버거 방정식

Burgers 방정식 또는 Bateman-Burgers 방정식은 유체역학,^[2] 비선형 음향학,^[3] 기체 역학 및 교통 흐름과 같은 응용 수학의 다양한 영역에서 발생하는 기본 편미분 방정식 및 대류-확산 방정식입니다^[1].^[4] 이 방정식은 1915년^[5][6] 해리 베이트먼에 의해 처음 소개되었고 이후 1948년 요하네스 마르티누스 버거에 의해 연구되었습니다.^[7]

주어진 $필드$ u ${\displaystyle (x,}$ t${\displaystyle }$) ${\displaystyle u(x, t)}$ 및 확산 계수(또는 원래 유체 역학적 맥락에서와 같은 운동학적 점도)$$ν${\displaystyle$ \n$u$ $\},$ 하나의 공간 차원에서 일반적인 형태의 버거 방정식(점성 버거 방정식이라고도 함)은 소산 시스템입니다.

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}+u{\frac {\partial u}{\partial x}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$$

확산항이 없는 경우(즉, ν = 0${\displaystyle$ \n)$u =0}),$ Burgers' 방정식은 비점성 Burgers' 방정식이 됩니다.

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}+u{\frac {\partial u}{\partial x}=0,}$$

불연속성(충격파)을 발전시킬 수 있는 보존 방정식의 원형입니다.

보수적인 형태에서 버거 방정식은

인비스시드 버거 방정식

비점성 버거 방정식은 보존 방정식으로, 일반적으로 1차 준선형 쌍곡선 방정식입니다. 방정식과 초기 조건에 대한 해

특성의 방법으로 구성할 수 있습니다. 특성 방정식은

두 번째 방정식의 적분은 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ u$}$가 특성을 따라 일정하다는$$ 것을 알려주고 첫 번째 방정식의 적분은 특성이 직선, 즉

여기서$$ξ${\displaystyle$\xi }는 특성 곡선이 그려지는 x-t 평면의 x축(t = 0)에 있는 점(또는 매개 변수)입니다. Since ${\displaystyle u}$ at ${\displaystyle x}$-axis is known from the initial condition and the fact that ${\displaystyle u}$ is unchanged as we move along the characteristic emanating from each point ${\displaystyle x=\xi }$, we write ${\displaystyle u=c=f(\xi )}$ on each characteristic. 따라서$$ξ${\displaystyle$\xi}에 의해 매개변수화된 특성의 궤적 패밀리는

따라서 해결책은 다음과 같습니다.

이는 특성이 교차하지 않는 경우 비점성 버거 방정식의 해를 결정하는 암묵적인 관계입니다. 특성이 교차하면 PDE에 대한 고전적인 해결책이 존재하지 않고 충격파가 형성됩니다. 특성이 교차할 수 있는지 여부는 초기 조건에 따라 달라집니다. 사실, 충격파가 형성되기 전의 파괴 시간은 다음과^[8][9] 같습니다.

선형 초기조건에 대한 Inviscid Burgers 방정식

수브라흐마니안 찬드라세카르(Subrahmanyan Chandrasekhar)는 1943년에 초기 조건이 선형, 즉 $f{\displaystyle (x)}$ = ${\displaystyle x}$+ b ${\displaystyle f(x$)=$ax+b}$이고$,$ 여기서 a와 b는 상수입니다. 명시적인 해결책은

이 해는 방정식에 나타나는 독립 변수의 수만큼 임의의 상수를 포함하기 때문에 비점성 버거 방정식의 완전한 적분이기도 합니다.^{[11][better source needed]} 이 완전 적분을 사용하여 찬드라세카르는 완전 적분의 외피로부터 임의의 초기 조건에 대해 설명된 일반 해를 얻었습니다.

점성 버거 방정식

점성 버거 방정식은 콜-호프 변환에 의해 선형 방정식으로 변환될 수 있습니다.^[12][13][14]

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}\ln \varphi(x,t),}$

그것을 방정식으로 바꾸는 겁니다.

