 대수학 문헌으로 실려 있다.예를 들면 다음과 같다.

• 조지 크리스탈, 대수학 입문: For Use of the Secondary School and Technical Colleges는 인쇄된 (1889년 초판) 19세기 본문이다. ISBN1402159072); 제곱근을 갖는 삼원형 예는 페이지 256에 있는 반면, 서드(surds)에 대한 합리화 인자의 일반 이론은 페이지 189–199에 있다.