숫자의 그라쇼프

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오. (2014년 8월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 학습)

Grashof 수(Gr)는 유체 역학 및 열전달에서 치수가 없는 수로서, 유체에 작용하는 점성력에 대한 부력의 비율에 근사하다. 자연 대류를 수반하는 상황 연구에 자주 발생하며 레이놀즈 숫자와 유사하다.^[1] 그것은 프란츠 그라쇼프의 이름을 따서 지어졌다고 믿어진다. 비록 이 그룹의 용어들은 이미 사용되고 있었지만, 프란츠 그라쇼프가 죽은 지 28년이 지난 1921년경에야 이름이 지어졌다. 그 그룹이 왜 그의 이름을 따서 지어졌는지는 명확하지 않다.^[2]

정의

열전달

자유 대류는 온도 변화나 경사로 인한 유체의 밀도 변화에 의해 발생한다. 보통 온도 상승으로 밀도가 낮아져 유체가 상승한다. 이 동작은 부력력에 의해 일어난다. 그 움직임에 저항하는 주요 힘은 점성력이다. 그라쇼프 수는 대립하는 세력을 계량화하는 방법이다.^[3]

그래쇼프 번호는 다음과 같다.

$displaystyle \mathrm {Gr} _{L}={\frac {g\beta(T_{s}-T_{\inflt })}$$L^{3}}}{\nu$^{$2}}}\,$ 수직 평판용$$

${\displaystyle {\mathrm{G}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{r}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle g\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\beta (T_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\infty \mathrm{}}_{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ 3 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ $displaystyle \mathrm {Gr} _{D}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\inflt }}}D^{3}}}{\nu$^{$2}}\}\}\}}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\mathrm{G}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{r}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle g\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\beta (T_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\infty \mathrm{}}_{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{3\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ $displaystyle \mathrm {Gr} _{D}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\inflt }}}D^{3}}{\nu$^$2}}\}\}\}\}}}}}}}}}}}}}}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서:

g는 지구의 중력에 의한 가속이다.

β는 열팽창 계수(이상 기체의 경우 약 1/T와 동일)이다.

T는_s 표면 온도다.

T는_∞ 벌크 온도다.

L은 수직 길이다.

D는 지름이다.

ν은 동역학적 점성이다.

L과 D 첨자는 그래프 숫자의 길이 척도 기준을 나타낸다.

난류 흐름으로의 전환은 수직 평판으로부터의 자연 대류의 경우 10⁸ < Gr_L > 10⁹ 범위에서 발생한다. 더 높은 그래쇼프 수에서는 경계층이 난류하고, 더 낮은 그래쇼프 수에서는 경계층이 10³ < Gr_L > 10⁶ 범위에 있는 층층이다.

매스 트랜스퍼

자연대류질량전달 문제의 경우 사용되는 그래쇼프 숫자의 유사한 형태가 있다. 질량 전달의 경우 온도 구배보다는 농도 구배에 의해 자연대류가 발생한다.^[1]

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{c}={\frac {g\beta ^{*}(C_{a,s}-C_{a,a})L^{3}}{\nu ^{2}}:$

여기서:

${\displaystyle \beta ^{*}=-{\frac {1}{\rho}}}}\왼쪽({\frac {\partial \rho }{\partial C_{a}\right)_{T,p}}$

및:

g는 지구의 중력에 의한 가속이다.

C는_a,s 표면에서 종의 농도다.

C는_a,a 주변 매체에서 종의 농도 a이다.

L은 특징적인 길이다.

ν은 동역학적 점성이다.

ρ은 유체 밀도

C는_a 종의 농도 a이다.

T는 온도(정수)이다.

p는 압력(압력)이다.

차원이 없는 다른 숫자에 대한 관계

Rayleigh 번호는 아래와 같이 열전달 시 대류 문제를 특징짓는 치수 없는 수이다. Rayleigh 번호에는 임계값이 존재하며, 그 위에 유체 움직임이 발생한다.^[3]

${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}=\mathrm {Gr} _{x}\mathrm {Pr} }$

레이놀즈 숫자의 제곱에 대한 그라쇼프 숫자의 비율은 어떤 시스템에 대해 강제 대류나 자유 대류를 무시할 수 있는지 또는 둘의 조합이 있는지 판단하기 위해 사용될 수 있다. 이 특성비율을 리처드슨 수(Ri)라고 한다. 비율이 1보다 훨씬 작을 경우 자유 대류는 무시될 수 있다. 비율이 1보다 훨씬 크면 강제 대류를 무시할 수 있다. 그렇지 않으면 정권은 강제 대류와 자유 대류를 결합한다.^[1]