${\display style 2\nu {\frac {\partial }{\partial x}\left [{\frac {1}{\varphi }\left ({\frac {\partial \varphi }{\partial t}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi}{\partial x^{2}}\right)=0,}$

다음을 얻기 위해$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대해 통합할 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi}{\partial x^{2}}=\varphi {\frac {df(t)}{dt}},}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{df}}$/ ${\displaystyle \mathrm{dt}}$ ${\displaystyle df/dt}$는 임의의 시간 함수입니다. 변환 φ →$$φ ef {\$displaystyle \varphi \to$\varphi e^{f$}}($ u (x, t )${\displaystyle$ u (x, t))에 $영향$을 주지 않음)를 도입하면 필요한 방정식이 열 방정식의 것으로 줄어듭니다.

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}=\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}.}$

확산 방정식을 풀 수 있습니다. 즉,${\displaystyle }$φ${\displaystyle }$(x, 0) =$$φ 0 (x)${\displaystyle$\varphi (x,0) =$\backslash$varphi _{0}(x)}인 경우

${\displaystyle \varphi(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi\nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{0}(x')\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu}}\right]dx'}$

초기 함수${\displaystyle }$φ 0$($ x) ${\displaystyle$ \$varphi _${0}(x)}은(는) 초기${\displaystyle \mathrm{함수}}$ u${\displaystyle (}$x, 0) = f$(x$) ${\displaystyle$u(x,$0$) = f(x)}와 연관되어 있습니다.

${\displaystyle \ln \varphi _{0}(x)=-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x}f(x')dx',}$

하한선이 임의로 선택된 경우. 콜-호프 변환을 뒤집으면 우리는

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}\ln \left\{\frac {1}{\sqrt {4\pi\nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}}$

로그 함수의 인수에서 시간에 의존하는 선행 인자를 제거함으로써 다음과 같이 단순화합니다.

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}\ln \left\{\int _{-\infty}^{\infty }\exp \[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}.}$

점성 버거 방정식의 몇 가지 명시적 해

점성 버거 방정식에 대한 명시적인 표현을 사용할 수 있습니다. 물리적으로 관련된 솔루션 중 일부는 다음과 같습니다.^[16]

꾸준히 전파되는 이동파

If ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$ is suth that ${\displaystyle f(-\infty )=f^{-}}$ and ${\displaystyle f(+\infty )=f^{+}}$ and ${\displaystyle f'(x)<0}$, 다음으로 주어진 진행파 솔루션(${\displaystyle 일정}$한 $속도$ c = ${\displaystyle ({}^{}}$+${\displaystyle {}^{}{}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$/ 2 ${\displaystyle$c = ($f^{+}$ + $f^{-}/2})$이 있습니다$.$

${\displaystyle u(x,t)=c-{\frac {f^{+}-f^{-}}{2}}\tanh \left[{\frac {f^{+}-f^{-}}{4\nu }}(x-ct)\right].}$

이 솔루션은 약한 충격파에^[15] 따른 압력 변화를 설명합니다. ${\displaystyle \mathrm{f}{}^{}}$+ = 2 ${\displaystyle$ f^{+}=$2}$이고 $f{\displaystyle {}^{}}$- = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ f^{-}=$0}$일 때 ~

${\displaystyle u(x,t)={\frac {2}{1+e^{x-t}}}}$

$c$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ c=$1}$인 경우.

델타는 초기 조건으로 기능합니다.

$만약$ u ${\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle 0)}$ = ${\displaystyle 2}$ν${\displaystyle \mathrm{Re}}$δ (x$) {\displaystyle$u($x$,0)=2\n$u Re\delta (x$ 여기서 ${\displaystyle \mathrm{Re}}$ ${\displaystyle Re}($예를 들어, 레이놀즈 수)는 상수이고, 다음은^[17]

${\displaystyle u(x,t)= {\sqrt {\frac {\nu }{\pi t}}}\left[{\frac {(e^{Re}-1)e^{-x^{2}/4\nu t}}{1+(e^{Re}-1)\mathrm {erfc} (x/{\sqrt {4\nu t}})/{\sqrt {2}}}}\right].}$

${\displaystyle \mathrm{제한}}$ $Re$ → ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Re\to$ 0$}$에서$$제한 동작은 소스의 확산이므로 다음과 같습니다.

