데카르트 폐쇄 범주

^[1] 범주 이론에서, 대략적으로 말하면, 두 물체의 생산물에 정의된 어떤 형태론이 하나의 요소에 정의된 형태론으로 자연스럽게 식별될 수 있다면, 범주는 카르테시안 폐쇄다.이러한 범주들은 수학논리와 프로그래밍 이론에서 특히 중요한데, 그들의 내부 언어는 단순히 입력된 람다 미적분학이라는 것이다.그것들은 닫힌 단면체 범주에 의해 일반화되며, 그 내부 언어인 선형형 시스템은 양자 및 고전적 계산에 모두 적합하다.^[2]

어원

프랑스 철학자, 수학자, 과학자 레네 데카르트(1596–1650)의 이름을 따서 명명되었는데, 분석 기하학의 형성은 나중에 범주형 산물의 개념으로 일반화된 데카르트 산물의 개념을 낳았다.

정의

범주 C는 다음과 같은 세 가지 특성을 만족하는 경우에만 Cartesian closed라고^[3] 불린다.

• 그것은 종말의 물체를 가지고 있다.
• C의 두 물체 X와 Y는 C에 X ×Y 제품을 가지고 있다.
• C의 어떤 두 물체 Y와 Z는 C에 지수 Z를^Y 가진다.

첫 번째 두 조건은 범주형 제품의 자연적 연관성 및 범주 내 빈 제품이 해당 범주의 단자 객체이기 때문에 C의 유한(비어 있을 가능성이 있음) 제품군이 C에서 제품을 승인한다는 단일 요건과 결합될 수 있다.

세 번째 조건은 펑터 – ×Y (즉, 객체를 X에서 X에서 X ×Y로_Y 매핑하는 C에서 C까지의 펑터)가 C에서 모든 객체 Y에 대해 일반적으로 표시된 오른쪽 부선을 갖는 요건과 동등하다.^Y국소적으로 작은 범주의 경우, 이것은 홈 집합 사이의 편향의 존재에 의해 표현될 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {Hom}(X\time Y,Z)\cong \mathrm {Hom}(X,Z^{Y})}$

그것은 X와 Z 둘 다에서 자연스러운 것이다.^[4]

데카르트 폐쇄 범주는 한정된 제한이 필요하지 않으며, 한정된 제품만 보장된다는 점에 유의하십시오.

범주의 모든 조각 범주가 데카르트 마감인 속성을 가진 경우, 로컬 데카르트 닫힘이라고 한다.^[5]C가 국소적으로 Cartesian이 닫힌 경우, 실제로 C가 Cartesian이 닫힌 것이 아니라, C가 터미널 객체를 가진 경우에만 그런 일이 발생한다.

기본 구성

평가하기

각 개체 Y에 대해 지수 결합의 상담은 자연스러운 변환이다.

${\displaystyle \mathrm {ev} _{Y,Z:Z^{Y}\time Y\to Z}$

(내부) 평가 맵이라고 한다.보다 일반적으로, 우리는 부분적인 애플리케이션 맵을 합성물로 구성할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {papply} _{X,Y,Z:}Z^{X\time Y}\time X\cong (Z^{Y})^{X}\time X{\xrighrap {ev}_{X,Z^{X}\time X{x}Y}}}Z^{Y}.}$

범주의 특별한 경우, 일반 운영으로 감소한다.

${\displaystyle \mathrm {ev} _{Y,Z}(f,y)=f(y).}$

구성

형태론 p : X → Y에서 하나의 인수의 지수 평가

${\displaystyle p^{Z}:X^{Z}\to Y^{Z}}}$

${\displaystyle Z^{p}:Z^{Y}\to Z^{X}}}$

p를 이용한 작문 연산에 대응한다.운영 p에^Z 대한 대체 공지는 p와_* p∘-를 포함한다.운전 Z에^p 대한 대체 공지는 p와^* -csp를 포함한다.

평가 맵은 다음과 같이 체인으로 묶을 수 있다.

${\displaystyle Z^{Y}\time Y^{X}\time X{\\xrightarrow {\mathrm {id}\time \mathrm {ev}_{X,Y}}}Z^{Y}\time Y{\x오른쪽 화살표 {\mathrm {ev} _{Y,Z}Z}$

지수연접 아래의 해당 화살표

${\displaystyle c_{X,Y,Z}Z^{Y}\time Y^{X}\to Z^{X}}}$

(내부)작성지도라고 한다.

