후르비츠의 정리(알제브라 구성)

수학에서 후르비츠의 정리는 1923년 사후에 간행된 아돌프 후르비츠(1859~1919)의 정리로서, 양성-확정 2차적 형태를 부여받은 유한차원 유니탈 실제 비 연관성 알제브라에 대한 후르비츠 문제를 풀었다.정리는 2차적 형태가 대수의 0이 아닌 부분에 있는 양의 실수에 동형성을 규정한다면, 대수는 실수, 복합수, 쿼터니온 또는 옥토니언에 이형성을 가져야 한다고 명시하고 있다.그러한 알헤브라는 때때로 허위츠 알헤브라스라고 불리기도 하는 구성 알헤브라의 예들이다.

구성 알헤브라의 이론은 이후 임의의 2차적 형태와 임의의 분야로 일반화되었다.^[1]후르비츠의 정리는 제곱합에 대한 곱셈 공식은 1, 2, 4, 8차원으로만 일어날 수 있다는 것을 암시하는데, 이는 1898년 후르비츠에 의해 원래 증명된 결과였다.라돈(1922년)에서도 해결된 후르비츠 문제의 특수한 경우다.치수 제한에 대한 후속 증거는 유한집단의 대표이론을 이용한 에크만(1943)과 클리포드 알헤브라를 이용한 리(1948)와 체발리(1954)에 의해 제시되었다.후르비츠의 정리는 구와 고전 그룹의^[2] 호모토피 그룹의 벡터장 문제와 단순한 요르단 알헤브라의 분류에 양자역학에 적용되었다.^[3]

유클리드 후르비츠 알헤브라스

정의

허위츠 대수 또는 구성 대수는 q(a b) = q(a) q(b)와 같이 비분열 이차적 형식 q를 부여한 정체성을 가진 유한 차원일 필요는 없다.만약 내부 계수 필드가 reals와 qpositive-definite 있도록(a, b)).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}thenA는 유클리드의 후르 비츠 대수학이나(유한 차원의.)표준이라고 불린다.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆬ1[q(a+b)− q(a)− q(b)]은 내적,.교육 사단 대수이다.[4]

A가 유클리드 후르비츠 대수이고 A가 A에 있는 경우, 다음과 같이 비자발적 및 좌우 곱셈 연산자를 정의한다.

${\displaystyle a^{*}=-a+2(a,1)1,\,\,L(a)b=ab,\,\,\,R(a)b=ba.}$

분명히 비자발성은 2주기가 있고 내부 제품과 규범을 보존한다.이러한 연산자는 다음과 같은 속성을 가지고 있다.

• 비자발성은 반유동성, 즉 (a b)* = b* a*
• a* = ‖ a ‖² 1 = a* a
• L(a*) = L(a)*, R(a*) = R(a)*, 따라서 대수학상의 비자발성이 연임하는 것과 일치하도록 한다.
• Re (a b) = Re x = (x + x*)/2 = (x, 1)1일 경우 Re (b a)
• Re (a b) c = Re a(b c)
• L(a²) = L(a),² R(a²) = R(a)²이므로 A는 대체 대수다.

이러한 속성은 (a b, a b) = (a, a)(b, b):

${\displaystyle \displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc)}}$

b = 1 또는 d = 1을 설정하면 L(a*) = L(a*)* 및 R(c*) = R(c)*가 생성된다.

따라서 Re(a b) = (a b, 1)1 = (a, b*)1 = (b a, 1)1 = Re(b a)

유사하게 Re (a b)c = (a b)c,1)1 = (a b, c*)1 = (b, a* c*)1 = (b,a*)1 = (a(bc),1)1 = Re a(b)c.

따라서 (ab)*,c) = (ab,c*) = (b,a*c**) = (1,b*(a*c*) = (1, (b*a**)c* = (b*a*)c*) = (b*a*,c) = (ab)**,c) = b**)

편광 아이덴티티에 의해 ‖² (c, d) = (a, d) = (a*) = (a, c), d) 따라서 L(a) L(²a) = L(‖)이다.1에 적용하면 a* a = ‖² 1. a를 a*로 교체하면 다른 정체성이 생긴다.

