난류 프란들 수

난류 Prandtl 수(Pr_t)는 모멘텀 에디 디퓨전율과 열전달 에디 디퓨전율 사이의 비율로 정의되는 비차원 용어다. 난류 경계층 흐름의 열전달 문제를 해결하는 데 유용하다. Pr의_t 가장 단순한 모델은 레이놀즈 비유로, 격동의 Prandtl 수 1을 산출한다. 실험 데이터에서 Pr의_t 평균 값은 0.85이지만, 문제의 유체의 Prandtl 수에 따라 0.7 ~ 0.9의 범위를 가진다.

정의

에디 디퓨전성의 도입과 그에 따른 난류 프랜들 수의 도입은 난류 흐름에서 존재하는 여분의 전단 응력과 열량 사이의 단순한 관계를 정의하는 방법으로 작용한다. 모멘텀과 열파괴도가 0이면(외관상 난류 전단 응력과 열 유속이 없음), 난류 유동식은 층방정식으로 감소한다. 모멘텀 전이 $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$ 및 열전달$$ $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\$에 대한 와이드 확산성을 다음과$$ 같이 정의할 수 있다.
${\displaystyle -{\overline {u'v'}}=\varepsilon _{M}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}}$ and ${\displaystyle -{\overline {v'T'}}=\varepsilon _{H}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}}$
여기서 -${\displaystyle u\stackrel{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{\prime }^{}}}$ $′{\$은(는) 명백한 난류 전단 응력이고${\displaystyle }$- ${\displaystyle v\stackrel{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{\prime }^{}}}$ $′{\$은 명백한 난류 열량 흐름이다$$.
난류 Prandtl 번호는 다음으로 정의된다.
${\displaystyle \mathrm {Pr} _{\mathrm {t}}={\frac {\barepsilon _{M}{\varepsilon _{H}}}.}$

격동의 프란들 수치는 일반적으로 동일하지 않은 것으로 나타났다(예: Malhotra and Kang, 1984; Kays, 1994; McEligot and Taylor, 1996; 그리고 2002년 처칠). 그것은 다른 변수들 중에서 분자 프랜들 수의 강력한 함수로서, 분자 프랜들 수가 Malhotra와 Kang에 의해 결정되는 통일성과 현저하게 다르고,^[1] McEligot과 Taylor와^[2] Churchill이 상세히 기술한 경우 레이놀즈 유추(Reynolds)는 해당되지 않는다.

적용

난류 운동량 경계층 방정식:
${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu {\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}-{\overline {u'v'}})\right].}$
난류 열경계층 방정식,
${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y$$}}-{{\overline{v'T'}}}\오른쪽).$$}$ 기력 및 열방정식에 와이드 확산성 대체$$
${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu +\varepsilon _{M}){\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}\right]}$
그리고
${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +\varepsilon _{H}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].}$
난류 Prandtl 수의 정의를 사용하여 열 방정식으로 대체
${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +{\frac {\varepsilon _{M}}{\mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }}}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].}$

결과들

Prandtl 번호와 난류 Prandtl 번호가 모두 동일한 특수 경우(레이놀즈 유사시), 속도 프로파일과 온도 프로파일이 동일하다. 이것은 열전달 문제의 해결을 크게 단순화시킨다. 프란들 번호와 난류 프란들 번호가 단합과 다르다면, 그 난류 프란들 번호를 알아야 해결이 가능하여, 여전히 모멘텀과 열 방정식을 해결할 수 있다.

일반적으로 3차원 난류의 경우, 와이드 점도와 와이드 디퓨전성의 개념은 유효하지 않다. 따라서 격동하는 프란들 수에는 아무런 의미가 없다. ^[4]

참조

책들

• Kays, William; Crawford, M.; Weigand, B. (2005). Convective Heat and Mass Transfer, Fourth Edition. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-246876-2.