범주의 특별한 경우, 일반적인 구성 운영은 다음과 같다.

${\displaystyle c_{X,Y,Z}(g,f)=g\circule f.}$

섹션

형태론 p:X → Y의 경우, 다음과 같은 풀백 사각형이 존재한다고 가정하고, 이 사각형은 p와의 합성이 정체인 지도에 해당하는 X의^Y 하위 객체를 정의한다.

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\감마 _{Y}(p)&\to &X^{Y}\\\downarrow &&&\downarrow \\\\to &Y^{Y}\end{array}}}}$

여기서 오른쪽의 화살표는^Y p이고 아래쪽의 화살표는 Y의 정체성과 일치한다.그_Y 다음에 p(p)를 p의 단면 대상이라고 한다.흔히 γ_Y(X)로 약칭한다.

코도메인 Y와 함께 모든 형태론 p에 대해_Y p(p)이 존재하는 경우, 그것은 슬라이스 범주의 functor γ_Y : C/Y → C로 조립될 수 있으며, 이는 제품 functor의 변종에 바로 인접한다.

${\displaystyle \hom_{C/Y}(X\time Y{\xrightarrow {\pi _{2}}Y, Z{\xrightarrow {p}Y)\cong \hom _{C}(X,\Gamma _{Y})(P)}$

Y에 의한 지수화는 섹션 단위로 표현할 수 있다.

$Z^{\displaystyle Z^{Y}\cong \감마 _{Y}(Z\time Y{\x오른쪽 화살표 {\pi _{2}}Y).}$

예

데카르트 폐쇄 범주의 예는 다음과 같다.

• 모든 집합의 집합 범주는 형태론으로서의 기능을 가진 데카르트어 폐쇄형이다.X×Y 제품은 X와 Y의 카르테시안 제품이며, Z는^Y Y부터 Z까지의 모든 기능의 집합이다.조정성은 다음과 같은 사실에 의해 표현된다: f : X×Y → Z 함수는 자연스럽게 X의 모든 x에 대해 g(x)(y) = f(x,y)로 정의되는 currered 함수 g : X → Z로^Y 식별된다.
• 형태론으로서의 기능을 가진 유한 집합의 범주는 같은 이유로 카르테시안적으로 폐쇄된다.
• G가 그룹인 경우 모든 G 집합의 범주는 Cartesian closed이다.Y와 Z가 두 개의 G-세트인 경우, Z는^Y G의 모든 G, F:Y → Z, Y의 모든 G에 대해 (g.F)(y) = F(g⁻¹.y)로 정의된 G 작용으로 Y에서 Z까지의 모든 함수의 집합이다.
• 유한 G-set의 범주도 카르테시안 폐쇄형이다.
• 모든 작은 범주의 Cat 범주(모피즘으로 functors를 포함)는 Cartesian closed이다. 지수 C는^D D에서 C까지 모든 functor로 구성된 functor 범주에 의해 주어지며, 자연 변환은 형태론이다.
• C가 작은 범주인 경우, C에서 세트의 범주로 이어지는 모든 공변성 펑커로 구성된 펑터 범주 Set는^C 형태론으로서의 자연적 변환과 함께 Cartesian이 닫힌다.만약 F와 G가 C에서 Set까지의 두 functor라면, 지수 F는^G (X,-) × G에서 F까지의 모든 자연 변환 집합에 의해 C의 객체 X에 대한 값이 주어지는 functor이다.
  • G-set의 초기 예는 functor 범주의 특별한 사례로 볼 수 있다: 모든 그룹은 하나의 개체 범주로 간주될 수 있으며, G-set은 이 범주의 functors에 지나지 않는다.
  • 지시된 모든 그래프의 범주는 Cartesian closed이다. 이것은 functor 범주에서 설명되는 functor 범주다.
  • 특히 단순 집합(Functor X : Δ^op → Set)의 범주는 카르테시안 폐쇄형이다.
• 더 일반적으로, 모든 초등학교 토포들은 카르트식 닫힘이다.
• 대수적 위상에서, 카르테시안 폐쇄 범주는 특히 다루기 쉽다.연속 지도가 있는 위상학적 공간의 범주도, 매끄러운 지도가 있는 매끄러운 다지관의 범주도 데카르티아어로 폐쇄되지 않는다.따라서 대체 범주가 고려되었다. 압축적으로 생성된 하우스도르프 공간의 범주는 Frölicher 공간의 범주와 마찬가지로 Cartesian closed이다.
• 순서 이론에서 완전한 부분 순서(cpos)는 자연적인 위상인 Scott 위상(cpos)을 가지고 있는데, 연속 지도가 Cartesian 폐쇄 범주를 형성한다(즉, 물체는 cpos이고 형태는 Scott 연속 지도가 된다).Curring과 apply는 Scott 토폴로지에서 연속적인 기능이며, Currering은 apply와 함께 보조를 제공한다.^[6]
• 헤이팅 대수학(Heyting 대수학)은 카트리지어 닫힌(경계된) 격자다.위상학적 공간에서 중요한 예가 발생한다.X가 위상학적 공간인 경우, X의 오픈 세트는 U가 V의 부분집합이고 다른 형태론이 없는 경우 U에서 V까지의 고유한 형태론이 있는 범주 O(X)의 객체를 형성한다.이 포셋은 데카르트 폐쇄 범주로서 U와 V의 "제품"은 U와 V의 교차점이고 지수 U는^V U is(X\V)의 내부다.
• 0개 객체가 있는 범주는 하나의 객체와 하나의 신분 형태론만을 가진 범주와 동등한 경우에만 카르테시안이 닫힌다.Indeed, if 0 is an initial object and 1 is a final object and we have ${\displaystyle 0\cong 1}$, then ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)\cong \mathrm {Hom} (1,Y^{X})\cong \mathrm {Hom} (0,Y^{X})\cong 1}$ which has only one element.^[7]
  • 특히 아벨 범주처럼 0개의 객체를 가진 비경쟁 범주는 카르테시아가 닫히지 않는다.따라서 링 위에 있는 모듈의 범주는 데카르티안이 닫힌 것이 아니다.그러나 고정 모듈이 있는$$ 펑터 텐서 ${\displaystyle \mathrm{제품}}$ -${\displaystyle \otimes }$ M ${\displaystyle$ -$\otimes M}$은(는) 오른쪽 정렬을 가지고 있다.텐서 제품은 범주형 제품이 아니기 때문에 위와 모순되지 않는다.우리는 대신 모듈의 범주가 단일종료라는 것을 얻었다.