L(a*) L(a) = L(a* a)에서 a*에 대한 공식을 대체하면 L(a)² = L(a²)가 된다.공식 R(a²) = R(a)²은 유사하게 입증된다.

분류

실수 R, 복합수 C, 쿼터니언 H가 연관성 있는 유클리드 후르비츠 알헤브라의 표준규범과 비자발성의 예인지 확인하는 것은 일상적이다.게다가 자연포함 R ⊂ C ⊂ H도 있다.

그러한 포함을 분석하면 A.A.에 의해 공식화된 Cayley-Dickson 건설로 이어진다. 알버트A는 유클리드 허위츠 대수학이고 B는 적절한 유니탈 하위 대수학이므로 유클리드 허위츠 대수학 그 자체로 유클리드 허위츠 대수학이다.B와 직교하는 A에서 단위 벡터 j를 선택한다.(j, 1) = 0이기 때문에 j* = -j, 따라서 j = -1을² 따른다.C를 B와 j에 의해 생성되는 하위 지브라로 두자.그것은 유일하고 다시 유클리드 후르비츠 대수학이다.그것은 다음의 Cayley-Dickson 곱셈법을 만족시킨다.

${\displaystyle \displaystyle {C=B\oplus Bj,\,\,\,(a+bj)^{*}=a^{*-{*}-beat,\,\,\,(a+b)=(ac-d^{*b)+(bc^{*}+da)j.}}$

b와 bj는 b와 직교하기 때문에 직교한다.a가 B에 있으면 직교 0 = 2(j, a*) = j a - a* j가 된다.비자발성의 공식은 다음과 같다.B ⊕ B j가 곱셈 Bj = j B로 닫혔다는 것을 보여주기 위해.B j는 1, (b j)* = -b j와 직교하기 때문이다.

• b(c j) = (b, j) = (b, j) = 0이기 때문에 (b, j) = (b) x = (b(j) x) = (b(j) x) = -(c(b(j) x*) = -(c, (c)j, x*) = (c)j, x) = (x) = (c)j, x)
• (j c)b = j(b c) 위에서 조정한다.
• (b j)(c j) = (b, c j) = 0이기 때문에 -c* b는 (b, c j) = (b j)(c j), x = (c j)x*, (c j)j = (b x*, (c)j) = -(c* b, x)

+ b j 및 c + d j에 대해 C에 표준의 곱셈을 부과하는 것은 다음을 제공한다.

${\displaystyle \displaystyle {(\ a\ ^{2}+\ b\ ^{2})(\\ ^{2}+\d\\{2}=\ ac-d^{*b\}\ ^{2}+\ b^{*+da\ ^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그 결과로 이어지다

${\displaystyle \d^{*}b)=(bc^{*}da).}}$

따라서 d(a c) = (d a)c이므로 B는 연관성이 있어야 한다.

이 분석은 R을 C에, C를 H에 포함하는 것에 적용한다.위의 제품과 내부 제품으로 O = H product H를 취하면 J = (0, 1)에 의해 생성되는 비확정적 비관련 대수학(noncommunative nonociative alge)을 얻을 수 있다.이것은 8진수나 Cayley 숫자의 일반적인 정의를 회복한다.A가 유클리드 대수라면 R을 포함해야 한다.R보다 절대적으로 큰 경우 위의 주장은 C를 포함하고 있음을 나타낸다.C보다 크면 H를 포함하고, 그래도 크면 O를 포함해야 한다.그러나 O는 연상되지 않기 때문에 거기서 그 과정은 중단되어야 한다.사실 H는 교호적이지 않고 O에서 a(b j) = (b a)j ≠ (a b)j이다.^[5]

정리.유클리드 후르비츠 알제브라는 실수와 복잡한 수, 쿼터니언과 팔순이다.

