프랜들 수

프란들 번호(Pr) 또는 프란들 그룹은 독일의 물리학자 루드비히 프란들(Ludwig Prandtl)의 이름을 딴 무차원 수로서, 열 확산성에 대한 모멘텀 확산성의 비율로 정의된다.^[1] Prandtl 번호는 다음과 같이 지정된다.

\mathrm {Pr} ={\frac {\nu }{\alpha }}={\frac {\mbox{momentum diffusivity}}{\mbox{thermal diffusivity}}}={\frac {\mu /\rho }{k/(c_{p}\rho )}}={\frac {c_{p}\mu }{k}}

여기서:

$\nu$ ${\displaystyle \nu$ } $\nu$ : 모멘텀 $\nu =\mu /\rho$ 도(키네마틱 점도), $\nu =\mu /\rho$ = $\nu =\mu /\rho$ / $\nu =\mu /\rho$ / { ${\displaystyle \nu =\mu /\rho$ $\nu =\mu /\rho$ (SI 단위: m/s²)
$\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ : 열 확산성, $\alpha =k/(\rho c_{p})$ = k $\alpha =k/(\rho c_{p})$ / ( $\alpha =k/(\rho c_{p})$ $\alpha =k/(\rho c_{p})$ ) ${\displaystyle \alpha =k/(\rho c_{p}}),$ (SI 단위: m/s²)
$[\displaystyle \mu }$ $\mu$ : 동적 점도, (SI 단위: Pa s = N s/m²)
$k$ $k$ $k$ : 열전도도(SI 단위: W/(m·K))
$c_{p}$ $c_{p}$ ${\$ $c_{p}$ : 특정 열, (SI 단위: J/(kg·K))
$\rho$ $\rho$ $\rho$ : 밀도, (SI 단위: kg/m³).

Reynolds 번호와 Grashof 번호는 척도 변수로 첨자화되지만 Prandtl 번호는 그러한 길이 척도를 포함하지 않으며 유체와 유체 상태에만 의존한다는 점에 유의하십시오. Prandtl 번호는 점성 및 열전도율과 같은 다른 특성과 함께 속성 테이블에서 종종 발견된다.

프란틀 번호의 매스 트랜스퍼 아날로그는 슈미트 번호로, 프란틀 번호와 슈미트 번호의 비율은 루이스 번호로 한다.

프란들 번호는 루트비히 프란들(Ludwig Prandtl)의 이름을 따서 명명되었다.

실험 값

일반적인 값

광범위한 온도 및 압력 범위에 걸친 대부분의 가스의 $경우$ Pr은 근사적으로 일정하다. 따라서 대류 형성으로 실험적으로 측정이 어려운 고온에서 기체의 열전도도를 결정하는 데 사용할 수 있다.^[1]

$Pr$ 의 일반적인 값은 다음과 같다.

975K에서^[1] 녹은 칼륨의 경우 0.003
수은의 경우 0.015 정도
975K에서^[1] 녹은 리튬 0.065
수소와 고귀한 가스 또는 고귀한 가스의 혼합물의 경우 0.16-0.7 정도
산소의^[1] 경우 0.63
공기와 많은 다른 기체의 경우 약 0.71
기체 암모니아^[1] 1.38
R-12 냉매의 경우 4-5 사이
물의 경우 약 7.56 (18 °C에서)
해수 13.4 및 7.2 (각각 0°C 및 20°C에서)
n-부탄올의^[1] 경우 50
엔진 오일의 경우 100에서 4만 사이
글리세롤의^[1] 경우 1000
폴리머 용해용^[1] 1만개
지구의 맨틀은 약 1×10이다²⁵.

Prandtl 공기와 물의 계산식

압력이 1bar인 공기의 경우 -100 °C에서 +500 °C 사이의 온도 범위에서 Prandtl 숫자를 계산하면 다음과 같은 공식을 사용할 수 있다.^[2] 온도는 단위 온도에서 사용해야 한다. 편차는 문헌 값에서 최대 0.1%이다.

$\mathrm{Pr}_{\text{air}={\frac {10^{9}{1.1\cdot \vartheta ^{3}-1200\cdot \vartheta ^{2}+322000\cdot \vartheta +1.393\cdot 10^{9}9}}}$

물의 Prandtl 번호(1bar)는 아래 주어진 공식을 사용하여 0 °C에서 90 °C 사이의 온도 범위에서 결정할 수 있다.^[3] 온도는 단위 온도에서 사용해야 한다. 편차는 문헌 값에서 최대 1%이다.