현지 데카르트 폐쇄 범주의 예는 다음과 같다.

• 모든 초등생 토포들은 지역적으로 카르테시안이 문을 닫았다.이 예에는 그룹 G에 대한 Set, FinSet, G-set과 소분류 C에 대한 Set가^C 포함된다.
• LH/X는 S ${\displaystyle h}$( X$){\displaystyle Sh(X)}$의 범주와 같기 때문에 대상물이 위상학적 공간이고 형태변형이 국소적으로 카르테시안적인 범주인 LH는 국소적으로 카르테시안적인 닫힘이다. 그러나 LH는 단자 물체가 없기 때문에 카르테시안적인 닫힘이 아니다$.$
• C가 풀백을 가지고 있고 모든 화살표 p : X → Y에 대해 풀백을 받아 주어지는 펑터 p^* : C/Y → C/X가 오른쪽 부호를 가지고 있다면, C는 국소적으로 카르테시아어 닫힌다.
• C가 로컬로 Cartesian이 닫힌 경우, 모든 슬라이스 범주 C/X도 로컬로 Cartesian이 닫힌다.

현지 데카르트 폐쇄 범주의 비예는 다음과 같다.

• Cat은 지역적으로 Cartesian이 문을 닫지 않았다.

적용들

데카르트 폐쇄 범주에서 "두 변수의 함수"(모프리즘 f : X×Y → Z^Y)는 항상 "한 변수의 함수"(모프리즘 λf : X → Z)로 나타낼 수 있다.컴퓨터 과학 애플리케이션에서, 이것은 큐레이션이라고 알려져 있다; 그것은 단순한 형태의 람다 미적분이 어떤 데카르트 폐쇄적인 범주에서도 해석될 수 있다는 것을 깨닫게 했다.

Curry-Howard-Lambek 서신은 직관적 논리, 단순 형식 람다 미적분학, 그리고 Cartesian 폐쇄적 범주 사이에 깊은 이형성을 제공한다.

특정한 카르테시안 폐쇄 범주인 토포이는 전통적인 세트 이론 대신 수학의 일반적인 설정으로 제안되어 왔다.