${\displaystyle \mathrm{Ri}}$= ${\displaystyle G\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr}{\mathrm {Re}{2}}}\g$ 1$}$ 강제대류는$$ 무시할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{Ri}}$= ${\displaystyle G\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr}{\mathrm {Re}{2}}}\약 1}$ 강제 대류 및 자유 대류 결합$$

${\displaystyle \mathrm{Ri}}$= ${\displaystyle G\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr}{\mathrm {Re}{2}}}\ll$ 1$}$자유$$ 대류를 무시할 수 있음

파생

그래쇼프 숫자를 도출하는 첫 번째 단계는 볼륨 확장 계수 $\beta {\displaystyle }$ ${\$를) 다음과 같이$$ 조작하는 것이다.

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{v}\왼쪽({\frac {\partial v}{\partial T}\right)_{p}={\p}={\frac {-1}{\partial \rho }}{\partial T}}}}}{p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{p.$

특정 볼륨을 나타내는 위의 방정식의 v$$ ${\displaystyle v}$은(는) 속도를 나타내는 이 파생의 후속 $섹션$의 v ${\displaystyle v}$과(와) 같지 않다. 유체 밀도와 관련하여 볼륨 확장 계수 $\beta {\displaystyle }$ ${\$$beta }}$$\}$에 대한 이 부분적인 $관계$는 일정한 압력이$$주어지면 다음과 같이 다시$$쓸 수 $있다$.

${\displaystyle \rho =\rho _{0}(1-\beta \Delta T)}$

여기서:

${\displaystyle {\rho }_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 벌크유체 밀도

${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho}$은(는) 경계 계층 밀도임

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle T}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle T}$- T ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \Delta T=(T-T_{0}}),$ 경계층과 벌크 유체의 온도 차이$.$

이때부터 그라쇼프 숫자를 찾는 방법은 두 가지다. 하나는 에너지 방정식을 포함하고 다른 하나는 경계층과 벌크 유체의 밀도 차이로 인한 부력력을 통합한다.

에너지 방정식

에너지 방정식과 관련된 이 논의는 회전 대칭 흐름과 관련된 것이다. 이 분석은 중력 가속도가 흐름과 열전달에 미치는 영향을 고려할 것이다. 다음 수식들은 2차원 평면 흐름뿐만 아니라 회전 대칭 흐름에도 적용된다.

${\displaystyle {\frac {\frac {\reason}{0}^{n}}}+{\frac {\frac {\reason y}}}(\rho vr_{0}^{n}=0}=0}}}}$

여기서:

${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$은(는) 회전 방향, 즉 표면에 평행한 방향이다.

${\displaystyle u}$ $[\displaystyle u}$은 접선 속도, 즉 표면에 평행한 속도

${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$은 평면 방향, 즉 표면에 대해 정규적인 방향이다.

${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$은(는) 정상 속도, 즉 지표면에 대한 정상 속도

${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$는 반지름이다.

이 방정식에서 위첨자 n은 평면 흐름에서 회전 대칭 흐름을 구별하는 것이다. 이 방정식의 다음 특성은 참이다.

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ $$= 1: 회전 대칭 흐름

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ $$= 0: 평면, 2차원 흐름

${\displaystyle g}$ ${\$디스플레이 스타일 g}은$($는$)$중력$$ 가속도임

이 방정식은 물리적 유체 특성을 추가하면 다음과 같이 확장된다.

${\displaystyle \rho \left \rho \left \{\frac \}{\frac }{\frac u}{\property y}}\{\frac \ds}\rho g}={\p.$

여기서부터 대량 유체 속도를 0(u = 0)으로 설정하여 모멘텀 방정식을 더욱 단순화할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {dp}{ds}=\rho _{0}g}$

이 관계는 압력 구배가 단순히 대량 유체 밀도와 중력 가속도의 산물이라는 것을 보여준다. 다음 단계는 압력 구배를 모멘텀 방정식에 연결하는 것이다.