$\mathrm{Pr}_{\text{water}={\frac {50000}{\vartheta ^{2}+155\cdot \vartheta +3700}}}$

물리적 해석

Prandtl 번호의 작은 값 $Pr$ ≪ $1$ 은 열 확산성이 지배함을 의미한다. 큰 $값인 Pr$ ≫ 1을 가진 반면, 운동량 분산성은 행동을 지배한다. 예를 들어 액체 수은에 대해 열거된 값은 열전도율이 대류에 비해 더 유의하므로 열 확산성이 우세하다는 것을 나타낸다. 그러나 엔진오일의 경우 대류가 순수 전도율과 비교하여 어떤 영역에서 에너지를 전달하는데 매우 효과적이기 때문에 모멘텀 확산성이 지배적이다.^[4]

Prandtl 가스의 수는 약 1이며, 이는 모멘텀과 열이 유체를 통해 거의 같은 속도로 소멸됨을 나타낸다. 열은 액체 금속에서 매우 $빠르게$ 확산되며(Pr ≪ $1$ ) 모멘텀에 비해 오일에서는 매우 느리게 확산된다( $Pr$ ≫ $1$ ). 따라서 액체 금속의 경우 열 경계층이 훨씬 두껍고 속도 경계층에 비해 기름의 경우 훨씬 얇다.

열전달 문제에서 Prandtl 번호는 운동량과 열경계층의 상대적 두께를 제어한다. $Pr$ 이 작을 때는 속도(모멘텀)에 비해 열이 빠르게 확산되는 것을 의미한다. 이것은 액체 금속의 경우 열 경계층이 속도 경계층보다 훨씬 두껍다는 것을 의미한다.

평판위에 걸친 열-운동량 경계층의 비율은 다음과^[5] 같다.

{\frac {\delta _{t}}{\delta }}}=\mathrm {Pr}^{-1/3},\quad 0.6\leq \mathrmatrm {Pr} \leq 50,

여기서 $\delta _{t}$ $\delta _{t}$ ${\$ 는 열경계층 $\delta _{t}$ 두께, $\delta$ $\delta$ 은운동경계층 두께다 $\delta$ .

평판 위의 압축 불가능한 흐름의 경우, 두 개의 Nusselt 수 상관관계는 점증적으로 정확하다.^[6]

\mathrm {Nu} _{x}=0.339\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\mathrm {Pr} ^{1/3},\quad \mathrm {Pr} \to \infty,

\mathrm {Nu} _{x}=0.565\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\mathrm {Pr} ^{1/2},\quad \mathrmatr {Pr} \to,

여기서 $\mathrm {Re}$ $\mathrm {Re}$ ${\$ 은 ${\mathrm {Re}}$ $($ 는) 레이놀즈 번호다. 이 두 가지 점증적 용액은 표준(수학)의 개념을 사용하여 함께 혼합될 수 있다.^[7]

\mathrm {Nu} _{x}={\frac {0.3387\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\mathrm {Pr} ^{1/3}}{\left[1+\left(0.0468/\mathrm {Pr} \right)^{2/3}\right]^{1/4}}},\quad \mathrm {Re} \mathrm {Pr} >100.

참고 항목

참조

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Coulson, J. M.; Richardson, J. F. (1999). Chemical Engineering Volume 1 (6th ed.). Elsevier. ISBN 978-0-7506-4444-0.
^ tec-science (2020-05-10). "Prandtl number". tec-science. Retrieved 2020-06-25.
^ tec-science (2020-05-10). "Prandtl number". tec-science. Retrieved 2020-06-25.
^ Çengel, Yunus A. (2003). Heat transfer : a practical approach (2nd ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0072458933. OCLC 50192222.
^ Lienhard IV, John Henry; Lienhard V, John Henry (2017). A Heat Transfer Texbook (4th ed.). Cambridge, MA: Phlogiston Press.
^ Lienhard IV, John Henry; Lienhard V, John Henry (2017). A Heat Transfer Texbook (4th ed.). Cambridge, MA: Phlogiston Press.
^ Lienhard IV, John Henry; Lienhard V, John Henry (2017). A Heat Transfer Texbook (4th ed.). Cambridge, MA: Phlogiston Press.

일반참조

White, F. M. (2006). Viscous Fluid Flow (3rd. ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-240231-8.

[C&R-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Coulson, J. M.; Richardson, J. F. (1999). Chemical Engineering Volume 1 (6th ed.). Elsevier. ISBN 978-0-7506-4444-0.

[2] tec-science (2020-05-10). "Prandtl number". tec-science. Retrieved 2020-06-25.

[3] tec-science (2020-05-10). "Prandtl number". tec-science. Retrieved 2020-06-25.

[4] Çengel, Yunus A. (2003). Heat transfer : a practical approach (2nd ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0072458933. OCLC 50192222.

[5] Lienhard IV, John Henry; Lienhard V, John Henry (2017). A Heat Transfer Texbook (4th ed.). Cambridge, MA: Phlogiston Press.

[6] Lienhard IV, John Henry; Lienhard V, John Henry (2017). A Heat Transfer Texbook (4th ed.). Cambridge, MA: Phlogiston Press.

[7] Lienhard IV, John Henry; Lienhard V, John Henry (2017). A Heat Transfer Texbook (4th ed.). Cambridge, MA: Phlogiston Press.

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