저명한 컴퓨터 과학자 존 백커스는 변수 없는 표기법, 즉 기능 수준 프로그래밍을 주장해 왔으며, 돌이켜보면 이 표기는 데카르트 폐쇄 범주의 내부 언어와 어느 정도 유사하다.CAML은 카트리지어 폐쇄 범주에 대해 보다 의식적으로 모델링된다.

종속합계 및 제품

C를 현지 데카르트 폐쇄 범주로 삼자.그러면 C는 모든 풀백을 가지고 있는데, 코드체인 Z가 있는 두 개의 화살표의 풀백은 C/Z에서 제품에 의해 주어지기 때문이다.

모든 화살표 p : X → Y에 대해 P가 해당 대상인 C/Y를 나타내도록 한다.p를 따라 풀백을 가져가면 좌와 우가 모두 붙어 있는 functor p^* : C/Y → C/X가 나온다.

왼쪽 부호 $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$: ${\displaystyle C}$/ X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle C}$/ ${\displaystyle Y}$ $[\displaystyle \Sigma _{p:C/X\to C/Y}$는 종속 합계라고 하며$$, 구성 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$(${\displaystyle }$-${\displaystyle }$) ${\displaystyp p\circle (-)}$에 의해 주어진다$.$

${\displaystyle {오른쪽}_{}}$ 부호${\displaystyle {}_{}}$:${\displaystyle p}$ :${\displaystyle C}$ / ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle C}$/ Y {\$displaystyle$\Pi$_{p}:C/$X\to C$/Y}$를 종속제품이라고 한다.

C/Y에서 P에 의한 지수변수는 Q ${\displaystyle P^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ≅ ${\displaystyle p_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ( Q ) $displaystyle Q^{P}\cong \Pi _{p}(p^{**(Q)}}}}$라는 공식으로 종속 제품의 관점에서 표현할 수 있다$.$

이러한 이름의 이유는 P를 종속형 ${\displaystyle y}$로 해석할 때 :${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle ⊢}$ P${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle T\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{y}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ e ${\$ y$:$$Y\vdash P(y):\mathrm {Type} }$, the functors ${\displaystyle \Sigma _{p}}$ and ${\displaystyle \Pi _{p}}$ correspond to the type formations ${\displaystyle \Sigma _{x:P(y)}}$ and ${\displaystyle \Pi _{x:P(y)}}$ respectively.

등가이론

모든 데카르트 폐쇄 범주(지수 표기법 사용)에서 (X^Y)^Z와 (X^Z)^Y는 모든 객체 X, Y, Z에 대해 이형성이다.우리는 이것을 "등가"라고 쓴다.

(x^y)^z = (x^z)^y

어떤 사람은 그러한 방정식이 모든 데카르트 폐쇄 범주에서 유효한지 물어볼 수 있다.모두 다음과 같은 공리에서 논리적으로 따르게 되는 것으로 나타났다.^[8]

• x×(y×z) = (x×y)×z
• xxxy = yxx
• x×1 = x(여기서 1은 C의 단자 객체를 나타낸다)
• 1^x = 1
• x¹ = x
• (xxxy)^z = xxxy^zz
• (x^y)^z = x^(y×z)

바이카르트 폐쇄 범주

바이카르트 폐쇄형 범주는 2진 코프로덕트 및 초기 객체로 카르테시안 폐쇄형 범주를 확장하며, 제품들은 코프로덕트를 통해 배포된다.그들의 등정 이론은 타르스키의 고등학교 공리와 유사하지만 부가적인 역설을 낳으면서 다음과 같은 공리로 확장된다.

• x + y = y + x
• (x + y) + z = x + (y + z)
• x×(y + z) = x×y + x×z
• x^{(y + z)} = x^y×x^z
• 0 + x = x
• x×0 = 0
• x⁰ = 1

그러나 위의 목록이 완전하지 않다는 점에 유의하십시오. 자유 BCCC의 유형 이형성은 정밀하게 공리가 가능하지 않으며, 결정성은 여전히 공개적인 문제다.^[9]

참조

• Seely, R. A. G. (1984). "Locally cartesian closed categories and type theory". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 95 (1): 33–48. doi:10.1017/S0305004100061284. ISSN 1469-8064.

외부 링크

• nLab에서 데카르트 마감 범주
• CCC와 람다 미적분과의 관계에 대한 블로그 게시물:https://golem.ph.utexas.edu/category/2006/08/cartesian_closed_categories_an_1.html