${\displaystyle \rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial y}{\partial y}}\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\rho gbeta(T-T_})}$

Further simplification of the momentum equation comes by substituting the volume expansion coefficient, density relationship ${\displaystyle \rho _{0}-\rho =\beta \rho (T-T_{0})}$, found above, and kinematic viscosity relationship, ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$, into the momen종양 방정식

${\displaystyle u\lift({\frac {\partial s}{\partial y}}\오른쪽)+v\lift({\partial v}{\partial y}{2}u}{\partial y^{2}}}\오른쪽)+gbeta(T-T_0})$

이 지점에서 그라쇼프 숫자를 찾으려면 앞의 방정식이 비차원적이어야 한다. 즉, 방정식의 모든 변수는 치수가 없어야 하며 대신 문제의 기하학적 구조와 설정에 대한 비율 특성이 되어야 한다. 이것은 각 변수를 해당 상수량으로 나눈다. Lengths are divided by a characteristic length, ${\displaystyle L_{c}}$. Velocities are divided by appropriate reference velocities, ${\displaystyle V}$, which, considering the Reynolds number, gives ${\displaystyle V={\frac {\mathrm {Re} _{L}\nu }{L_{c}}}}$. Temperatures are divided by t적절한 온도 차이,${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (T_{$s}-$T_{0$ 이러한 차원이 없는 매개변수는 다음과 같다.

${\$$L_{c$

${\$$L_{c$

${\displaystyle u^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$= ${\displaystyle u\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{V}{}}$ ${\$

${\displaystyle v^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$= ${\displaystyle \frac{V}{}}$ ${\$

${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$=${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{T}{}}$- T ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$) (${\displaystyle \frac{{}_{}{s}_{}}{}}$ - ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$) ${\$ T$^{*}={\frac {(T-T_{0})}{{(T_}-T_{0$

별표는 무차원 매개변수를 나타낸다. 이러한 무차원 방정식과 모멘텀 방정식을 결합하면 다음과 같은 단순화된 방정식이 나온다.

${\displaystyle u^{*}{\frac {\partial s^{*}}+v^{*}{\frac {\partial y^{*}}}}}}}{\partial y^{*}}}}}}=\prec[{s}-T_}}{0}}}}}]L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}\right]{\frac {T^{*}}{\mathrm {Re} _{L}^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}}$

여기서:

${\displaystyle T_{}}$ s ${\$는 표면 온도임

${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 벌크 유체 온도임

${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$가 특징적인 길이다$$.

앞의 방정식의 괄호 안에 둘러싸인 치수가 없는 매개변수를 그래쇼프 숫자라고 한다.

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {g\beta(T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}.}$

버킹엄 π 정리

그래쇼프 숫자를 산출할 또 다른 형태의 치수 분석은 버킹엄 theorem 정리라고 알려져 있다. 이 방법은 경계층과 벌크 유체의 밀도 차이로 인한$$ 단위 부피당 부력력 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 고려한다.

${\displaystyle F_{b}=(\rho -\rho _{0}g})$

이 방정식은 주도록 조작될 수 있지만

${\displaystyle F_{b}=\beta g\rho _{0}\Delta T.}$

버킹엄 π 방법에 사용되는 변수 목록은 기호 및 치수와 함께 아래에 열거되어 있다.

변수	기호	치수
상당한 길이	$L}$	${\displaystyle \mathrm {L} }$
유체 점도	$\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {M}{Lt}}}$
유체 열 용량	${\displaystyle c_{p}}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{MT}}$
유체 열전도율	$(\displaystyle k}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{LtT}}}}$
부피확장계수	$\displaystyle \reason }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {1}{T}} }$
중력 가속도	$(\displaystyle g}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {L}{t^{2}}}}$
온도차	$\displaystyle \Delta T}$	${\displaystyle \mathrm {T} }$
열전달계수	$(\displaystyle h}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{L^{2}T}}}}}$

버킹엄 π 정리와 관련하여 9 – 5 = 4 치수가 없는 그룹이 있다. 기준 변수로 L$$, $\mu {\displaystyle }$, ${\displaystyle \mu ,}$k, g 및 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$을(를) 선택하십시오. 따라서 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$ 그룹은$$ 다음과 같다.