기타 교정쇄

리(1948)와 체발리(1954)의 교정쇄는 클리포드 알헤브라를 사용하여 A의 치수 N이 1, 2, 4, 8이어야 함을 보여준다.실제로 (a, 1) = 0인 연산자 L(a)는 L(a)² = -190 a ‖²을 만족하여 실제 클리포드 대수학(Clifford 대수학)을 형성한다.a가 단위 벡터인 경우, L(a)는 제곱 -I와 함께 스큐-수정이다.따라서 N은 짝수 또는 1이어야 한다(이 경우 A는 1과 직교하는 단위 벡터를 포함하지 않는다).실제 클리포드 대수학과 그 복합화는 N차원 복합 공간인 A의 복합화에 관한 법률이다.N이 짝수라면 N - 1은 홀수여서 클리포드 대수에는 치수 2의^{N/2 − 1} 복잡하고 돌이킬 수 없는 표현이 정확히 두 가지 있다.그래서 이 2의 힘은 N을 나누어야 한다.이것은 N이 1, 2, 4, 8밖에 되지 않는다는 것을 암시한다는 것을 쉽게 알 수 있다.

에크만(1954) 하브텍스트 오류의 증명: 타겟 없음: CITREFECkmann1954 (도움말)는 유한집단의 대표이론 또는 초급 아벨리아 2집단의 투영적 대표이론을 사용하며, 실제 클리포드 알헤브라의 대표이론과 동등하다고 알려져 있다.실제로 직교보호 1의 직교보호 e를_i 직교보호 1로 하면 연산자 U_i = L(e_i) 만족도가 발생한다.

${\displaystyle \displaystyle {U_{i}^{2}=-I,\,\,\,\,U_{i}U_{j}=-U_{i}\,\,(i\neq j)}}$

이것은 순서 2의 N - 1 그룹의 직접 제품을 투영적으로 표현한 것이다. (N은 1보다 큰 것으로 가정한다.)시공에 의한 연산자 U는_i 스큐 대칭이며 직교한다.사실 Eckmann은 약간 다르지만 동등한 방식으로 이러한 유형의 연산자를 구성했다.사실 후르비츠(1923년)에서 원래 따랐던 방법이다.^[6]두 가지 형태에 대한 구성법이 있다고 가정한다.

${\displaystyle \displaystyle {(x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})(y_{1}^{1}^{{{N}^}}}}=z_{1}^{1}^{{1}^}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:}$

여기서 z는_i x와 y로 이선되어 있다.그러므로

${\displaystyle \displaystyle {z_{i}=\sum _{j=1}^{{n}a_{ij}(x)y_{j}}}}}}$

여기서 행렬 T(x) = (a_ij)는 x의 선형이다.위의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \t(x)T(x)^{t}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}.}}$

글쓰기

${\displaystyle \displaystyle {T(x)=T_{1}x_{1}x_{1}+\cdots +T_{N}x_{N}}}}}}}}}$

관계가 되다

${\displaystyle \displaystyle {T_{i}T_{j}^{t}+T_{j}T_{i}^{t}=2\delta _{ij}I.}}$

이제_i V = (T_N)^t T를_i 설정하십시오.따라서 V_N = I과 V₁, ..., V는_{N − 1} 꼬치꼬치, 직교로 미국과_i 정확히 동일한 관계를 만족한다.

${\displaystyle \v_{i}^{2}=-I,\,\,\,V_{i}V_{j}=-V_{j}V_{i}\,\,(i\neq j)}}$

V는_i 실제 벡터 공간에 제곱 -I가 있는 직교 행렬이므로 N은 짝수다.

G는 다음과 같은 요소 v에_i 의해 생성되는 유한한 그룹이다.

${\displaystyle \v_{i}^{2}=\vpsilon ,\,\,\,v_{i}v_{j}=\vpsilon v_{j}v_{i}\,\,(i\neq j),}}}}}}}$

