프라우데 수

연속체 역학에서 프라우드 수(Fr)는 외부장(중력만으로 인한 많은 응용에서 후자)에 대한 흐름 관성의 비율로 정의되는 치수 없는 수이다. William Froude(/fruhd/)^[1]의 이름을 따서 명명된 Froude 번호는 그가 다음과 같이 정의한 속도-길이 비율에 기초한다.^[2][3]

${\displaystyle \mathrm {Fr} = {\frac {u}{\sqrt{gL}}}}}}$

여기서 u는 국소 유속, g는 국소 외부장, L은 특성 길이. 프라우드 번호는 마하 번호와 어느 정도 유사하다. 이론 유체 역학에서는 일반적으로 방정식이 무시할 수 있는 외부 장에 대한 높은 Froude 한계로 간주되어 수학적인 측면을 보존하는 균일한 방정식으로 이어지기 때문에 Froude 숫자는 자주 고려되지 않는다. 예를 들어, 동질 오일러 방정식은 보존 방정식이다.

그러나, 해군 건축에서 Froude 번호는 부분적으로 물에 잠긴 물체가 물을 통해 이동하는 저항을 결정하는 데 사용되는 중요한 숫자다.

오리진스

개방형 채널 흐름에서 벨랑거 1828은 먼저 흐름 깊이를 곱한 중력 가속도의 제곱근에 대한 흐름 속도의 비율을 소개했다. 비율이 통일보다 낮을 때 흐름은 충적 운동(즉, 임계 이하의 흐름)처럼 행동했고, 비율이 통일보다 클 때 집중적인 흐름 운동처럼 행동했다.^[4]

부유 물체의 저항을 계량화하는 것은 윌리엄 프루드가 일련의 저울 모델을 사용하여 각 모델이 주어진 속도로 견인했을 때 제공하는 저항을 측정했기 때문이다. 해군 건설업자 프레데릭 리치는 1852년 선박과 프로펠러를 시험하기 위해 이 개념을 훨씬 더 일찍 제안했지만 프라우드는 그것을 알지 못했다.^[5] 속도-길이 비율은 원래 Froude가 1868년 그의 비교 법칙에서 다음과 같이 치수 측면에서 정의했다.

${\displaystyle {\text{speed-length ratio}={\frac {u}{\sqrt {\text}LWL}}}$

여기서:

u = 유속

LWL = 수선 길이

이 용어는 비차원적인 용어로 전환되었고 그가 한 일을 인정받아 프루드의 이름을 얻게 되었다. 프랑스에서는 프레데릭 레흐의 이름을 따서 Reech-Froude number라고 부르기도 한다.^[6]

정의 및 주 적용

프라우드 번호가 일반 연속체 역학과 어떻게 연결되어 있고 수역역학뿐만 아니라 어떻게 연결되어 있는지 보여주기 위해 우리는 무차원(일차원) 형태의 카우치 운동량 방정식에서 출발한다.

코치 운동량 방정식

방정식을 치수가 없게 하려면 특성 길이 r과₀ 특성 속도 u를₀ 정의해야 한다. 이러한 변수들은 치수 없는 변수가 모두 순서 1이 되도록 선택해야 한다. 따라서 다음과 같은 차원이 없는 변수를 구한다.

${\displaystyle \rho ^{*}\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad u^{*}\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\quad r^{*}\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\quad t^{*}\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\quad \nabla ^{*}\equiv r_{0}\nabla ,\quad \mathbf {g} ^{*}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g_{0}}},\quad {\boldsymbol {\sigma }}^{*}\equiv {\frac {\boldsymbol {\sigma }}{p_{0}}},}$

오일러 운동 방정식에서 이러한 역관계의 대체 및 Froude 숫자의 정의:

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}}{\sqrt {g_{0}r_{0}}},}$

오일러 번호:

${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}{0}}{0}^{2}}:}$

방정식이 최종적으로 표현된다(물질적 파생상품과 함께, 그리고 이제 지수를 생략함).