${\displaystyle u(x,t)= {\frac {2\nu Re}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4\nut}}\right)}$

반면, $Re$ → ∞ {\$displaystyle$Re\$to$infty} 한계에서 해는 앞서 언급한 Chandrasekhar의 비점성 버거 방정식의 충격파 해에 접근하며 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle u(x,t)={\begin {case}{\frac {x}{t}},\quad 0<x<{\sqrt {2\nuRe\,t},\0,\quad {\text{그렇지 않으면}}.\end{case}}$

$충격파$ 위치와 그 속도는 x = 2$$ν $Ret$ {\$displaystyle x$=${\sqrt$ {2\n}로 표시됩니다.$uRe\,t}}$ 및${\displaystyle \sqrt{}}$$ν$ Re$/t {\displaystyle${\$sqrt$ {\n}$uRe/t}}.}$

N파해

N-wave 솔루션은 압축파에 이어 라팩션파로 구성됩니다. 이 유형의 솔루션은 다음과 같습니다.

${\displaystyle u(x,t)={\frac {x}{t}}\left[1+{\frac {1}{e^{Re_{0}-1}}}{\sqrt {\frac {t}{t_{0}}}}\exp \left(-{\frac {Re(t)x^{2}}{4\nu Re_{0}t}}\right)\right]^{-1}}$

여기서 ${\displaystyle R_{}}$ 0 ${\displaystyle R_{0}}$은 $t$ = t ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle$t = $t_{0}}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{Re}}$ ${\displaystyle (t)}$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$/ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$ν) ∫ 0 ∞ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ ${\displaystyle \sqrt{x}}$ = ln ⁡$(1$ + τ / $t$) {\displaystyle Re(t) = (1/2\n)$u )τ =$${\displaystyle \sqrt{{t_{}}^{}\mathrm{0인}}}$ \$int$$_{0}^{\infty }udx=$\$ln(1+{\sqrt$ {\$tau/$t})} Re 0 - 1${\displaystyle \tau =$t_{$0}{\sqrt {e^{Re_{0}-$1$\}\}$은(는) 시간 $varying$ 레이놀드 번호로 간주될 수 있습니다.

기타양식

일반화 버거 방정식

일반화된 버거 방정식은 준선형 대류를 보다 일반화된 형태로 확장합니다.

여기서 $c{\displaystyle (u)}$ ${\displaystyle$ c$(u)}$는 u의 임의의 함수입니다. inviscid ν = 0${\displaystyle$ \n$u =0}$ 방정식은 c(> 0 ${\displaystyle c(u)$ > 0$}$에 대한 준선형 쌍곡선 방정식이며, 이전과 같은 특성 방법을 사용하여 그 해를 구성할 수 있습니다.

확률적 버거 방정식

시공간 잡음${\displaystyle }$η${\displaystyle (}$x, t) =${\displaystyle }$W$$˙(x, t)${\displaystyle$ \eta(x, t) = $\{\backslash$dot {$W$}}(x$,$ t)}($여기서 W${\$W$는$$L2(R) ${\displaystyle L^{$2}(\mathbb {R})} Wiener 프로세스는 확률적 버거 방정식을 형성합니다.

이 확률적 PDE는 $u{\displaystyle }$(${\displaystyle x,}$ t${\displaystyle )}$ =${\displaystyle }$-$$λ ∂ ${\displaystyle h}$ /$$∂ x {\$display$ $h(x,$ $t$$)$ =-\lambda \partial h / partial x} $필드$에서 카다르–파리시–장 방정식의 1차원 버전입니다.

참고 항목

• 오일러-트리코미 방정식
• 채플리긴 방정식
• 보존방정식
• 포커-플랑크 방정식

참고문헌

외부 링크

• EqWorld의 버거 방정식: 수학 방정식의 세계.
• 비선형 방정식 백과사전 NEQwiki의 버거 방정식.