여기서 ε은 순서 2의 중심이다.정류자 부분군 [G, G]은 1과 ε으로 구성되어 있다.N이 홀수인 경우 이는 중심과 일치하는 반면, 중심인 경우 중심은 추가 요소인 extra = v ... v 및 ε γ의_{1N − 1} 순서 4를 가진다. G의 g가 중심에 없으면 결합 등급은 정확히 g와 ε g이다.따라서 N 홀수에는 2^{N − 1} + 1의 결합 클래스가 있고 N 짝수에는^{N − 1} 2 + 2가 있다.G에는 G / [G, G] = 2개의^{N − 1} 1차원 복합 표현이 있다.수정 불가능한 복합 표현들의 총 수는 결합 계층의 수입니다.그래서 N은 짝수이기 때문에, 두 가지 더 수정할 수 없는 복잡한 표현이 있다.치수의 제곱의 합은 G와 같고 치수는 G를 나누기 때문에, 두 개의 무지개체는 치수 2를^{(N − 2)/2} 가져야 한다.N이 짝수일 때는 2가 있고 그 차원은 집단의 순서를 나누어야 하므로 2의 힘도 있으므로 둘 다 차원 2를^{(N − 2)/2} 가져야 한다.V의_i 행동을 복잡하게 만들 수 있는 공간.복잡한 차원 N을 가질 것이다.그것은 G의 복잡한 해석 불가능한 표현들 중 몇 가지로 나뉘는데, 모두 차원^{(N − 2)/2} 2를 가지고 있다.특히 이 치수는 ≤ N이므로 N은 8보다 작거나 같다.N = 6이면 치수는 4로, 6을 나누지 않는다.그래서 N은 1, 2, 4, 8밖에 되지 않는다.

요르단 알헤브라스 신청

A를 유클리드 후르비츠 대수학으로 하고 M_n(A)을 A에 대한 n-by-n 행렬의 대수학으로 한다.그것은 비이탈적인 대수학이고, 비이성적인 대수학이며, 비이성적인 대수학이다.

${\displaystyle \displaystyle {(x_{ij})^{*}=(x_{ji}^{*}).}}$

추적 TR(X)은 X의 대각선 원소와 TR_R(X) = Re TR(X)에 의한 실제 값 추적의 합으로 정의된다.실제 값 추적은 다음을 충족한다.

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }XY=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }YX,\qquad \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }(XY)Z=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }X(YZ).}$

이는 n = 1에 대해 알려진 정체성의 즉각적인 결과들이다.

A에서 연결자 정의 기준

${\displaystyle \displaystyle {[a,b,c]=a(bc)-(ab)c.}}$

A가 연관되어 있다면 그것은 삼선이고 동일하게 사라진다.A는 대체 대수 [a, a, a, b] = 0과 [b, a, a] = 0. 편광은 연관자가 세 항목에서 대칭성이라는 것을 따른다.또한, a, b 또는 c가 R에 놓여 있으면 [a, b, c] = 0이다.이러한 사실은 M₃(A)이 일정한 감화 특성을 가지고 있음을 암시한다.실제로₃ X가 대각선에 실제 항목이 있는 M(A)의 행렬이라면,

${\displaystyle \displaystyle {[X,X^{2}]=aI,}}$

A에 A가 있는사실 Y = [X, X²]이면

${\displaystyle \displaystyle {y_{ij}=\sum _{k,\ell }[x_{ik},x_{k\ell },x_{\ell j}]}}$

X의 대각선 입력이 실제적이기 때문에 Y의 오프 대각선 입력이 사라진다.Y의 각 대각선 입력은 X의 오프 대각선 용어만을 포함하는 두 개의 연관자를 합한 것이다.연관자는 주기적 순열에서 불변하므로 Y의 대각선 항목은 모두 동일하다.

H_n(A)를 제품 X(Y = 1/2(X Y + Y X)와 내부 제품(X, Y) = Tr_R(X Y)로 M_n(A)의 자체 적응 요소 공간으로 한다.

정리.H_n(A)는 A가 연관성(실수, 복합수 또는 쿼터니온)과 n ≥ 3인 경우 또는 A가 연관성이 없는 경우(옥토니언)와 n = 3인 경우 유클리드 요르단 대수다.

예외적인 요르단 대수 H₃(O)는 A.A.를 따서 알버트 대수라고 불린다. 알버트

H_n(A)가 유클리드 요르단 대수에 대한 공리를 만족하는지 확인하기 위해, 실제 추적은 (X, X) = σ x_ij ‖²으로 대칭 이선형 형태를 정의한다.그래서 그것은 내적인 제품이다.실측 트레이스의 특성 때문에 연관성 속성(Z∘X, Y) = (X, Z∘Y)을 만족한다.점검할 주요 공리는 L(X)Y = X =Y로 정의된 연산자 L(X)에 대한 요르단 조건이다.