높은 Froude 한계 Fr → ∞ (거의할 수 있는 외부장치에 대응)에 있는 Cauchy형 방정식은 자유 방정식으로 명명된다. 한편, 오일러 하한계 Eu → 0 (거의 무시할 수 있는 스트레스에 대응) 일반 Cauchy 모멘텀 방정식은 비균형 버거 방정식이 된다(여기서 우리는 재료 파생물을 명시한다).

스톡스 방정식이 순수한 확산방정식인 만큼 이것은 비균형 순수접착식이다.

오일러 모멘텀 방정식

오일러 운동량 방정식은 Pascal 법칙이 응력 구성 관계가 되는 Cauchy 운동량 방정식이다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma}}=p\mathbf {I}}$

비차원적인 라그랑고 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u}}{Dt}+\mathrm {Eu}{\frac {\nabla p}{\rho}}}={\frac {1}{\mathrm {Fr}{2}}:{\hat{g}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

자유 오일러 방정식은 보수적이다. 높은 프라우드 수(외부영역)의 한계는 이와 같이 현저하며 섭동 이론으로 연구할 수 있다.

압축할 수 없는 나비에르–운동량 방정식 강조

압축할 수 없는 나비에르–스토크 운동량 방정식은 Pascal 법칙과 Stokes의 법칙이 스트레스 구성 관계인 Cauchy 운동량 방정식이다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma}}=p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u})^{\mathsf {T}\right)}}$

비차원 대류 형태로는 다음과 같다.^[7]

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}u+{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$

여기서 레이놀즈 번호는 레이놀즈 번호야 프리 나비에–스토크 방정식은 소멸(비보수적)이다.

기타 응용 프로그램

선박유체역학

해양 유체역학 애플리케이션에서 Froude 번호는 일반적으로 표기 Fn으로 참조되며 다음과 같이 정의된다.^[8]

${\displaystyle \mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {gL}},}$

여기서 u는 바다와 배 사이의 상대적 흐름 속도, g는 특히 중력에 의한 가속도, L은 수선 레벨에서의 배의 길이, 또는 일부 표기에서는 L이다_wl. 특히 파동이 저항을 한다는 측면에서 배의 항력, 즉 저항에 관한 중요한 변수다.

수선 길이가 너무 속도 의존적이어서 의미가 없는 평면 공예의 경우, Froude 번호는 변위 Froude 번호로 가장 잘 정의되며 기준 길이는 선체 체적 변위의 입방근으로 간주된다.

${\displaystyle \mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g{\sqrt[{3}]{V}}}.}$

얕은 물파

쓰나미와 유압 점프와 같은 얕은 수파의 경우, 특성 속도 U는 흐름 방향에 수직인 횡단면에 걸쳐 평균적인 평균 유속이다. 파속 c는 중력 가속 g의 제곱근과 동일하며, 단면 영역 A를 자유 표면 폭 B로 나눈 값이다.

${\displaystyle c={\sqrt {g{\frac {A}{B}}},}$

그래서 얕은 물에 있는 프라우드 수는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g{\dfrac {A}{B}}}}}}.}$

깊이가 균일한 직사각형 단면의 경우 Froude 번호는 다음과 같이 단순화할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt{gd}}.}$

Fr < 1의 경우, 흐름은 하위 임계 흐름이라고 불리고, Fr > 1의 경우 초임계 흐름으로 특징지어진다. Fr ≈ 1에서는 흐름이 임계 흐름으로 표시된다.

풍력 공학

현수교와 같이 동적으로 민감한 구조물에 대한 풍향을 고려할 때, 구조물의 진동 질량의 결합 효과를 바람의 변동력으로 시뮬레이션할 필요가 있다. 이런 경우 프라우드 번호는 존중되어야 한다. 마찬가지로, 뜨거운 연기 플럼을 자연풍과 결합하여 시뮬레이션할 때 부력력과 바람의 운동량 사이의 정확한 균형을 유지하기 위해서는 프라우드 수 스케일링이 필요하다.

