워머슬리 수

Womersley 번호(α 또는 ${\displaystyle \text{Wo}}$ ${\$$Wo$는 바이오유체 역학과 바이오유체 역학에서 치수가 없는 수이다. 비스코스 효과와 관련하여 맥동 유량 주파수를 차원이 없는 표현이다. 그것은 존 R의 이름을 따서 지어졌다. 동맥의 혈류로 일을 한 워머슬리(1907–1958).^[1] Womersley 번호는 실험 규모를 조정할 때 동적 유사성을 유지하는 데 중요하다. 그 예로는 실험 연구를 위해 혈관 시스템을 스케일업하는 것이 있다. 워머슬리 숫자도 진입효과를 무시할 수 있는지 경계층의 두께를 파악하는 데 중요하다.

이 숫자의 제곱근은 Stokes number라고도 하며 ${\displaystyle \text{St}}$= ${\displaystyle \sqrt{\text{Wo}}}$ ${\$St$}={\sqrt$ {\text${\text${\text$}}$$Woom$ 조지 스톡스 경이 스톡스 두 번째 문제에 대해 선구적인 작업을 했기 때문이다.

파생

일반적으로 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$로 표시되는 Womersley 번호는 관계에 의해 정의된다$.$

${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {\text{transient inertial force}}{\text{viscous force}}}={\frac {\rho \omega U}{\mu UL^{-2}}}={\frac {\omega L^{2}}{\mu \rho ^{-1}}}={\frac {\omega L^{2}}{\nu }}\,,}$

여기서 L은 적절한 길이 척도(예: 관의 반지름), Ω은 진동의 각도 주파수, frequency, μ는 각각 유체의 동역학적 점도, 밀도, 동적 점성이다.^[2] 워머슬리 번호는 보통 힘없는 형태로 쓰여진다.

${\displaystyle \alpha =L\left({\frac {\omega \rho}}{\mu }}}\오른쪽)^{\frac {1}{1}2}}\,}$

심혈관 계통에서는 맥박 빈도, 밀도, 동적 점도는 일정하지만 혈류량이 혈관 직경인 특성 길이는 대동맥과 미세 모세혈관 사이의 크기(OoM)의 3배까지 변화한다. 따라서 Womersley 번호는 혈관 크기의 변화에 따라 혈관 체계에 따라 변한다. 워머슬리 혈류수는 다음과 같이 추정할 수 있다.

${\displaystyle \alpha =L\left({\frac {\omega \rho}}{\mu }}}\오른쪽)^{\frac {1}{1}2}}\,}$

아래는 다른 인간 혈관의 워머슬리 추정 수치 목록이다.

선박	지름(m)	$\displaystyle \reason }$
대동맥	0.025	13.83
동맥	0.004	2.21
아터틸레	3⋅10^-5	0.0166
모세관	8⋅10^-6	4.43⋅10^-3
벤울레	2⋅10-5	0.011
정맥	0.005	2.77
베나카바	0.03	16.6

또한 치수 없는 레이놀즈 수(Re) 및 스트루할 수(St):

${\displaystyle \alpha =\left(2\pi \,\mathrm {Re} \,\mathrm {St} \right)^{1/2}\,}$

Womersley 번호는 선형화된 Navier의 솔루션에서 발생한다.–관내 진동 흐름 방정식(층 및 압축 불가능으로 표시됨) 그것은 전단력에 대한 과도 또는 진동 관성력의 비율을 나타낸다. $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 작을 때, 그것은 각 사이클 동안 포물선 속도 프로파일이 발달할 시간이 있을 정도로 맥동 빈도가 충분히 낮다는 것을 의미하며, 흐름은 압력 구배와 매우 근접한 단계일 것이며, 순간 p를 이용하여 푸아세유유의 법칙에 의해 좋은 근사치에 주어질 것이다.확실한 구배 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 크면 펄스 주파수가 충분히 커서 속도 프로파일이 비교적 평평하거나 플러그와 같으며, 평균 흐름은 압력 구배를 약 90도 늦춘다는 것을 의미한다. 레이놀즈 번호와 함께 워머슬리 번호는 동적 유사성을 지배한다.^[3]

과도 가속과 관련된$$ 경계층 두께 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$은(는) Womersley 숫자와 반비례한다. 이것은 워머슬리 번호를 스톡스 수의 제곱근으로 인식함으로써 알 수 있다.^[4]

${\displaystyle \delta =\좌(L/\alpha \우)=\좌({\frac {L}{\sqrt{\sqrt{\mathrm{Stk}}}}}우),}$

여기서 L은 특징적인 길이다.

바이오유체역학

큰 튜브에서 많은 작은 튜브(예: 혈관 네트워크)로 진척되는 흐름 분배 네트워크에서 주파수, 밀도, 동적 점도는 네트워크 전체에서 (보통) 동일하지만, 관 반지름은 변화한다. 따라서 워머슬리 수는 큰 혈관이 크고 작은 혈관이 작다. 각 분할에 따라 혈관 지름이 감소함에 따라 워머슬리 수는 곧 상당히 작아진다. 워머슬리 수치는 말기 동맥 수준에서 1이 되는 경향이 있다. 동맥류, 모세혈관, 정맥류에서 워머슬리 숫자는 1보다 적다. 이러한 지역에서 관성력은 덜 중요해지고 흐름은 점성 응력의 균형과 압력 경사로 결정된다. 이것을 미세순환이라고 한다.^[4]

심장 박동수가 2Hz인 개에 대한 심혈관 시스템의 Womersley 번호에 대한 일반적인 값은 다음과 같다.^[4]

• 상승 대동맥 – 13.2
• 내림 대동맥 – 11.5
• 복부 대동맥 – 8
• 대퇴 동맥 – 3.5
• 경동맥 – 4.4
• 동맥류 —0.04
• 모세혈관 – 0.005
• 정맥 – 0.035
• 하대정맥 – 8.8
• 주 폐동맥 – 15

보편적 생물학적 스케일링법(대사율, 수명, 길이 등 양과 체질량 등의 변화를 기술한 파워로법 관계)은 에너지 최소화 필요성, 혈관망의 프랙탈적 특성, 높은 워머슬리 수에서 낮은 워머슬리 수로의 흐름의 결과라는 주장이 제기되어 왔다.큰 그릇에서 작은 그릇까지 ^[5]에센스

참조