${\displaystyle \displaystyle {[L(X),L(X^{2})]=0.}}$

M_n(A)은 연관 대수이기 때문에 XyY가 있는 요르단 대수 = 1/2(X Y + Y X)이기 때문에 A가 연관되어 있을 때 쉽게 확인할 수 있다.A = O, n = 3일 때 프로이트헨탈(1951년)으로 인해 가장 짧은 존재 중 하나인 특별한 주장이 필요하다.^[7]

실제로 T가 TR T = 0으로 H₃(O)에 있으면

${\displaystyle \displaystyle {D(X)=TX-XT}}$

H₃(O)의 꼬치꼬치 유도체를 정의한다.정말,

${\displaystyle \operatorname {Tr}(T(X^{2})-T(X^{2})=\operatorname {Tr}T(aI)=\operatorname {Tr}(T)=0,}$

하도록

${\displaystyle(D(X),X^{2}=0.}$

편광 산출량:

${\displaystyle(D(X),Y\circle Z)+(D(Y),Z\circle X)+(D(Z),X\circle Y)=0.}$

Z = 1을 설정하면 D가 skew-adjoint임을 알 수 있다.파생 속성 D(X)Y) = D(X) +Y + X(D(Y)는 이것과 위의 아이덴티티에서 내제품의 연관성 속성을 따른다.

정리의 성명에서와 같이 A와 n으로 K를 E = H_n(A)의 자동화된 집단이 되도록 하여 내생물을 불변하게 한다.O(E)의 폐쇄적인 부분군이라 콤팩트한 Lie 그룹이다.그것의 Lie 대수학은 꼬치꼬치 따옴표로 구성되어 있다.프로이덴탈(1951)은 E에 X가 주어지면 K에 자동형 K가 있어 k(X)는 대각 행렬이 된다.(자신 적응에 의해 대각선 입력은 실제가 될 것이다)실제 대각 행렬에 의한 요르단 제품은 비 연관 대수 A에 대해 M_n(A)으로 통근하기 때문에 프로이덴탈의 대각화 정리는 즉시 요르단 상태를 암시한다.

대각화 정리를 증명하려면 E에서 X를 취한다.콤팩트함에 의해 k(X)의 비대각 용어의 규범 제곱합을 최소화하는 K에서 k를 선택할 수 있다.K는 모든 정사각형의 합을 보존하기 때문에, 이것은 k(X)의 대각선 용어의 규범 정사각형의 합을 최대화하는 것과 같다.X를 k X로 대체하면 X에서 최대치가 달성된다고 가정할 수 있다.좌표를 허용하여 작용하는 대칭군 S는_n K에 있으므로 X가 대각선이 아니면 x와₁₂ 그 부선 x가₂₁ 0이 아니라고 가정할 수 있다.T는 다른 곳에서 (2) 항목 a, (1, 2) 항목 -a* 및 0이 있는 스큐-수정 행렬로 하고 D는 E의 파생 광고 T로 한다.k_t = k 단위의 exp tD.그런 다음 X(t) = kX의_t 처음 두 대각선 항목만 X의 항목과 다르다.대각선 입력은 진짜다.t = 0에서 x₁₁(t)의 파생상품은 [T, X]의 (1, 1) 좌표, 즉 a* x₂₁ + x a₁₂ = 2(x₂₁, a)이다.이 파생상품은 a = x일₂₁ 경우 0이 아니다. 반면에 그룹 k는_t 실제 값 추적을 보존한다.x와₁₁ x만₂₂ 바꿀 수 있기 때문에 합을 보존한다.단, x + y =constant 라인에서 x² + y는² 로컬 최대값(전지구적 최소값만)이 없으며, 모순이다.따라서 X는 대각선이어야 한다.

참고 항목

• 곱셈 이차형
• 라돈-허위츠 수
• 프로베니우스 정리

메모들

참조

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추가 읽기

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