${\displaystyle {\pi }_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle a^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle c^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ d ${\displaystyle g^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$

${\displaystyle {\pi }_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle {\mu g}^{}}$ g ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle h^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \pi _{2}=L^{f}\mu ^{g^{h}\beta ^{i}g^{j}\rho },$},

${\displaystyle {\pi 3\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle L^{}}$ k ${\displaystyle {\mu l}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ n ${\displaystyle g^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\Delta T}}$ ${\displaystyle \pi _{3}=L^{k}\mu$^{$l}k^{m}\beta ^{n}g^{o}\Delta T}$,

${\displaystyle {\pi }_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle Q^{}}$ ${\displaystyle {\mu r}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle s^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ u ${\displaystyle \pi _{4}=L^{q}\mu ^{r}k^{s}\beta ^{t}g^{u}h$

$이러한{\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$ 그룹을$$ 해결하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

${\$$}}{k}=\mathrm {Pr$

${\displaystyle {\pi 2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle l\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ g ${\displaystyle \frac{{\mu 2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mu 2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$

${\displaystyle {\pi }_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \pi _{3}=\beta \Delta T}$,

${\displaystyle \pi _{4}={\frac {hL}{k}}=\mathrm {Nu}}}$

$\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \pi _{3}}$ 두 그룹에서 제품은$$ Grashof 번호를 형성한다.

${\displaystyle \pi _{2}\pi _{3}={\frac {\beta g\rho ^{2}\Delta TL^{3}{\mu ^{2}}}=\mathrm{Gr}}.}$

$\nu {\displaystyle }$= ${\displaystyle \mu \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mu }{}}$ ρ${\$ 및 ${\displaystyle \mathrm{\Delta T}}$= ${\displaystyle (T_{}}$- ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \Delta$ T$=(T_-T_{0})}$를 취하면 에너지$$ 방정식에서 그래쇼프 번호를 도출한 것과 동일한 결과로 전 방정식을 렌더링할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{Gr} ={\frac {\beta g\Delta TL^{3}{\nu ^{2}}:$

강제 대류에서 레이놀즈 수가 유체 흐름을 제어한다. 그러나 자연 대류에서 그래쇼프 수는 유체 흐름을 지배하는 무차원 파라미터다. 에너지 방정식과 부력력을 치수 해석과 결합하여 사용하면 그리쇼프 숫자를 도출할 수 있는 두 가지 다른 방법을 제공한다.

물리 추론

또한 다음과 같은 숫자의 물리적 정의에 의해 그래쇼프 숫자를 도출할 수도 있다.

그러나 위의 표현, 특히 오른쪽의 마지막 부분은 문학에 등장하는 그라쇼프 수와는 약간 다르다. 동적 점도의 관점에서 치수가 정확한 척도를 따라 최종 형태를 갖도록 사용할 수 있다.

Gr로 저울 위에 글을 쓰면 다음과 같다.

물리적인 추리는 숫자의 의미를 파악하는 데 도움이 된다. 반면에, 다음의 속도 정의는 특정 속도를 차원이 아닌 속도로 만들기 위한 특성 속도 값으로 사용될 수 있다.

다양한 유체의 흐름에 대한 그래시프의 영향

최근 여러 표면에서 대류에 의해 구동되는 다른 유체의 흐름에 대한 그라쇼프 수의 영향에 대한 연구로 수행되었다.^[4] 데이터 지점을 통과하는 선형 회귀선의 기울기를 사용하여, 숫자의 값 증가 또는 부력 관련 매개변수는 벽 온도의 증가를 의미하며, 이는 유체 사이의 결합을 약하게 하고, 내부 마찰의 강도를 감소시키며, 중력을 강하게 한다는 결론을 내린다.h (즉, 벽에 인접한 즉각적인 유체 층들 사이에서 특정 중량을 눈에 띄게 다르게 만든다.) 부력 매개변수의 영향은 수직으로 움직이는 실린더에 형성된 경계층 내의 층류 흐름에서 매우 중요하다. 이는 규정된 표면 온도(PST)와 규정된 벽면 열량(WHF)을 고려할 때만 달성할 수 있다. 부력 매개변수가 국부 누셀트 수치에 무시할 수 있는 긍정적인 영향을 미친다는 결론을 내릴 수 있다. 이는 Prandtl 수치의 크기가 작거나 규정된 벽 열량(WHF)을 고려할 때만 적용된다. 셔우드 번호, 베잔 번호, 엔트로피 세대, 스탠튼 번호, 압력 구배는 부력 관련 매개변수의 특성을 높이는 반면 농도 프로파일, 마찰력, 운동성 미생물은 특성을 감소시키고 있다.

참조

추가 읽기

• Cengel, Yunus A. (2003). Heat and Mass Transfer: A Practical Approach (3rd ed.). Boston: McGraw Hill.
• Eckert, Ernst R. G.; Drake, Robert M. (1972). Analysis of Heat and Mass Transfer. New York: McGraw Hill.
• Jaluria, Yogesh (1980). Natural Convection Heat and Mass Transfer. New York: Pergamon Press.
• Welty, James R. (1976). Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer. New York: John Wiley & Sons.