좌표 기울기

스큐 좌표계는 직교 좌표와 대조적으로 ^[1]좌표면이 직교하지 않는 곡선 좌표계다.

스큐 좌표는 직교 좌표에 비해 동작이 더 복잡한 경향이 있는데, 이는 미터법 텐서가 0이 아닌 비대각 성분을 가지기 때문에 텐서 대수 및 텐서 미적분 공식의 많은 단순화를 방지한다. 미터법 텐서의 0이 아닌 외부 대각선 구성요소는 정의에 의해 좌표 기본 벡터의 비정형성의 직접적인 결과물이다.^[2]

${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}}$

여기서 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 메트릭 텐서 및 $e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 기본 벡터.

이러한 좌표계는 문제의 지오메트리가 비스듬한 시스템에 잘 맞는 경우에 유용할 수 있다. 예를 들어, 라플레이스의 방정식을 평행사변형으로 푸는 것이 적절한 편향 좌표에서 할 때 가장 쉬울 것이다.

한 축이 치우친 데카르트 좌표

가장 간단한 3D 스큐 좌표계 사례로는 카트리지안(Cartesian)으로,$$축 중 하나가 어떤 $각도{\displaystyle }$ say ${\displaystyle \phi }$에 의해 구부러진 경우로, 나머지 두 축 중 하나에 직교 상태를 유지한다. 이 예에서 데카르트 좌표의 x축이 y축에 직교한 상태로 남아 있는$$$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$에 의해 z축을 향해 구부러졌다.

대수 및 유용한 수량

$e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle \mathbf {e} _{1$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $3{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$ 각각$$ x $디스플레이{\displaystyle }$ $스타일$ $x$$,$$y\},$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ 축을$$ 따라 단위 벡터가 되도록 한다. 이것들은 공변량 기준을 나타낸다; 그들의 도트 제품을 계산하는 것은 미터법 텐서의 다음 구성 요소를 제공한다.

${\displaystyle g_{11}=g_{22}=g_{33}=1\filename ;\12}=g_{23}=0\filename;\13}=\cos \left\frac {}{2}}-\pi \rig(\pi )=\신(\phi )}$

${\displaystyle {\sqrt}=\mathbf {e} _{1}\cdot(\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=\cos(\phi )}$

나중에 유용할 수 있는 수량.

상이한 근거는 다음과^[2] 같다.

${\displaystyle \mathbf{e}^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\sqrt{g}}={3}}{\frac {\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}}}}{\cos(phi )}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \mathbf {e}^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}{\sqrt{g}}=\mathbf {e} _{2}}:$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}{1}\sqrt{g}}={\frac {\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}}:{\cos(phi )}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

그 모순된 근거는 사용하기 매우 편리한 것은 아니지만, 그러나 그것은 정의에 나타나기 때문에 반드시 고려되어야 한다. 우리는 공변량 기준과 관련하여 수량을 쓰는 것을 선호할 것이다.

기본 벡터는 모두 일정하기 때문에 벡터 덧셈과 뺄셈은 단순히 익숙한 구성요소별 덧셈과 뺄셈이 될 것이다. 자, 이제.

${\displaystyle \mathbf {a} =\sum _{i}a^{i}\mathbf {e} _{i}\mbox{and}}\mathbf {b} =\sum \i}b^{i}\mathbf {e} _{i}}}}}}}}} _{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 합계는 지수의 모든 값에 대한 합계를 나타낸다(이 경우 i = 1, 2, 3) 이러한 벡터의 반향성 및 공변성 구성 요소는 다음과 같을 수 있다.

${\displaystyle a^{i}=\sum _{j}a_{j}g^{ij}}}$

그러니까 분명히

${\displaystyle a^{1}={\frac {a_{1}-\sin(\phi )a_{3}{3}}{\coses ^{2}(\phi )}},}$

${\displaystyle a^{2}=a_{2},}$

${\displaystyle a^{3}={\frac {-\sin(\phi )a_{1}+a_{3}}}{{\cos ^{2}(\phi )}}.}$

그 때 반비례성 부품에 대한 도트 제품은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b^{1}+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}+\sin(\phi )(a^{1}b^{3}+a^{3}b^{1})}$

공변량 성분 측면에서

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\cos ^{2}b_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_\sin(a_{1}b_{3}b_{3}+a_{3}b_{1}b_{1}b_{1}{1}{1}{1}{1}b_{1}b_{1}{1}.{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}.{1}}}}}}}}$

미적분학.

정의에 ^[3]따르면 스칼라 함수 f의 그라데이션은

${\displaystyle \nabla f=\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {e} ^{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {e} ^{2}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} ^{3}}$

여기서 ${\$는 좌표 x, y, z 인덱싱된 것이다$$. 이것을 반비례적 기초의 관점에서 쓰여진 벡터로 인식하면, 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle \nabla f={\frac {{\frac {\partial f}{\partial x}}-\sin(\phi ){\frac {\partial f}{\partial z}}}{\cos(\phi )^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {-\sin(\phi ){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}}{\cos(\phi )^{2}}}\mathbf {e} _{3}.}$

벡터 $a{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 차이는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {a} ={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}a^{i}\right)={\frac {\partial a^{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial a^{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial a^{3}}{\partial z}}.}$

및 $Tensor{\displaystyle \mathbf{}}$ A의$${\$displaystyle \mathbf {A}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}a^{ij}\mathbf {e} _{j}\right)=\sum _{i,j}\mathbf {e} _{j}{\frac {\partial a^{ij}}{\partial q^{i}}}.}$

f의 라플라시아인은

${\displaystyle \nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f={\frac {1}{\cos(\phi )^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-2\sin(\phi ){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

그리고 공변량 기준이 정상이고 일정하기 때문에, 벡터 라플라시안은 공변량 기준으로 작성된 벡터의 성분별 라플라시안과 동일하다.

도트 제품과 그라데이션 모두 (카테시안 시스템에 비해) 여분의 용어가 있다는 점에서 다소 지저분하지만, 도트 제품과 그라데이션이 결합된 연결 운영자는 매우 간단하다.

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )=\left(\sum _{i}a^{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\mathbf {e} ^{i}\right)=\left(\sum _{i}a^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\right)}$

이는 공변량 기준으로 표현될 때 성분별로 스칼라 함수와 벡터 함수에 모두 적용될 수 있다.

마지막으로 벡터의 컬은

${\displaystyle \mathbf \mathbf {a} =\sum _{i,j,k}\mathbf {e} _{k}\epsilon ^{ijk}{\fract a_}{j}{j}}{\frcompet q^{i}}}}=}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\cos(\phi )}}\left(\left(\sin(\phi ){\frac {\partial a^{1}}{\partial y}}+{\frac {\partial a^{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial a^{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\frac {\partial a^{1}}{\partial z}}+\sin(\phi )\left({\frac {\partial a^{3}}{\partial z}}-{\frac {\partial a^{1}}{\partial x}}\right)-{\frac {\partial a^{3}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial a^{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial a^{1}}{\partial y}}-\sin(\phi ){\frac {\partial a^{3}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}\right).}$

참조