확장 프라우드 번호

눈사태와 잔해 흐름과 같은 지구물리학적 질량 흐름은 완만하고 평평한 런아웃 구역으로 합쳐지는 경사면에서 발생한다.^[9]

따라서 이러한 흐름은 중력 전위 에너지와 함께 중력 전위 에너지를 유도하는 지형 경사면의 상승과 관련이 있다. 따라서 고전적인 프라우드 번호에는 이러한 추가 효과가 포함되어야 한다. 그런 상황이라면 프라우드 번호를 다시 정의할 필요가 있다. 연장된 Froude 숫자는 운동 에너지와 전위 에너지 사이의 비율로 정의된다.

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\\\sqrt {\beta h+s_{g}\왼쪽(x_{d}-x\오른쪽)}}}}},$

어디 너는 평균 유속, β = gK 못 말리겠고 ζ,(K가 토압 계수, ζ은 경사), sg)g죄 ζ,)은 채널 downslope 위치와 xd{\displaystyle x_{d}}그 채널을 따라 대규모 석방의 흐름을 수평 기준 기준점을 스치는 지점까지 거리;Eppot)βh과 Egpot.)sg(xd −x)는 각각 압력 전위와 중력 전위 에너지다. 얕은 물 또는 미세한 흐름 Froude 숫자의 고전적 정의에서 표면 고도 E와^g
_pot 관련된 잠재적 에너지는 고려되지 않는다. 연장된 Froude 번호는 높은 표면 고도에 대한 기존의 Froude 번호와 상당히 다르다. βh라는 용어는 경사를 따라 이동하는 질량의 기하학적 변화에서 나타난다. 치수 분석 결과, 얕은 흐름의 경우 βh 1 1인 반면, u와_g s(x_d - x)는 모두 순서 통일성이라는 것을 알 수 있다. 만약 질량이 사실상 침대와 평행한 자유 표면으로 얕은 경우, βh를 무시할 수 있다. 이런 상황에서 중력전위를 고려하지 않으면 운동에너지가 경계가 되어도 Fr은 한이 없다. 그래서 공식적으로 중력 전위 에너지로 인한 추가적인 기여를 고려한다면 Fr의 특이점은 제거된다.

휘저은 탱크

교반된 탱크의 연구에서, Froude 번호는 표면 풍차의 형성을 지배한다. 임펠러 팁 속도는 Ωr(원형 운동)이고 여기서 Ω은 임펠러 주파수(일반적으로 rpm)이고 r은 임펠러 반경(공학에서 직경이 훨씬 더 자주 사용됨)이므로 Froude 번호는 다음과 같은 형식을 취한다.

${\displaystyle \mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}.}$

Froude 번호는 파우더 믹서에서도 유사한 용도를 발견한다. 그것은 실제로 믹서기가 어느 혼합 시스템이 작동하고 있는지를 결정하는 데 사용될 것이다. Fr<1이면 입자가 그냥 휘저어지지만 Fr>1이면 분말에 가해지는 원심력이 중력을 이기고 입자층이 유동화되면서 적어도 블렌더 일부에서는 혼합을 촉진한다^[10].

밀도계 프라우드 수

Boussinesq 근사치의 맥락에서 사용될 때 밀도계 Froude 번호는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt{g'h}}}}$

여기서 g′은 감소된 중력이다.

${\displaystyle g'=g{\frac {\rho_{1}-\rho_{2}}:{\rho_{1}}}$

밀도계 Froude 번호는 일반적으로 층화된 전단 층을 고려할 때 더 흔하게 발생하는 리처드슨 번호보다 속도 선호도를 비차원화하고자 하는 모델 제작자가 선호한다. 예를 들어, 중력 전류의 선행 가장자리는 통합에 대한 프라우드 번호로 이동한다.

워킹 프라우드 번호

Froude 번호는 동물 걸음걸이 패턴의 경향을 연구하는데 사용될 수 있다. 다리의 운동 역학 분석에서 보행 사지는 흔히 역진자로 모형화되는데, 질량의 중심이 발을 중심으로 한 원형 호를 통과한다.^[11] Froude 수는 운동 중심 주위의 구심력, 발, 그리고 동물 보행의 무게의 비율이다.

${\displaystyle \mathrm{Fr} ={\frac {\text{centripetal force}{\text{gravital force}}}}}={\frac {mv^{{l}}}}}={\frac {v^{v^{1}:{gl}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 m은 질량, l는 특성 길이, g는 중력에 의한 가속도, v는 속도다. 특성 길이 i는 당면한 연구에 적합하도록 선택할 수 있다. 예를 들어, 어떤 연구들은 엉덩이 관절의 지면에서 수직 거리를 사용한 반면,^[12] 다른 연구들은 총 다리 길이를 사용했다.^[11][13]

Froude 번호는 또한 다음과 같이 f stride 주파수로부터 계산할 수 있다.^[12]

${\displaystyle \mathrm{Fr} ={\frac {v^{2}}:{g}={\frac {(lf)^{2}}:{g}}}.}$

총 다리 길이를 특성 길이로 사용할 경우, 더 높은 값이 도약하고 발이 지면을 놓치기 때문에 이론상 최대 보행속도는 1.0이다. 두 발로 걷는 보행에서 달리기까지의 일반적인 이동 속도는 Fr 0 0.5에서 일어난다.^[14] R. M. 알렉산더는 다른 크기와 질량을 가진 동물들이 다른 속도로 이동하지만 동일한 Froude 번호를 가진 동물들 역시 지속적으로 유사한 기트를 보인다는 것을 발견했다. 이 연구는 동물들이 전형적으로 1.0의 Froude 숫자를 중심으로 암블에서 대칭적인 달리기 걸음걸이(예: 트로트 또는 페이스)로 바뀐다는 것을 발견했다. 2.0과 3.0 사이의 Froude 번호에서 비대칭 게트(예: 캔터, 횡단 갤럽, 회전 갤럽, 바운드 또는 펑크)에 대한 선호도가 관찰되었다.^[12]

사용법

Froude 번호는 다양한 크기와 모양의 신체 사이에 저항을 만드는 파동을 비교하는 데 사용된다.

자유 표면 흐름에서 흐름의 특성(초임계 또는 미임계)은 Froude 수가 단일성보다 크거나 작은지 여부에 따라 달라진다.

주방이나 욕실 싱크대에서는 '중요한' 흐름의 선을 쉽게 볼 수 있다. 플러그를 뽑은 채로 수도꼭지를 틀어 놓는다. 물줄기가 싱크대에 부딪히는 곳 근처는 흐름이 초임계다. 그것은 표면을 '허그'하고 빠르게 움직인다. 흐름 패턴의 바깥쪽 가장자리에서는 흐름이 중요하지 않다. 이 흐름은 더 두껍고 더 느리게 움직인다. 두 지역 사이의 경계는 "유압 점프"라고 불린다. 점프는 흐름이 단지 중요하고 Froude 숫자가 1.0과 동일한 곳에서 시작한다.

Froude 번호는 동물들이 왜 다른 걸음걸이의 패턴을 사용하는지를 더 잘 이해하기 위해 동물 이동의 경향을 연구하기 위해 사용되어 왔고 멸종된 종의 개미에 대한 가설을 형성하기 위해 사용되었다.^[13]

참고 항목

• 유속 – 연속체의 움직임을 수학적으로 설명하는 데 사용되는 벡터장
• 체력
• 코치 운동량 방정식 – 방정식
• 버거 방정식
• 오일러 방정식(유체 역학)

메모들

참조

외부 링크

• https://web.archive.org/web/20070927085042/http:///www.qub.ac.uk/waves/fastferry/reference/MCA457.pdf